2021年宁夏中考数学压轴模拟试卷（4）含答案解析

1、20212021 年中考数学年中考数学统一命题的省自治区压轴模拟试卷统一命题的省自治区压轴模拟试卷 20212021 年中考数学年中考数学压轴模拟试卷压轴模拟试卷 0404（宁夏（宁夏专用）专用） ( (满分满分 120120 分，答题时间分，答题时间 12120 0 分钟分钟) ) 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题给出的四个选项中只有分在每小题给出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的）一个是符合题目要求的） 1. 下列运算正确的是（ ） A6a5a1 Ba2a3a5 C（2a）24a2 Da6a2a3 【答案】B 【解析

2、】利用整式的四则运算法则分别计算，可得出答案 6a5aa，因此选项 A 不符合题意； a2a3a5，因此选项 B 符合题意； （2a）24a2，因此选项 C 不符合题意； a6a2a6 2a4，因此选项 D 不符合题意. 2. 在 2019 年某中学举行的冬季田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如表所示： 成绩（m） 1.80 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 人数 1 2 4 3 3 2 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ） A1.70m，1.65m B1.70m，1.70m C1.65m，1.65m D1.65m，1.60m 【答案】D 【解析】首先根

3、据这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，判断出这 些运动员跳高成绩的中位数即可；然后找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这些运动员跳 高成绩的众数，据此解答即可 15271，第 8 名的成绩处于中间位置， 男子跳高的 15 名运动员的成绩处于中间位置的数是 1.65m， 这些运动员跳高成绩的中位数是 1.65m； 男子跳高的 15 名运动员的成绩出现次数最多的是 1.60m， 这些运动员跳高成绩的众数是 1.60m； 综上，可得这些运动员跳高成绩的中位数是 1.65m，众数是 1.60m 3. 一个不透明袋子中装有 1 个红球，2 个绿球，除颜色外无其他差别从中随机

4、摸出一个球，然后 放回摇匀，再随机摸出一个下列说法中，错误的是（ ） A第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球 B第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球 C第一次摸出的球是红球的概率是1 3 D两次摸出的球都是红球的概率是1 9 【答案】A 【解析】根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案 A.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误； B.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确； C.不透明袋子中装有 1 个红球，2 个绿球，第一次摸出的球是红球的概率是1 3，故本选项正确； D.共用 9 种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿

5、红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次 摸出的球都是红球的概率是1 9，故本选项正确. 4. 如图摆放的一副学生用直角三角板， 3045FC， ，AB与DE相交于点 G， 当 /EF BC 时， EGB 的度数是（ ） A. 135 B. 120 C. 115 D. 105 【答案】D 【解析】过点 G作/HG BC EF，则有HGBB，HGEE，又因为DEF和ABC 都 是 特 殊 直 角 三 角 形 ，3045FC， 可 以 得 到6 04 5EB， 有 E G BH G EH G B 即可得出答案 【详解】解：过点 G作/HG BC EF，有HGBB，HGEE 在RtDEF和Rt AB

6、C中，3045FC， 6045EB， =45HGBB ，=60HGEE =60 +45 =105EGBHGEHGB 故EGB的度数是 105 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行， 内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为 180；其中正确作出辅助线是关键 5. 如图，菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BD 的中点，若 EF5，则菱形 ABCD 的周长为（ ） A20 B30 C40 D50 【答案】C 【解析】由三角形中位线定理可求 AB10，由菱形的性质即可求解 E，F 分别是 AD，BD 的中点， EF 是ABD 的中位线，

7、 EF= 1 2AB5， AB10， 四边形 ABD 是菱形， ABBCCDAD10， 菱形 ABCD 的周长4AB40 6. 如图，在O 中，OA2，C45，则图中阴影部分的面积为（ ） A 2 2 B2 C 2 2 D2 【答案】D 【解析】 由C45根据圆周角定理得出AOB90， 根据 S阴影S扇形AOBSAOB可得出结论 C45， AOB90， S阴影S扇形AOBSAOB = 9022 360 1 2 2 2 2 7. 如图，点 A 在双曲线 y= 4 上，点 B 在双曲线 y= 12 上，且 ABx 轴，点 C、D 在 x 轴上，若四边 形 ABCD 为矩形，则它的面积为（ ） A4

8、 B6 C8 D12 【答案】C 【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面 积 S 的关系 S|k|即可判断 【解析】过 A 点作 AEy 轴，垂足为 E， 点 A 在双曲线 y= 4 上， 四边形 AEOD 的面积为 4， 点 B 在双曲线线 y= 12 上，且 ABx 轴， 四边形 BEOC 的面积为 12， 矩形 ABCD 的面积为 1248 故选：C 8. 如图，菱形 ABCD 的边长为 4cm，A60，BD 是以点 A 为圆心，AB 长为半径的弧，CD 是以 点 B 为圆心，BC 长为半径的弧，则阴影部分的面积为（ ）cm2 A. B.

