1、20212021 年中考数学年中考数学统一命题的省自治区压轴模拟试卷统一命题的省自治区压轴模拟试卷 20212021 年中考数学年中考数学压轴模拟试卷压轴模拟试卷 0505（山西（山西省专用）省专用） ( (满分满分 12120 0 分，答题时间分，答题时间 12120 0 分钟分钟) ) 第第 I 卷卷 选择题（共选择题（共 30分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每个小题给出的四个选项分在每个小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上
2、将该项涂黑） 1. 计算 2 3 （ 1 6）的结果为（ ） A 1 2 B1 2 C 5 6 D5 6 【答案】A 【解析】根据有理数的减法法则计算即可 2 3 （ 1 6）= 2 3 + 1 6 = 1 2 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据把一个图形绕某一点旋转 180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个 图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分 能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 A.不是轴对称图
3、形，是中心对称图形，故此选项错误； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C.是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误. 3. 下列运算正确的是（ ） A. 2 235xxx B. 33 ( 2 )6xx C. 325 236xxx D. 2 (32)(23 )94xxx 【答案】C 【解析】利用合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、多项式乘多项式直接计算判断即可 A. 235xxx，选项错误； B. 33 ( 2 )8xx，选项错误； C. 325 236xxx，选项正确； D. 2 (32)(23 )94xxx ，选项错
4、误。 4. 下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意分别画出各项三视图即可判断 各选项主视图、左视图、俯视图如下: A ,满足题意; B ,不满足题意; C ,不满足题意; D ,不满足题意. 5. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明泰勒斯曾通过测量 同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我 们所学的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似 【答案】D 【解析】根据在同一时刻太
5、阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断； 根据题意画出如下图形：可以得到ABECDEV: V，则 ABCD BEDE = AB 即为金字塔的高度，CD即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度 6. 不等式组的所有非负整数解的和是（ ） A10 B7 C6 D0 【答案】A 【解析】不等式组的非负整数解。分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而 可得知不等式组的非负整数解 ， 解不等式得：x2.5， 解不等式得：x4， 不等式组的解集为：2.5x4， 不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4， 不等式组的所有非负整数解的和是 0+1+2+3+410 7. 点
6、(1,4)在反比例函数 y k x 的图象上,则下列各点在此函数图象上的是（ ） A（4，-1） B（- 1 4 ，1） C（-4，-1） D（ 1 4 ，2） 【答案】A 【解析】反比例函数的图象及性质 将点（1，4）代入 y k x ， k4，y 4 x ， 点（4，1）在函数图象上。 8. 如图所示，矩形纸片ABCD中，AD6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别 裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ） A3.5cm B4cm C4.5cm D5cm 【答案】B 【解析】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展
7、开图与原来的扇形之间的关 系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长 设ABxcm，则DE（6x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可 根据题意，得（6x）， 解得x4 9. 如图，现要在抛物线 yx（4x）上找点 P（a，b），针对 b 的不同取值，所找点 P 的个数，三 人的说法如下， 甲：若 b5，则点 P 的个数为 0； 乙：若 b4，则点 P 的个数为 1； 丙：若 b3，则点 P 的个数为 1 下列判断正确的是（ ） A乙错，丙对 B甲和乙都错 C乙对，丙错 D甲错，丙对 【答案】C 【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4）
8、，由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行 判断，即可得出结论 【解析】yx（4x）x2+4x（x2）2+4， 抛物线的顶点坐标为（2，4）， 在抛物线上的点 P 的纵坐标最大为 4， 甲、乙的说法正确； 若 b3，则抛物线上纵坐标为 3 的点有 2 个， 丙的说法不正确； 10. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩 形将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A. 1 3 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 8 【答案】B 【解析】连接菱形对角线，设大矩形的长=2a，大矩形的宽=2b，可得大矩形的面积，根据题意可
