1、专题专题 23 23 四边形中的旋转综合问题四边形中的旋转综合问题 1、如图（1），将正方形 ABCD 与正方形 GECF 的顶点 C 重合，当正方形 GECF 的顶点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上时，的值为 如图（2），将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 a 角（0 a45 ），猜测 AG 与 BE 之间的数量关 系，并说明理由 如图（3），将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 a 角（45 a90 ）使得 B、E、G 三点在一条直线 上，此时 tanGAC，AG6，求 BCE 的面积 解：（1）如图中， ACBC，CG EC， AGACCGBCECBE， ，
2、 故答案为： （2）结论： 如图中，所示，连接 CG ACGBCE， ACGBEC， ， （3）如图中，连接 CG，、 ACGBEC， GACEBCAGCBEC90 ， AG6， BE ， tanEBCtanGAC， EBC30 ， 在 Rt BEC 中，tanEBC EC ， ， 2、如图 1， ABC 是等腰直角三角形，BAC90 ，ABAC，四边形 ADEF 是正方形，点 B、C 分别在 边 AD、AF 上 （1）当 ABC 绕点 A 逆时针旋转 （0 90 ）时，如图 2，求证：BDCF； （2）当 ABC 绕点 A 逆时针旋转 45 时，如图 3，延长 DB 交 CF 于点 H连接
3、BF、DF，延长 AB 交 DF 与 M，连接 HM找出所有与MHB 和为 45 度的角 （l）证明：如图 2 中， 由旋转得：ACAB，CAFBAD；AFAD， 在 ABD 和 ACF 中， ， ABDACF（SAS）， BDCF （2）解：如图 3 中，设 AF 交 DH 于 J ABDACF， AFCADB， FJHAJD， FHJDAJ90 ， BADBAF45 ，AFAD， AMDF，NFMD， BFBD， BFMBDM， BMFBHF90 ， B，M，F，H 四点共圆， MHBBFM， AFB+DFB45 ，ADB+BDF45 ， 与MHB 和为 45 度的角有AFB，ADB，AF
4、C 3、如图，已知点 A （0，8），B （16，0），点 P 是 x 轴上的一个动点（不与原点 O 重合），连结 AP， 把 OAP 沿着 AP 折叠后，点 O 落在点 C 处，连结 PC，BC，设 P（t，0） （1）如图 1，当 APBC 时，试判断 BCP 的形状，并说明理由 （2）在点 P 的运动过程中，当PCB90 时，求 t 的值 （3）如图 2，过点 B 作 BH直线 CP，垂足为点 H，连结 AH，在点 P 的运动过程中，是否存在 AH BC？若存在，求出 t 的值：若不存在，请说明理由 解：（1）等腰三角形， 理由如下：APBC， APCBCP，APOCBP， OAP 沿着
5、 AP 折叠， APOAPC， PCBPBC， PCPB， BCP 是等腰三角形； （2）当 t0 时，如图， OAP 沿着 AP 折叠， AOPACP90 ，OPPCt， ACP+BCP180 ， 点 A，点 C，点 B 三点共线， 点 A （0，8），B （16，0）， OA8，OB16， AB 8， tanABO ， ， t44； 当 t0 时，如图， 同理可求：t44； （3）OAP 沿着 AP 折叠， ACAO8，ACPAOP90 ， BHCP， ACPBHC90 ， AHBC，CHCH， Rt ACHRt BHC（HL） ACBH， 四边形 AHBC 是平行四边形， 如图 2，当
6、0t16 时，点 H 在 PC 上时，连接 AB 交 CH 于 G， 四边形 AHBC 是平行四边形， AGBG4，HGCG，ACBH8， HG4， 在 Rt PHB 中，PB2BH2+PH2， （16t）264+（t8）2 ， t8； 如图 3，当 0t16 时，点 H 在 PC 的延长线上时， 四边形 AHBC 是平行四边形， AGBG4，HGCG，ACBH8， HG4， 在 Rt PHB 中，PB2BH2+PH2， （16t）264+（t+8）2 ， t ； 如图 4，当 t0 时， 同理可证：四边形 ABHC 是平行四边形， 又AHBC， 四边形 ABHC 是矩形， ACBH8，ABC
7、H4， 在 Rt PHB 中，PB2BH2+PH2， （16t）264+（t+8）2 ， t168； 当 t16 时，如图 5， 四边形 ABHC 是矩形， ACBH8，ABCH8，CPOPt， 在 Rt PHB 中，PB2BH2+PH2， （t16）264+（t8）2 ， t16+8 综上所述：当 t8 或或 168或 16+8时，存在 AHBC 4、如图，在 ABC 中，高 AD3，B45 ，tanC，动点 F 从点 D 出发，沿 DA 方向以每秒 1 个单位 长度的速度向终点 A 运动，当点 F 与点 A、D 不重合时，过点 F 作 AB、AC 的平行线，与 BC 分别交于 点 E、G，