9、2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】连接 BD，判断出ABD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ABD60，再求 出CBD60，然后求出阴影部分的面积SABD，计算即可得解 如图，连接 BD， 四边形 ABCD 是菱形， ABAD， A60， ABD 是等边三角形， ABD60， 又菱形的对边 ADBC， ABC18060120， CBD1206060， S阴影S扇形BDC（S扇形ABDSABD）， SABD， 44cm2 故答案为：4 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 2424 分）分） 9. 分解因式：3a26a+3=

10、_ 【答案】3（a1）2 【解析】原式=3（a22a+1）=3（a1）2 故答案为：3（a1）2 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用 10. 抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为（3，0），对 称轴为 x1，则当 y0 时，x 的取值范围是 【答案】3x1 【分析】根据物线与 x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与 x 轴的另一个 交点，再根据抛物线的增减性可求当 y0 时，x 的取值范围 【解析】物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1

11、，0）， 由图象可知，当 y0 时，x 的取值范围是3x1 11. 不透明袋子中装有 8 个球，其中有 3 个红球、5 个黑球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中 随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 【答案】3 8 【解析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就 是其发生的概率 袋子中装有 8 个小球，其中红球有 3 个， 从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是3 8 12. 七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中的一个平行四边形是正方形）组成用 七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形 ABCD 就是由七巧板拼成的，那么正方形 EFG

12、H 的 面积与正方形 ABCD 的面积的比值为 【答案】1 8 【分析】四边形 EFGH 是正方形，AEH 是等腰直角三角形，即可得出 AHHEHG，设 AHHG 1，则 AG2，即可得到正方形 EFGH 的面积为 1，正方形 ABCD 的面积为 8，进而得出结论 【解析】四边形 EFGH 是正方形，AEH 是等腰直角三角形， AHHEHG， 设 AHHG1，则 AG2，正方形 EFGH 的面积为 1， ADG 是等腰直角三角形， AD= 2AG22， 正方形 ABCD 的面积为 8， 正方形 EFGH 的面积与正方形 ABCD 的面积的比值为1 8。 13. 如图，直线 ykx+b（k、b

13、是常数 k0）与直线 y2 交于点 A（4，2），则关于 x 的不等式 kx+b 2 的解集为 【答案】x4 【分析】结合函数图象，写出直线 ykx+2 在直线 y2 下方所对应的自变量的范围即可 【解析】直线 ykx+b 与直线 y2 交于点 A（4，2）， x4 时，y2， 关于 x 的不等式 kx+b2 的解集为 x4 14. 如图，在ABC中，84C，分别以点 A、B 为圆心，以大于 1 2 AB的长为半径画弧，两弧 分别交于点 M、N，作直线MN交AC点 D；以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC 于点 E、F，再分别以点 E、F为圆心，大于 1 2 EF的长为半径画弧

14、，两弧交于点 P，作射线BP，此 时射线BP恰好经过点 D，则A_度 【答案】32 【解析】由作图可得 MN 是线段 AB 的垂直平分线，BD 是ABC 的平分线，根据它们的性质可得 AABDCBD ，再根据三角形内角和定理即可得解 【详解】由作图可得，MN 是线段 AB 的垂直平分线，BD 是ABC的平分线， AD=BD， 1 = 2 ABDCBDABC AABD AABDCBD +180AABCC，且84C， +2180AABDC，即318084A ， 32A 故答案为：32 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作 法 15. 若分式的值为

15、 0，则 x 的值是 【答案】2 【解析】直接利用分式为零的条件分析得出答案 分式的值为 0， x22x0，且 x0， 解得：x2 16. 如图，在矩形 ABCD 中，AB4，DCA30，点 F 是对角线 AC 上的一个动点，连接 DF， 以 DF 为斜边作DFE30的直角三角形 DEF，使点 E 和点 A 位于 DF 两侧，点 F 从点 A 到点 C 的运动过程中，点 E 的运动路径长是 【答案】 【解析】当 F 与 A 点重合时和 F 与 C 重合时，根据 E 的位置，可知 E 的运动路径是 EE的长；由已 知条件可推出DEE是直角三角形，且DEE30，在 RtADE中，求出 DE即可求解