9、得 菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据“顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形”，可得小 矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积- 小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区 域的概率 如图，连接 EG，FH， 设 AD=BC=2a，AB=DC=2b， 则 FH=AD=2a，EG=AB=2b， 四边形 EFGH是菱形， S菱形EFGH= 1 2 FH EG= 1 22 2 ab=2ab， M，O，P，N点分别是各边的中点， OP=MN= 1 2 FH=a，MO=NP= 1 2 EG=b， 四边形 MO
10、PN是矩形， S矩形MOPN=OPMO=ab， S阴影= S菱形EFGH-S 矩形MOPN=2ab-ab=ab， S矩形ABCD=ABBC=2a2b=4ab， 飞镖落在阴影区域的概率是 1 = 44 ab ab . 【点睛】本题考查了几何概率问题用到的知识点是概率=相应的面积与总面积之比 第第 II 卷卷 非选择题（共非选择题（共 90 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3分，共分，共 15 分）分） 11. 计算：273_ 【答案】2 3 【解析】原式=3 3 32 3 12. 在平面直角坐标系中，抛物线yx 2的图象如图所示已知 A点坐标
11、为（1，1），过点A作AA1 x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3x轴交抛物线于点A3， 过点A3作A3A4OA交抛物线于点A4， 依次进行下去， 则点A2019的坐标为 （1010， 1010 2） 【答案】（1010，1010 2） 【解析】A点坐标为（1，1）， 直线OA为yx，A1（1，1）， A1A2OA， 直线A1A2为yx+2， 解得或， A2（2，4）， A3（2，4）， A3A4OA， 直线A3A4为yx+6， 解得或， A4（3，9）， A5（3，9） ， A2019（1010，1010 2）。 13. 某 5 人学习小组在寒假期
12、间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差 为 S28.0，后来老师发现每人都少加了 2 分，每人补加 2 分后，这 5 人新成绩的方差 S新 2 【答案】8.0 【解析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即 方差不变，即可得出答案 一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这 一个常数，方差不变， 所得到的一组新数据的方差为 S新 28.0. 14. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为 450 万元，第七天的营业 额是前六天总营业额的 12%去年，该商店 7
13、 月份的营业额为 350 万元，8、9 月份营业额的月增长 率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与 9 月份的营业额相等求该商店去年 8、9 月份营业额 的月增长率为_ 【答案】20% 【解析】450+45012%504（万元） 设该商店去年 8、9 月份营业额的月增长率为 x， 依题意，得：350（1+x）2504， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去） 答：该商店去年 8、9 月份营业额的月增长率为 20% 15. 如图，在Rt ABC中，90ACB，3AC ，4BC ，CDAB，垂足为D，E为BC 的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_ 【答案】 54 85 【解析
14、】 过点F作FHAC于H， 则AFHAEC， 设FH为x， 由已知条件可得 33 = 22 AHFHx， 利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，利用 AFC S=AC FH=D 1 2 A 1 2 CF 即可得到 DF的长 【详解】如解图，过点F作FHAC于H， 90ACB， BCAC， /FH BC， 4BC ，点E是BC的中点， 2BECE， /FH BC， AFHAEC 3 2 AHAC FHEC 3 2 AHFH， 设FH为x，则 3 2 AHx，由勾股定理得 22 435AB=+= ， 又 ABC S=AC BC=D 1 2 C 1 2
15、 AB ， 12 5 AC BC CD AB ， 则 22 9 5 ADACCD， 90FHCCDA且FCHACD， CFHCAD， FHCH ADCD ， 即 3 3 2 912 55 x x ， 解得 18 17 x ， 18 17 AH AFC S=AC FH=D 1 2 A 1 2 CF 189 3=CF 17 11 225 30 CF 17 123054 DF 51785 CDCF 【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三 角形 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算
16、步分解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤）骤） 16. （8 分）（1）计算： 115 324 【答案】 2 3 【解析】先计算括号内的减法，同时将除法转化为乘法，再约分即可得 原式= 542 () 653 . （2）先化简：（1 3 2x+ ） 2 44 x xx 1 + ，再将 x=1 代入求值 【答案】见解析 【解析】先把括号内的分式进行通分相减，再把除法化为乘法进行约分化简，最后代入求值 原式= 2 x x 1 + ( ) 2 2x x1 + =x+2 当 x=1 时，原式=1+2=1 17. （8 分）有两种消费券：A券，满 60 元减 20 元，B券，满 90 元减 30 元，
17、即一次购物大于等于 60 元、90 元，付款时分别减 20 元、30 元小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标 价相同的商品， 各自付款， 若能用券时用券， 这样两人共付款 150 元， 则所购商品的标价是多少元？ 【答案】100 或 85 【分析】可设所购商品的标价是x元，根据小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标 价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款 150 元，分所购商品的标价小于 90 元；所购商品的标价大于 90 元；列出方程即可求解 【解析】设所购商品的标价是x元，则 所购商品的标价小于 90 元， x20+x150， 解得x85； 所购商品的