8、将 EFG 绕 FG 的中点旋转 180 得 HGF，设点 F 的运动时间为 t 秒， HGF 与 ABC 重叠 部分面积为 S （1）当 t 秒时，点 H 落在 AC 边上； （2）求 S 与 t 的函数关系式； （3）当直线 FG 将 ABC 分为面积比为 1：3 的两部分时，直接写出 t 的值 解：（1）如图，当点 H 落在 AC 边上时， ADBC，AD3，B45 ，tanC， BD3，CD6， BC9， EFAB，FGAC， ， ， DEt，DG2t， EG3t， 将 EFG 绕 FG 的中点旋转 180 得 HGF， EFGH，EGFH， 四边形 EFHG 是平行四边形， FHEG
9、3t，FHEC， 若点 H 落在 AC 边上， AHFC， tanAHF ， ， t ， 故答案为：； （2）当 0t时，S FH DF 3t tt2， 当t3 时，如图，设 FH 与 AC 交于点 N，HG 与 AC 交于点 P，过点 F 作 FMAC 于 M， 四边形 EFHG 是平行四边形， FHBC， 又FGAC， 四边形 FNCG 是平行四边形， FNGC62t， NH3t（62t）5t6， FDt，DG2t， FG t， FGAC， HNPHFG， ， NP ， FGAC， DACDFG， sinDACsinDFG， ， FM（3t）， S FM （NP+FG） （3t） （t+）
10、t2+10t6； （3）如图，延长 GF 交 AB 于 R，过点 R 作 ROBD 于 O， S ABC BC AD， S ABC 9 3， FGDC， tanCtanFGD， OG2RO， BDAD3，ADBC， B45 ， 又ROBD， BRO 是等腰直角三角形， ROBO， BG3RO， 直线 FG 将 ABC 分为面积比为 1：3 的两部分， S BRGS ABC或 S BRGS ABC， 当 S BRGS ABC， BG RO， RO ， BG3 3+2t， t ， 当 S BRGS ABC， BG RO， RO ， BG33+2t， t 5、已知线段 AB，如果将线段 AB 绕点
11、A 逆时针旋转 90 得到线段 AC，则称点 C 为线段 AB 关于点 A 的逆 转点点 C 为线段 AB 关于点 A 的逆转点的示意图如图 1： （1）如图 2，在正方形 ABCD 中，点 为线段 BC 关于点 B 的逆转点； （2）如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x，0），且 x0，点 E 是 y 轴上一点，点 F 是线段 EO 关于点 E 的逆转点，点 G 是线段 EP 关于点 E 的逆转点，过逆转点 G，F 的直线与 x 轴交于 点 H 补全图； 判断过逆转点 G，F 的直线与 x 轴的位置关系并证明； 若点 E 的坐标为（0，5），连接 PF、PG，设 PF
12、G 的面积为 y，直接写出 y 与 x 之间的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围 解：（1）由题意，点 A 是线段 AB 关于点 B 的逆转点， 故答案为 A （2）图形如图 3 所示 结论：GFx 轴 理由：点 F 是线段 EF 关于点 E 的逆转点，点 G 是线段 EP 关于点 E 的逆转点， OEFPEG90 ，EGEP，EFEO， GEFPEO， GEFPEO（SAS）， GFEEOP， OEOP， POE90 ， GFE90 ， OEFEFHEOH90 ， 四边形 EFHO 是矩形， FHO90 ， FGx 轴 如图 41 中，当 0 x5 时， E（0，5）， OE5， 四
13、边形 EFHO 是矩形，EFEO， 四边形 EFHO 是正方形， OHOE5， yFGPH x（5x）x2+x 如图 42 中，当 x5 时， yFGPH x（x5）x2x 综上所述， 6、如图 1，在等腰 Rt ABC 中，BAC90 ，ABAC2，点 M 为 BC 中点点 P 为 AB 边上一动点，点 D 为 BC 边上一动点，连接 DP，以点 P 为旋转中心，将线段 PD 逆时针旋转 90 ，得到线段 PE，连接 EC （1）当点 P 与点 A 重合时，如图 2 根据题意在图 2 中完成作图； 判断 EC 与 BC 的位置关系并证明 （2）连接 EM，写出一个 BP 的值，使得对于任意的