16、 E 的运动路径是 EE的长； AB4，DCA30， BC， 当 F 与 A 点重合时， 在 RtADE中，AD，DAE30，ADE60， DE，CDE30， 当 F 与 C 重合时，EDC60， EDE90，DEE30， 在 RtDEE中，EE； 故答案为 【点评】本题考查点的轨迹；能够根据 E 点的运动情况，分析出 E 点的运动轨迹是线段，在 30 度 角的直角三角形中求解是关键 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 6 6 分，共分，共 3636 分）分） 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别是 A（1，3），B（4，4）

17、， C（2，1） （1）把ABC 向左平移 4 个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把ABC 绕原点 O 旋转 180后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（ ， ）中心对称 【答案】见解析 【解析】（1）如图所示，A1B1C1即为所求； （2）如图所示，A2B2C2即为所求； （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点（2，0）中心对称 故答案为：2，0 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 【答案】1y2 【解析】 由得，y1， 由得，y2， 故不等式组的解集为：1y2 19

18、. 先化简，再求值： 2 112 224 a aaa ，其中 2a 【答案】 2 2 a ，1 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得 到最简结果，代入计算即可求出值 【详解】原式 2 2 (1)(2)24 42 aaaa a 2 22 2 aaa 2 2 a 当 2a 时，原式 2 ( 2) 1 2 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分解因式、约 分等知识点熟练掌握 20. 某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共 20 台，已知甲型平板电脑进价 1600元，售价 2000元；乙型平板电脑进价为 25

19、00 元，售价 3000元 （1）设该商店购进甲型平板电脑 x台，请写出全部售出后该商店获利 y与 x之间函数表达式 （2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过 39200元，全部售出所获利润不低于 8500 元，请 设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润 【答案】（1）y=-100 x+10000；（2）共有四种采购方案：甲型电脑 12 台，乙型电脑 8 台，甲 型电脑 13 台，乙型电脑 7台，甲型电脑 14 台,乙型电脑 6台，甲型电脑 15 台，乙型电脑 5台， 采购甲型电脑 12台，乙型电脑 8 台时商店获得最大利润，最大利润是 8800 元. 【解析】(

20、1)根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可； (2)根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当 x 取最小值时，y有最大值，将 x=12 代入函数解析式求出结果即可. 【详解】（1）由题意得：y=（2000-1600）x+（3000-2500）（20-x）=-100 x+10000， 全部售出后该商店获利 y与 x 之间函数表达式为 y=-100 x+10000； （2）由题意得： 16002500(20)39200 400500(20)8500 xx xx ， 解得1215x， x为正整数， x=12、13、14、15， 共有四种采购

21、方案： 甲型电脑 12 台，乙型电脑 8台， 甲型电脑 13 台，乙型电脑 7台， 甲型电脑 14 台,乙型电脑 6台， 甲型电脑 15 台，乙型电脑 5台， y=-100 x+10000，且-1000， y随 x 的增大而减小， 当 x 取最小值时，y有最大值， 即 x=12时，y最大值=100 12 100008800， 采购甲型电脑 12 台，乙型电脑 8台时商店获得最大利润，最大利润是 8800元. 【点睛】 此题考查了一次函数的实际应用， 不等式组的应用， 方案问题的解决方法， 正确理解题意， 根据题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键. 21. 如图，在ABCD

22、中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 分别在 BD 和 DB 的延长线上，且 DEBF，连接 AE，CF （1）求证：ADECBF； （2）连接 AF，CE当 BD 平分ABC 时，四边形 AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由 【答案】见解析。 【分析】（1）根据四边形 ABCD 是平行四边形，可以得到 ADCB，ADCCBA，从而可以得 到ADECBF，然后根据 SAS 即可证明结论成立； （2） 根据 BD 平分ABC 和平行四边形的性质， 可以证明ABCD 是菱形， 从而可以得到 ACBD， 然后即可得到 ACEF，再根据题目中的条件，可以证明四边形 AFCE 是平行四

23、边形，然后根据 AC EF，即可得到四边形 AFCE 是菱形 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADCB，ADCCBA， ADECBF， 在ADE 和CBF 中， = = = ， ADECBF（SAS）； （2）当 BD 平分ABC 时，四边形 AFCE 是菱形， 理由：BD 平分ABC， ABDCBD， 四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD，ADBC， ADBCBD， ABDADB， ABAD， 平行四边形 ABCD 是菱形， ACBD， ACEF， DEBF， OEOF， 又OAOC， 四边形 AFCE 是平行四边形， ACEF， 四边形 AFCE 是菱

