1、专题专题 30 30 一次函数应用题一次函数应用题 1有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有 PQR 三点顺次在同一条笔直的赛道上，甲、 乙两机器人分别从 P、Q 两点同时同向出发，历时 7 分钟同时到达 R 点，乙机器人始终以 60 米/分的速 度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离 y（米）与他们的行走时间 x（分钟）之间的函数图象，其中 FGx 轴，请结合图象，回答下列问题： （）求甲机器人前 2 分钟的速度 （）若前 3 分钟甲机器人的速度不变，求线段 EF 所在直线的函数解析式 （）直接写出两机器人出发多少分钟时相距 21 千米 解：（）由题意可得， 甲的速度为：（70+
2、60 2） 2（70+120） 2190 295 米/分， 答：甲机器人前 2 分钟的速度是 95 米/分； （）由题意可得， 点 F 对应的纵坐标为：（9560） 135， 点 F 的坐标为（3，35）， 设线段 EF 所在直线的函数解析式是 ykx+b， ，解得， 即线段 EF 所在直线的函数解析式是 y35x70； （）设前二分钟 y 与 x 的函数解析式为 ycx+d， ，得， 即前二分钟 y 与 x 的函数解析式为 y35x+70， 令 y21，则 2135x+70，得 x， 将 y21 代入 y35x70，得 x， 设当 4x7 时，y 与 x 的函数解析式为 ymx+n， ，得，
3、 即当 4x7 时，y 与 x 的函数解析式为 y， 将 y21 代入 y，得 x， 即两机器人出发分钟、分钟或分钟时相距 21 千米 2张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油 50 升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继 续向目的地行驶已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定油箱中剩余油量 Q（升）与汽车行驶时间 t（时）之间的函数图象如图所示 （1）张师傅开车行驶 小时后开始加油，本次加油 升 （2）求加油前 Q 与 t 之间的函数关系式 （3）如果加油站距目的地 210 千米，汽车行驶速度为 70 千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油 是否够用？请通过计
4、算说明理由 解：（1）观察函数图象可知：张师傅开车行驶 3 小时后开始加油， 451431（升） 故答案为：3；31 （2）设加油前 Q 与 t 之间的函数关系式为 Qkt+b（k0）， 将（0，50）、（3，14）代入 Qkt+b， 得：， 解得：， 加油前 Q 与 t 之间的函数关系式为 Q12t+50（0t3） （3）该车每小时耗油量为：（5014） 312（升）， 到达目的地还需耗用 12 （210 70）36（升）， 4536， 张师傅要想到达目的地，油箱中的油够用 3如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ymx+n（m0）的图象与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交 于点 B，
5、且与正比例函数 y2x 的图象交于点 C（3，6） （1）求一次函数 ymx+n 的解析式； （2）点 P 在 x 轴上，当 PB+PC 最小时，求出点 P 的坐标； （3）若点 E 是直线 AC 上一点，点 F 是平面内一点，以 O、C、E、F 四点为顶点的四边形是矩形，请直 接写出点 F 的坐标 解：（1）一次函数 ymx+n（m0）的图象经过点 A（3，0），点 C（3，6）， ， 解得， 一次函数的解析式为 yx+3 （2）如图 1 中，作点 P 关于 x 轴的对称点 B，连接 CB交 x 轴于 P，此时 PB+PC 的值最小 B（0，3），C（3，6） B（0，3）， 直线 CB的解
6、析式为 y3x3， 令 y0，得到 x1， P（1，0） （3）如图， 当 OC 为边时，四边形 OCFE 是矩形，此时 EOOC， 直线 OC 的解析式为 y2x， 直线 OE 的解析式为 yx， 由，解得， E（2，1）， EOCF，OECF， F（1，7） 当 OC 为对角线时，四边形 OECF是矩形，此时 OEAC， 直线 OE的解析式为 yx， 由，解得， E（，）， OECF，OECF， F（，）， 综上所述，满足条件的点 F 的坐标为（1.7）或（，） 4如图，在平面直角坐标系中，已知点 A，B 的坐标分别为（8，0），（0，2），C 是 AB 中点，过点 C 作 y 轴的垂线，