14、点 D 总有 EMEC，并证明 解：（1）图形如图 2 中所示： 结论：ECBC 理由：ABAC，BAC90 ， BACB45 ， EADBAC90 ， BADCAE， ADAE， BADCAE（SAS）， BACE45 ， BCEACB+ACE90 ， ECBC （2）当 BP时，总有 EMEC 理由：如图 3 中，作 PSBC 于 S，作 PNPS，并使得 PNPS，连接 NE，延长 NE 交 BC 于 Q，连接 EM，EC PDPE，DPESPN90 ， DPSEPN， DPSEPN（AAS）， PSDN90 ， PEQPSQSPN90 ， 四边形 PNQS是矩形， PSPN， 四边形
15、PNQS 是正方形， BP，B45 ，AB2， BSPS，BC2 ， BQ2BS，QC ， M 是 BC 的中点， MC ， MQQC ， EQCM， NQ 是 CM 的垂直平分线， EMEC 7、已知，如图， ABC 是等边三角形 （1）如图 1，将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 90 ，得到 AD，连接 BD，BAC 的平分线交 BD 于点 E， 连接 CE 求AED 的度数； 用等式表示线段 AE、CE、BD 之间的数量关系（直接写出结果） （2）如图 2，将线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 90 ，得到 AD，连接 BD，BAC 的平分线交 DB 的延长线 于点 E，连接 CE 依题
16、意补全图 2； 用等式表示线段 AE、CE、BD 之间的数量关系，并证明 （1）解：如图 1 中， ABC 是等边三角形， ABAC，BAC60 ， AE 平分BAC， BAEBAC30 ， 由旋转可知：ADAC，CAD90 ABAD，BAD150 ， ABDD15 ， AEDABD+BAE45 结论： 理由：作 CKBC 交 BD 于 K，连接 CD ABAC，BAECAE，AEAE， AEBAEC（SAS）， BEEC，AEBAEC135 ， BEC90 ， EBCECB45 ， BCK90 ， CKBCBE45 ， CBCE， CEBK， BEEK， ADC45 ，ADB15 ， CDK
17、CAE30 ， CKDAEC135 ， CDKCAE， ， DKAE， BDBK+DK2BE+AE （2）解：图形如图 2 所示： 结论： 理由：过点 A 作 AFAE，交 ED 的延长线于点 F（如图 3） ABC 是等边三角形， ABAC，BAC60 ， AE 平分BAC， 1BAC30 ， 由旋转可知：ADAC，CAD90 ， ABAD，2CADBAC30 ， 3475 ， 54145 ， AFAE， F45 5， AFAE， EFAE， 6EAF1230 ， 6130 ， 又F545 ，ADAB， ADFABE（SAS）， DFBE， ABAC，AE 平分BAC， AE 垂直平分 BC
18、， CEBE， BDEFDFBE， BDAE2CE 8、如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，连接 DE，将 DE 绕着点 E 逆时针旋转 90 ，得到 EG，过 点 G 作 GFCB，垂足为 F，GHAB，垂足为 H，连接 DG，交 AB 于 I （1）求证：四边形 BFGH 是正方形； （2）求证：ED 平分CEI； （3）连接 IE，若正方形 ABCD 的边长为 3，则 BEI 的周长为 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， BCCD，DCEABCABF90 ， GFCF，GHAB， FGHBFBH90 ， 四边形 FBHG 是矩形， EDEG，DEG90 ， DEC
19、+FEG90 ，DEC+EDC90 ， FEGEDC， FDCE90 ， DCEEFG（AAS）， FGEC，EFCD， CBCD， EFBC， BFEC， BFGF， 四边形 FBHG 是正方形 （2）证明：延长 BC 到 J，使得 CJAI DADC，ADCJ90 ，AICJ， DAIDCJ（SAS）， DIDJ，ADICDJ， IDJADC90 ， IDE45 ， EDIEDJ45 ， DEDE， IDEJDE（SAS）， DEIDEJ， DE 平分IEC （3）解：IDEJDE， IEEJ， EJEC+CJ，AICJ， IEECAI， BIE 的周长BI+BE+IEBI+AI+BE+E
20、C2AB6 故答案为 6 9、 在菱形 ABCD 中， ABC60 ， 点 P 是对角线 BD 上一动点， 将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 120 到 CQ， 连接 DQ连接 QP 并延长，分别交 AB、CD 于点 M，N （1）如图 1，求证： BCPDCQ； （2）如图 2，已知 PMQN；若 MN 的最小值为，求菱形 ABCD 的面积 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形， BCDC，ABCD， PBMPBCABC30 ，ABC+BCD180 ， BCD180 ABC120 由旋转的性质得：PCQC，PCQ120 ， BCDDCQ， BCPDCQ， 在 BCP 和 DCQ 中， ，
