1、专题专题 34 34 一次函数与不等式一次函数与不等式 1已知直线 ykx+b 经过点 A（5，0），B（1，4） （1）求直线 AB 的解析式； （2）若直线 y2x4 与直线 AB 相交于点 C，求点 C 的坐标； （3）根据图象，写出关于 x 的不等式 2x4kx+b 的解集 解：（1）直线 ykx+b 经过点 A（5，0），B（1，4）， ， 解得， 直线 AB 的解析式为：yx+5； （2）直线 y2x4 与直线 AB 相交于点 C， 解得， 点 C（3，2）； （3）根据图象可得 x3 2已知一次函数 y1kx+2k4 的图象过一、三、四象限 （1）求 k 的取值范围； （2）对于
2、一次函数 y2axa+1（a0），若对任意实数 x，y1y2都成立，求 k 的取值范围 解：（1）由题意得， 解得 0k2， k 的取值范围是 0k2； （2）依题意，得 ka， y2kxk+1， 对任意实数 x，y1y2都成立， 2k4k+1， 解得 k， 0k2， k 的取值范围是 0k 3 已知一次函数 y1kx+b （k0） 的图象过点 （0， 2） ， 且与一次函数 y2x+1 的图象相交于点 P （2， m） （1）求点 P 的坐标和函数 y1的解析式； （2）在平面直角坐标系中画出 y1，y2的函数图象； （3）结合你所画的函数图象，直接写出不等式7y1y2的解集 解：（1）一次
3、函数 y2x+1 的图象经过点 P（2，m） m2+13， P（2，3）， 一次函数 y1kx+b（k0）的图象过点（0，2），P（2，3） ， 解得， 即函数 y1的解析式为 y1x2； （2）如图： （3）把 y7 代入 yx2 得，x2， 由函数图象可得，不等式7y1y2的解集是2x2 4已知函数 y|kx4|b 的图象经过点（，3）和（0，1），完成下列问题 （1）求函数 y|kx4|b 的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数 yx1 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx4|b x1 的解集 解：
4、（1）根据题意，得， 解方程组，得， 所求函数表达式为 y|x4|+3； （2）函数的图象如图所示， 性质为：函数有最大值为 3 （3）由图象可知：|kx4|bx1 的解集为：x0 或 x4 5作出函数 y2x4 的图象，并根据图象回答下列问题： （1）当2x4 时，求函数 y 的取值范围； （2）当 x 取什么值时，y0，y0，y0； （3）当 x 取何值时，4y2 解：当 x0 时，y4， 当 y0 时，x2，即 y2x4 过点（0，4）和点（2，0），过这两点作直线即为 y2x4 的图象， 从图象得出函数值随 x 的增大而增大； （1）当 x2 时，y8， 当 x4，y4， 当2x4 时
5、，函数 y 的取值范围为：8y4； （2）由于当 y0 时，x2， 当 x2 时，y0， 当 x2 时，y0， 当 x2 时，y0； （3）当 y4 时，x0；当 y2 时，x3， 当 x 的取值范围为：0 x3 时，有4y2 6如图，直线 ykx+1（k0）与两坐标轴分别交于点 A、B直线 y2x+4 与 y 轴交于点 C，与直线 y kx+1 交于点 D ACD 的面积为 （1）求 k 的值； （2）直接写出不等式 x+12x+4 的解集； （3）点 P 在 x 轴上，如果 DBP 的面积为 4，点 P 的坐标 解：（1）当 x0 时，ykx+11，则 A（0，1）， 当 x0 时，y2x
6、+44，则 C（0，4）， 设 D 点的坐标为（t，2t+4）， ACD 的面积为， （41） t，解得 t1， D（1，2）， 把 D（1，2）代入 ykx+1 得 k+12， k1； （2）不等式 x+12x+4 的解集为 x1； （3）当 y0 时，x+10，解得 x1，则 B（1，0）， 设 P（m，0）， DBP 的面积为 4， |m+1| 24，解得 m3 或5， P 点坐标为（5，0）或（3，0） 7小民对函数 y1a|x2|+b|x|的图象和性质进行了探究已知当自变量 x 的值为 1 时，函数值为；当自 变量的值为1 时，函数值为探究过程如下，请补充完整， （1）求这个函数的表