7、垂足为 D动点 P 从点 D 出发，沿 DC 向 C 匀速运动，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BP，EC （1）当 BP 所在直线与 EC 所在直线垂直时，求点 P 的坐标 （2）当 BP 所在直线平分三角形 PEC 面求点 P 的坐标 解：如图：当 BP 所在直线与 EC 所在直线第一次垂直时，设 BP 与 CE 交于点 F，则FCPDBP 点 A、B 的坐标分别为（8，0），（0，2 ） BO2 ，AO8 由 CDBO，C 是 AB 的中点，可得 BDDOBOPE，CDAO4， 设 DPa，则 CP4a 又EPCP，PDBD EPCPDB90 EPCPDB ，即 ， 解得
8、a11，a23 DP1 或 3， 又PE， P（1，）或（3，） （2）如图，当 BP 所在直线 平分三角形 PEC 面积时，EFCF，设 DPa，则 CP4a， PFCFEF， FPCPCFBPD， CPEPDB， ， ， a2， P（2，） 5如图，直线 AB，AC 交于点 A（3，8），与 x 轴分别交于点 B（3，0），C（7，0），直线 AB 与 y 轴交于点 D，点 Q、E 分别在线段 BC、AC 上，且 QEAB，设点 Q 的坐标为（m，0） （1）用含有 m 的代数式表示点 E 的纵坐标，并求 CEQ 的面积 S 与 m 间的函数关系式； （2）若 CEQ 的面积为 10，求点
9、 Q 的坐标； （3）如图，连接 DE，在（2）的条件下判断四边形 BQED 的形状，并写明理由 解： （1）B（3，0），C（7，0），A（3，8）， BC7（3）10， S ABC 10 840， QEAB， CEQCAB， （）2 Q（m，0）， CQ7m， （）2， Sm2m+ ； （2）在 Sm2m+中，令 S10，可得 10m2m+，解得 m2 或 m12， Q 在线段 BC 上， m12 舍去， m2， Q（2，0）； （3）四边形 BQED 为菱形，理由如下： 设直线 AB 解析式为 ykx+b， A（3，8），B（3，0）， ，解得， 直线 AB 解析式为 yx+4， D（0
10、，4）， QEAB， 可设直线 QE 解析式为 yx+b， Q（2，0）， 2+b0，解得 b， 直线 QE 解析式为 yx， 设直线 AC 解析式为 ysx+t， A（3，8），C（7，0）， ，解得， 直线 AC 解析式为 y2x+14， 联立直线 AC 和直线 QE 解析式可得，解得， E（5，4）， DEBQ，且 QEAB， 四边形 BQED 平行四边形， DE5，BD5， 四边形 BQED 为菱形 6如图，已知直线与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B 两点，点 C 是点 A 关于 y 轴的对称点 （1）试确定直线 BC 的解析式 （2）若动点 P 从 A 点出发沿 AC 向点 C 运
11、动（不与 A、C 重合），同时动点 Q 从 C 点出发沿 CBA 向点 A 运动（不与 C、A 重合），动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度，动点 Q 的运动速度是每秒 2 个单 位长度设 APQ 的面积为 S，P 点的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范 围 （3）在（2）的条件下，当 APQ 的面积最大时，y 轴上有一点 M，平面内是否存在一点 N，使以 A、Q、 M、N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）直线与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B 两点， A（4，0），B（0，4）， 点 C 是点
12、 A 关于 y 轴的对称点， C（4，0）， 设直线 BC 的解析式为 ykx+4， 4k+40， k ， 直线 BC 的解析式为 yx+4； （2）A（4，0），B（0，4），C（4，0）， ABBC8，AC8， ACABBC， ABC 是等边三角形， OAOCABBC， 动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度，动点 Q 的运动速度是每秒 2 个单位长度， 点 P 在线段 OA 上时，点 Q 在线段 BC 上，点 P 在线段 OC 上时，点 Q 在线段 AB 上， 如图 1，当 P 点在 AO 上时，作 QHx 轴， ， ， QHt S APQAPQHttt2（0t4）， 当 P 点在