24、形 22. 为了解疫情期网学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查要求每位 学生从“优秀”、“良好”、“一般”、“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习 的效果现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共抽查了_人 （2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆 心角度数 （3） 张老师在班上随机抽取了 4 名学生， 其中学习效果“优秀”的 1 人， “良好”的 2 人， “一般” 的 1人，若再从这 4人中随机抽取 2 人，请用画树状图法，求出抽取的 2人学习效果全是“良好

25、” 的概率 【答案】（1）200；（2）图见解析，108；（3） 1 6 【解析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图，条形统计图能清楚地表示出 每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；树状图法可以展示所有等可能的 结果求出 n，再从中选出符合事件 A的结果数目 m，最后用概率公式求出 P(A)= m n 即可求出事件 A 的概率 (1)结合扇形统计图和条形统计图可知： 本次活动共调查了：80 40%=200(人)， 故答案为：200 (2)“不合格”的人数为：200-40-80-60=20人， 故条形统计图补全如下所示： 学习效果“一般”的学生人数所占的百分

26、比为：60 200=30%， 故学习效果“一般”所在扇形的圆心角度数为 30% 360 =108 ， 故答案为：108 (3)依题意可画树状图： 共有 12种可能的情况，其中同时选中“良好”的情况由 2 种， P(同时选中“良好”) 21 126 故答案为： 1 6 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 4 4 道题，其中道题，其中 2323、2424 题每题题每题 8 8 分，分，2525、2626 题每题题每题 1010 分，共分，共 3636 分）分） 23. 如图，点 C 在以 AB 为直径的O 上，点 D 是半圆 AB 的中点，连接 AC，BC，AD，BD过点 D 作 DHAB 交

27、CB 的延长线于点 H （1）求证：直线 DH 是O 的切线； （2）若 AB10，BC6，求 AD，BH 的长 【答案】见解析。 【分析】（1）连接 OD，根据圆周角定理得到AOD= 1 2 AOB90，根据平行线的性质得到 ODH90，于是得到结论； （2）连接 CD，根据圆周角定理得到ADBACB90，推出ABD 是等腰直角三角形，得到 AB10，解直角三角形得到 AC= 102 62=8，求得CADDBH，根据平行线的性质得到 BDHOBD45，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解析】（1）证明：连接 OD， AB 为O 的直径，点 D 是半圆 AB 的中点， AOD= 1 2AOB

28、90， DHAB，ODH90，ODDH，直线 DH 是O 的切线； （2）解：连接 CD， AB 为O 的直径，ADBACB90， 点 D 是半圆 AB 的中点， = ，ADDB， ABD 是等腰直角三角形， AB10， AD10sinABD10sin4510 2 2 =52， AB10，BC6， AC= 102 62=8， 四边形 ABCD 是圆内接四边形，CAD+CBD180， DBH+CBD180，CADDBH， 由（1）知AOD90，OBD45， ACD45， DHAB， BDHOBD45， ACDBDH， ACDBDH， = ， 8 52 = 52 ， 解得：BH= 25 4 24.

29、 “低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时， 小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离 my与步行时间minx之间的函数 关系式如图中折线段ABBCCD所示 （1）小丽与小明出发_min相遇； （2）在步行过程中，若小明先到达甲地 求小丽和小明步行的速度各是多少？ 计算出点 C 的坐标，并解释点 C 的实际意义 【答案】（1）30；（2）小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；点 54 4320C，点 C表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m 【解析】（1）直接从图像获取信息即可； （2）

30、设小丽步行的速度为 1m/ min V，小明步行的速度为 2m/ min V，且 21 VV，根据图像和题 意列出方程组，求解即可； 设点 C 的坐标为, x y，根据题意列出方程解出 x，再根据图像求出 y 即可，再结合两人的运动 过程解释点 C 的意义即可 【详解】（1）由图像可得小丽与小明出发 30min相遇， 故答案为：30； （2）设小丽步行的速度为 1m/ min V，小明步行的速度为 2m/ min V，且 21 VV， 则 12 12 30305400 (67.5 30)30 VV VV ， 解得： 1 2 80 100 V V ， 答：小丽步行的速度为80m/min，小明步行

31、的速度为100m/min； 设点 C 的坐标为, x y， 则可得方程(100803080 67.5)5400 xx， 解得54x， 100+80 (54 30)4320my ， 点54 4320C， 点 C 表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图像获取信息是解 题关键 25. 实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱， 两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 MN 的距离皆为 100cm王诗嬑观测到高度 90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 72