18、标价大于 90 元， x20+x30150， 解得x100 故所购商品的标价是 100 或 85 元 18. （9 分）如图，O 的半径 OA6，过点 A 作O 的切线 AP，且 AP8，连接 PO 并延长，与 O 交于点 B、D，过点 B 作 BCOA，并与O 交于点 C，连接 AC、CD （1）求证：DCAP； （2）求 AC 的长 【答案】见解析。 【分析】（1）根据切线的性质得到OAP90，根据圆周角定理得到BCD90，根据平行线 的性质和判定定理即可得到结论； （2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论 【解析】（1）证明：AP 是O 的切线，OAP90， BD 是O
19、 的直径，BCD90， OACB，AOPDBC，BDCAPO，DCAP； （2）解：AOBC，ODOB， 延长 AO 交 DC 于点 E， 则 AEDC，OE= 1 2BC，CE= 1 2CD， 在 RtAOP 中，OP= 62 + 82 =10， 由（1）知，AOPCBD， = = ， 即12 10 = 6 = 8 ， BC= 36 5 ，DC= 48 5 ， OE= 18 5 ，CE= 24 5 ， 在 RtAEC 中，AC= 2+ 2=(6 + 18 5 )2+ (24 5 )2= 245 5 19. （10 分）根据公安部交管局下发的通知，自 2020 年 6 月 1 日起，将在全国开
20、展“一带一盔”安 全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔某日我市交警部门在某个十字路口共 拦截了 50 名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列 问题： 年龄 x（岁） 人数 男性占比 x20 4 50% 20 x30 m 60% 30 x40 25 60% 40 x50 8 75% x50 3 100% （1）统计表中 m 的值为 ； （2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30 x40”部分所对应扇形 的圆心角的度数为 ； （3）在这 50 人中女性有 人； （4）若从年龄在“x20”的 4 人中随机抽取 2 人参加
21、交通安全知识学习，请用列表或画树状图的 方法，求恰好抽到 2 名男性的概率 【答案】见解析。 【解析】（1）因为 504258310， 所以统计表中 m 的值为 10； 故答案为：10； （2）因为年龄在“30 x40”部分的人数为 25， 所对应扇形的圆心角的度数为：360 25 50 =180； 故答案为：180； （3）因为 450%+10（160%）+25（160%）+8（175%）18 所以在这 50 人中女性有 18 人； 故答案为：18； （4）因为年龄在“x20”的 4 人中有 2 名男性，2 名女性， 设 2 名男性用 A，B 表示，2 名女性用 C，D 表示， 根据题意，画
22、树状图如下： 由上图可知：共有 12 种等可能的结果，符合条件的结果有 2 种， 所以恰好抽到 2 名男性的概率为： 2 12 = 1 6 20. （10 分）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务 年月日 星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图所示的四边形木板，他已经在木板 上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割， 然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出30CDcm，然后分别以D，C为圆心， 以50cm与40cm为半径画圆弧，
23、两弧相交于点E，作直线CE，则DCE必为90 办法二：如图，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在 木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒 绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R然后将RQ延长，在延长 线上截取线段QSMN，得到点S，作直线SC，则90RCS 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线 呢？ 任务： （1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_； （2）根据“办法二”的操作过程，证明90RCS； （3） 尺规作图： 请在图木板上，
24、 过点C作出AB的垂线 （在木板上保留作图痕迹， 不写作法） ； 说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可） 【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）详见解析；（3）详见解析；答案不唯一，详见解析 【解析】（1）利用 222 3040 =50 说明 DCE是直角三角形，说明=90DCE，进而得出利用的 原理是勾股定理逆定理即可； （2） 由作图的方法可以得出：QRQC，QSQC， 得出QCRQRC ，QCSQSC ， 利用三角形内角和得出90QCRQCS，即90RCS，说明垂直即可； （3）以点C为圆心，任意长为半径画弧，与AB有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于 这两个交点之间
25、的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点P，连接PC即可； 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直 【详解】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形 是直角三角形）； （2）证明：由作图方法可知：QRQC，QSQC， QCRQRC ，QCSQSC 又180SRCRCSRSC， 180QCRQCSQRCQSC 2()180QCRQCS 90QCRQCS 即90RCS （3）解：如图，直线CP即为所求； 图 答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或SSS）；等腰三角形顶角的平分线、底边 上的高、底边上的中线重合（或等腰