7、达式； （2）在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质： ； （3） 进一步探究函数图象并解决问题： 已知函数 y2x+2 的图象如图所示， 请结合你所画的函数图象， 直接写出不等式 y1y2的解集 解：（1）将 x1，y；x1，y代入 y1a|x2|+b|x|， 得到：a1，b， 这个函数的表达式为 y1|x2|+|x|； （2）如图： 月图象可知：当 x0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x2 时，y 随 x 的增大而增大， 故答案为当 x0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x2 时，y 随 x 的增大而增大； （3）由图象可知，不等式 y1y2的解集为 x0
8、 或 x4， 故答案为为 x0 或 x4 8直线 y2x+b 经过点（3，5），求关于 x 的不等式 2x+b0 的解集 解：直线 y2x+b 经过点（3，5）， 52 3+b，解得 b1， 2x+b0， 2x10，解得 x 9已知直线 l1：y1mx4 与直线 l2：y2x+n 交于点 A（2，4），直线 l1与 x 轴交于点 B，直线 l2与 y 轴交于点 C （1）求 m，n 的值； （2）求当 x 为何值时，y1y2，y1y2； （3）求 ABC 的面积 解：（1）把 A（2，4）代入 y1mx4 得 2m44，解得 m4； 把 A（2，4）代入 y2x+n 得2+n4，解得 n6；
9、（2）当 x2 时，y1y2， 当 x2 时，y1y2； （3）直线 y4m4 于 y 轴的交点 D 的坐标为（0，4），与 x 轴的交点 B 的坐标为（1，0）， 直线 yx+6 与 y 轴的交点 C 的坐标为（0，6）， 所以 ABC 的面积S ACDS BCD 10 2 10 15 10【问题提出】：如何解不等式|x1|+|x3|x+2？ 预备知识 1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图 象，可以解决一系列问题 图中给出了函数 yx+1 和 y2x+3 的图象，观察图象，我们可以得到： 当 x2 时， 函数 y2x+3 的图象在 yx+1 图象
10、上方， 由此可知： 不等式 2x+3x+1 的解集为 预备知识 2：函数 y|x|，称为分段函数，其图象如图所示，实际上对带有绝对值的代 数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝 对值符号比如化简|x1|+|x3|时，可令 x10 和 x30，分别求得 x1，x3（称 1，3 分别是|x 1|和|x3|的零点值），这样可以就 x1，1x3，x3 三种情况进行讨论： （1）当 x1 时，|x1|+|x3|（x1）（x3）42x； （2）当 1x3 时，|x1|+|x3|（x1）（x3）2； （3）当 x3 时，|x1|+|x3|（x1）+（x
11、3）2x4； 所以|x1|+|x3|就可以化简为 预备知识 3：函数 yb（b 为常数）称为常数函数，其图象如图所示 【知识迁移】： 如图， 直线 yx+1 与直线 yax+b 相交于点 A （m， 3） ， 则关于 x 的不等式 x+1ax+b 的解集是 【问题解决】： 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x1|+|x3|x+2在平面直角坐标系内作出函数 y|x 1|+|x3|的图象，如图在同一直角坐标系内再作出直线 yx+2 的图象，如图，可以发现函数 y |x1|+|x3|与 yx+2 的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 ， ；通过观察图象， 便可得到不等式|x1|+|x3|
12、x+2 的解集这个不等式的解集为 解：【问题提出】当 x2 时，函数 y2x+3 的图象在 yx+1 的图象的上方， 不等式 2x+3x+1 的解集为：x2， 故答案为：x2； 【问题迁移】点 A（m，3）在 yx+1 上， m+13，解得，m2， A（2，3）， 当 x2 时，直线 yax+b 的图象在 yx+1 的图象的上方， 不等式 ax+bx+1，即 x+1ax+b 的解集为：x2， 故答案为：x2； 【问题解决】设 y|x1|+|x3|，根据题意可得， y|x1|+|x3| ， 由函数图象得，y42x 与 yx+2 有交点，则有： ， 解得， y2x4 与 yx+2 有交点，则有： ， 解得， y|x1|+|x3|与 yx+2 的两个交点坐标分别为（，）；（6，8）， 由函数图象可知，当 x时，y|x1|+|x3|的图象在 yx+2 上方，当 x6 时，y|x1|+|x3|的图 象在 yx+2 上方， 故不等式|x1|+|x3|x+2 的解集为 x或 x6 故答案为：x或 x6