32、cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示已知落在地面 上的影子皆与坡脚水平线 MN 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 i1：0.75，在不计 圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为 150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 cm？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内请直接 回答这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 100 cm，则高圆柱的高度为多少 cm？ 【答案】见解析。 【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题 （2）根据落在地面上

33、的影子皆与坡脚水平线 MN 互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析 可得； （3）过点 F 作 FGCE 于点 G，设 FG4m，CG3m，利用勾股定理求出 CG 和 FG，得到 BG， 过点 F 作 FHAB 于点 H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出 AH 的长度，即可得到 AB 【解析】（1）设王诗嬑的影长为 xcm， 由题意可得：90 72 = 150 ， 解得：x120， 经检验：x120 是分式方程的解， 王诗嬑的的影子长为 120cm； （2）正确， 因为高圆柱在地面的影子与 MN 垂直，所以太阳光的光线与 MN 垂直， 则在斜坡上的影子也与 MN 垂直，则过斜坡上的影

34、子的横截面与 MN 垂直， 而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直， 高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内； （3）如图，AB 为高圆柱，AF 为太阳光，CDE 为斜坡，CF 为圆柱在斜坡上的影子， 过点 F 作 FGCE 于点 G， 由题意可得：BC100，CF100， 斜坡坡度 i1：0.75， = = 1 0.75 = 4 3， 设 FG4m，CG3m，在CFG 中，（4m）2+（3m）21002， 解得：m20， CG60，FG80， BGBC+CG160， 过点 F 作 FHAB 于点 H， 同一时刻，90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 72cm，

35、FGBE，ABBE，FHAB， 可知四边形 HBGF 为矩形， 90 72 = = ， AH= 90 72 = 90 72 160 =200， ABAH+BHAH+FG200+80280， 故高圆柱的高度为 280cm 26. 如图，已知在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，点 P、Q 分别在边 AC、射线 CB 上， 且 APCQ，过点 P 作 PMAB，垂足为点 M，联结 PQ，以 PM、PQ 为邻边作平行四边形 PQNM， 设 APx，平行四边形 PQNM 的面积为 y （1）当平行四边形 PQNM 为矩形时，求PQM 的正切值； （2）当点 N 在ABC 内，求 y 关于 x 的

36、函数解析式，并写出它的定义域； （3）当过点 P 且平行于 BC 的直线经过平行四边形 PQNM 一边的中点时，直接写出 x 的值 【答案】见解析 【分析】（1）当四边形 PQMN 是矩形时，PQAB根据 tanPQM= 求解即可 （2）如图 1 中，延长 QN 交 AB 于 K求出 MK，PM，根据 yPMMK 求解即可 （3）分两种情形：如图 31 中，当平分 MN 时，D 为 MN 的中点，作 NEBC 交 PQ 于 E，作 NHCB 交 CB 的延长线于 H，EGBC 于 G根据 EG= 1 2PC 构建方程求解如图 32 中，当 平分 NQ 时， D 是 NQ 的中点， 作 DHCB

37、 交 CB 的延长线于 H 根据 PCGH 构建方程求解即可 【解析】（1）在 RtACB 中，C90，AC8，BC6， AB= 2+ 2= 82+ 62=10， 当四边形 PQMN 是矩形时，PQAB tanPQM= = 3 5 5 3 = 9 25 （2）如图 1 中，延长 QN 交 AB 于 K 由题意 BQ6x，QNPM= 3 5x，AM= 4 5x，KQ= 4 5BQ= 244 5 ，BK= 3 5BQ= 183 5 ， MKABAMBK= 32 5 ， QNQK， 3 5x 244 5 ， x 24 7 ， yPMMK= 9632 25 （0 x 24 7 ） （3）如图 31 中

38、，当平分 MN 时，D 为 MN 的中点，作 NEBC 交 PQ 于 E，作 NHCB 交 CB 的延长线于 H，EGBC 于 G PDBC，ENBC， PDNE， PEDN， 四边形 PDNE 是平行四边形， PEDN， DNDM，PQMN， PEEQ， EGPC， CGGQ， EG= 1 2PC， 四边形 EGHN 是矩形， NHEG= 3 5NQ= 3 5PM= 9 25x，PC8x， 9 25x= 1 2（8x）， 解得 x= 200 43 如图 32 中，当平分 NQ 时，D 是 NQ 的中点，作 DHCB 交 CB 的延长线于 H DHPC， 8x= 1 2 9 25x， 解得 x= 400 59 ， 综上所述，满足条件 x 的值为200 43 或400 59