26、三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上等 【点睛】本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键 21. （12 分）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 CD如图所示，一架水平飞 行的无人机在 A 处测得正前方河流的左岸 C 处的俯角为 ，无人机沿水平线 AF 方向继续飞行 50 米 至 B 处， 测得正前方河流右岸 D 处的俯角为 30 线段 AM 的长为无人机距地面的铅直高度， 点 M、 C、D 在同一条直线上其中 tan2，MC503米 （1）求无人机的飞行高度 AM；（结果保留根号） （2）求河流的宽度 CD（
27、结果精确到 1 米，参考数据：2 1.41，3 1.73） 【答案】见解析。 【分析】（1）在 RtACM 中，由 tan2，MC503，可求出 AM 即可； （2）在 RtBND 中，BDM30，BN1003，可求出 DN，进而求出 DM 和 CD 即可 【解析】过点 B 作 BNMD，垂足为 N，由题意可知， ACM，BDM30，ABMN50， （1）在 RtACM 中，tan2，MC503， AM2MC1003 =BN， 答：无人机的飞行高度 AM 为 1003米； （2）在 RtBND 中， tanBDN= ，即：tan30= 1003 ， DN300， DMDN+MN300+5035
28、0， CDDMMC350503 264， 答：河流的宽度 CD 约为 264 米 22. （12 分）如图 1，在矩形ABCD中， 6,8ABBC ，动点P，Q分别从C点，A点同时以 每秒 1 个单位长度的速度出发，且分别在边,CA AB上沿CA，AB的方向运动，当点Q运 动到点B时，,P Q两点同时停止运动， 设点P运动的时间为( )t s， 连接PQ， 过点P作PEPQ， PE与边BC相交于点E，连接QE （1）如图 2，当5ts时，延长EP交边AD于点F求证：AFCE； （2）在（1）的条件下，试探究线段,AQ QE CE三者之间的等量关系，并加以证明； （3）如图 3，当 9 4 ts
29、时，延长EP交边AD于点F，连接FQ，若FQ平分AFP，求 AF CE 的 值 【答案】（1）证明见解析；（2） 222 AQCEQE，证明见解析；（3） 6 5 【解析】（1）由题意得：1 55CP 四边形 ABCD 是矩形 /,90AD BCBADB FAPECP，AFPCEP 6,8ABBC 22 10ACABBC 5APACCP 在AFP和CEP中， 5 FAPECP AFPCEP APCP ()AFPCEP AAS AFCE； （2） 222 AQCEQE，证明如下： 如图，连接 FQ 由（1）已证：AFPCEP FPEP PEPQ PQ是线段 EF的垂直平分线 QFQE 在Rt A
30、FQ中，由勾股定理得： 222 AQAFQF 则 222 AQCEQE； （3）如图，设 FQ与 AC的交点为点 O 由题意得：AQt，CPt，10APAC CPt FQ平分 AFP， ,QAAD PEPQ AQPQ（角平分线的性质） APQ 是等腰三角形 在AFQ和PFQ中， AQPQ FQFQ ()AFQPFQ HL AQFPQF ，即OQ是AQP的角平分线 110 , 22 t OAOPAPOQAP （等腰三角形的三线合一） 在Rt ABC中， 63 cos 105 AB BAC AC 在Rt AOQ中，cos OA OAQ AQ ，即 10 3 2 cos 5 t BAC t 解得 5
31、0 ( ) 11 ts 505060 ,10 111111 CPAP /AD BC，即/AF CE 6 5 AFAP CECP 故 AF CE 的值为 6 5 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、矩形的性质、余弦三角函数、平行线分线段成 比例定理等知识点，较难的是题（3），熟练利用三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的三线 合一是解题关键 23. （14 分）综合与探究 9 如图， 已知抛物线 2 yaxbxc0a 与x轴交于点()1,0A和点3,0B ， 与y轴交于点C， 且OCOB （1）求点C的坐标和此抛物线的解析式； （2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，B
32、C，求BCE面积的最大值； （3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转 90 后，点A的对应点 A 恰好也落 在此抛物线上，求点P的坐标 【答案】 （1）C0,3， 2 23yxx ； （2）27 8 ； （3）点P的坐标为1,1或1, 2 【解析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，利用二次函数的解析式求解图形的 最大面积，二次函数的图像与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的全等的判定与性质，一元二 次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键 （1）由题可得3OB， 3OCOB， 点C的坐标为0,3，3c 将点A，B坐标代入抛物线解析式得： 30, 9330, ab a
33、b 解得 1, 2, a b 抛物线解析式为 2 23yxx （2）设直线BC的解析式为y kxb ， 将3,0B ，0,3C代入， 可得 30, 3, kb b 解得： 1, 3, k b 直线BC的解析式为3yx=+ 过点E作/EF y轴交BC于点F， 设 2 ,23E aaa ，则,3F a a， 2 11 3233 22 BCE SABEFaaa 22 39399 3 + 22244 aaaa 2 3327 228 a ， BCD面积最大值 27 8 （3）如图所示，过 1 A作 1 AN垂直对称轴交对称轴于点N， 设对称轴与x轴交于点M， 2 2 2314yxxx ， 抛物线的对称轴
34、为1x 设点 1 P的坐标为1,m，由题可知 111 PAPA， 11 90APA， 则 1111 111 90NPAMPANAPNPA， 1 11 NAPMPA 在 11 ANP和 1 APM中， 111 1 11 111 , , , ANPPMA NAPMPA PAAP 11 ANP 1 PMA()AAS， 11 ANPMm， 1 2PNAM 下面分两种情况讨论 当0m 时，点 1 A的坐标为1,2mm， 代入抛物线解析式可得 2 21213mmm ， 解得1m或2m（舍去）， 此时点 1 P的坐标为1,1； 当0m时，点 2 A的坐标为1,2mm ， 代入抛物线解析式可得 2 21213mmm ， 解得1m（舍去）或2m， 此时点 2 P的坐标为1, 2 综上所述：点P的坐标为1,1或1, 2