21、BCPDCQ（SAS）； （2）解：过点 C 作 CGPQ 于点 G，连接 AC， PCQC，PCQ120 ， PCG60 ，PGQG， PGPC， PQPC PMQN， MNPQPC， 当 PCBD 时，PC 最小，此时 MN 最小， PC2，BC2PC4， 菱形 ABCD 中，ABC60 ， ABC 是等边三角形， 4， 菱形 ABCD 的面积2S ABC2 48； 10、四边形 ABCD 是正方形，PA 是过正方形顶点 A 的直线，作 DEPA 于 E，将射线 DE 绕点 D 逆时针旋 转 45 与直线 PA 交于点 F （1）如图 1，当PAD45 时，点 F 恰好与点 A 重合，则的
22、值为 ； （2）如图 2，若 45 PAD90 ，连接 BF、BD，试求的值，并说明理由 解：（1）PAD45 ，DEAP， DAEEDA， AEDE， ADAE， 四边形 ABCD 是正方形， ADABBFAE， ； （2）过点 B 作 BHAP 于 H， 四边形 ABCD 是正方形， ADAB，ABD45 ，BAD90 ， BAH+DAE90 ， 又BAH+ABH90 ， ABHDAE， 又ADAB，DEAAHB90 ， ADEBAH（AAS）， AEBH， 将射线 DE 绕点 D 逆时针旋转 45 与直线 PA 交于点 F， EDF45 ， EFD45 ABD， 点 A，点 F，点 B，
23、点 D 四点共圆， BFHADB45 ， 又BHAP， FBHBFH45 ， BHFH， BFBHAE， 11、如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，四边形 EFGH 是正方形，EH 与 BD 重合，将图中的正 方形 EFGH 绕着点 D 逆时针旋转 （1） 旋转至如图位置， DE 交 BC 于点 L 延长 BC 交 FG 于点 M， 延长 DC 交 EF 于点 N 试判断 DL EN、 GM 之间满足的数量关系，并说明理由： （2）旋转至如图位置，使点 G 落在 BC 的延长线上，DE 交 BC 于点 L，连接 BE，求 BE 的长 解：（1）DLEN+GM 证明：如图 1，过点 G
24、作 GKBM， 四边形 EFGD 是正方形， DEFDGFEDG90 ，DGDE， EDN+NDGNDG+DGK90 ， EDNDGK， DKGEND（ASA）， ENDK， 在平行四边形 DKMG 中，GMKL， DLDK+KL， DLEN+GM； （2）如图 2，过点 E 作 EPBG 于点 P， 在 Rt DCG 中，CD6，DG10，CG8， tanCGD ， CDLCGD， tanCDL ， 在 Rt CDL 中，LC，DL， BL8，EL10 ， 同理，在 Rt ELP 中，PE2，PL， BP2， 在 Rt BPE 中，BE2 12、在矩形 ABCD 中，ADAB，连接 AC，线
25、段 AC 绕点 A 逆时针 90 旋转得到线段 AE，平移线段 AE 得到 线段 DF（点 A 与点 D 对应，点 E 与点 F 对应），连接 BF，分别交 AD，AC 于点 G，M，连接 EF （1）依题意补全图形 （2）求证：EGAD （3）连接 EC，交 BF 于点 N，若 AB2，BC4，设 BMa，NFb，试比较（a+1）（b+1）与 9+6 之间的大小关系，并证明 （1）解：图形如图 1 所示： （2）证明：如图 2 中，过点 A 作 AHFE 交 FE 的延长线于 H EFAD，H90 ， HAD180 H90 ， 四边形 ABCD 是矩形， BADADC90 ，ABCD，BCA
26、D， CAEDAH90 ， HAEDAC， HADC90 ，AEAC， AHEADC（AAS）， EHCDAB，AHADEF， DAH+BAD180 ， B，A，H 共线， AHEF，EHAB， HBHF， HBFHFB45 ， AGBABG45 ， ABAG， EHAG， EHAG， 四边形 AHEG 是平行四边形， H90 ， 四边形 AHEG 是矩形， AGE90 ， EGAD （3）解：如图 3 中，过点 A 作 AHFE 交 FE 的延长线于 H 由（2）可知，ABBG2， BAG90 ， BGAB2 ， AGBC， ， aBMBG ， 由（2）可知，BHHF2+46， H90 ， BF6， EFBC， NEFNCB， ENFCNB，EFBC， ENFCNB（AAS）， bNFBF3 ， （a+1）（b+1）（+1）（3+1）8+3+19+9+6， （a+1）（b+1）9+6