13、OC 上时，同理可得 S APQt（8t）t2+4t（4t8）； （3）存在由（2）知，S APQt2（0t4）， 当 t4 时， APQ 的面积最大为 8， 由（2）知，S APQt2+4t （t4）2+8（4t8）； 当 t4 时， APQ 的面积取得最大为 8， 当 t4 时， APQ 的面积取得最大值 AO4，BC8，所以此时 Q 点和 B 点重合， 当 AQ 是菱形的边时，如图所示， （）在菱形 AM1N1Q 中， ACOB，点 C 是点 A 的对称点， 点 N1于点 C 重合， N1点的坐标为（4，0）， （）在菱形 AQM2N2中，AN2OB，AN2AQ8， N2点的坐标为（4，
14、8）， （）在菱形 AQM3N3中，AN3OB，AN3AB8， N3点的坐标为（4，8）， 当 AQ 为菱形的对角线时，如图所示的菱形 AM4QN4， 设菱形的边长为 x，则在 Rt AM4O 中，AM42AO2+M4O2， 即 x242+（4 x）2， 解得 x， 所以 N4（4， ） 综上可得，平面内满足条件的 N 点的坐标为（4，0）或（4，8）或（4，8）或（4，） 7某乡 A，B 两村盛产大蒜，A 村有大蒜 200 吨，B 村有大蒜 300 吨，现将这些大蒜运到 C，D 两个冷藏仓 库已知 C 仓库可储存 240 吨，D 仓库可储存 260 吨，从 A 村运往 C，D 两处的费用分别
15、为每吨 40 元 和 45 元； 从 B 村运往 C， D 两处的费用分别为每吨 25 元和 32 元 设从 A 村运往 C 仓库的大蒜为 x 吨， A，B 两村运大蒜往两仓库的运输费用分别为 yA元，yB元 （1）请填写下表，并求出 yA，yB与 x 之间的函数关系式； C D 总计 A x 吨 200 吨 B 300 吨 总计 240 吨 260 吨 500 吨 （2）当 x 为何值时，A 村的运费较少？ （3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值 解：（1）设从 A 村运往 C 仓库的大蒜为 x 吨，则从 A 村运往 D 仓库的大蒜为（200 x）吨，从 B 村运往 C 仓
16、库的大蒜为（240 x）吨，从 B 村运往 D 仓库的大蒜为（60+x）吨， 根据题意得：yA40 x+45（200 x）5x+9000； yB25（240 x）+32（60+x）7x+7920 故答案为：（200 x）吨；（240 x）吨；（60+x）吨 （2）根据题意得：5x+90007x+7920， 解得：x90， 当 90 x200 时，A 村的运费较少 （3）设总运费为 y 元，则 yyA+yB5x+9000+7x+79202x+16920， k20， y 值随 x 值的增大而增大， 当 x0 时，y 取最小值，最小值为 16920 答：当 A 村大蒜运往 C 仓库 0 吨、D 仓库
17、 200 吨，B 村大蒜运往 C 仓库 240 吨、D 仓库 60 吨时，两村 的运费之和最小，最小值为 16920 元 8已知：如图 1，在平面直角坐标系中，直线 yx+与直线 ykx+2k 分别与 x 轴交于 B、A 两点， 它们交于点 C，且 ABC 的面积为 （1）求 k 的值； （2）如图 2，点 P 在直线 BC 上，过 P 点作 x 轴的垂线交直线 AC 于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，线段 PQ 的长为 d，求 d 与 t 的函数关系式并直接写出自变量 t 的取值范围； （3）如图 3，点 P 和点 D 分别为线段 BC 和线段上 AC 上的点，且满足 PBBD，延长 BD
18、 至 E，使得 PBPE，当BPE4DBA 时，求点 P 的坐标 解：（1）如图 1 中，作 CHAB 于 H，设 C（m，n） 直线 yx+与直线 ykx+2k 分别与 x 轴交于 B、A 两点， A（2，0），B（，0）， S ABC， （2+） n， n4， 4m+ ， m ， C（，4）， 点 C 在 ykx+2k 上， 4k+2k， k3 （2）如图 2 中，当 t时， 直线 BC 的解析式为 yx+，直线 AC 的解析式为 y3x+6 P（t，t+），Q（t，3t+6）， dPQ3t+6（+）t+ 当 t时，d（t+）（3t+6）t （3）如图 3 中，设直线 BC 交 y 轴于
19、F（0，），直线 BE 交 y 轴于 K，作 PHAB 于 H BPE4EBA，设EBAx，则BPE4x， PBPE， PBE（180 4x）90 2x， PBE90 KBOBFO， BFOx， OBKBFO，BOKBOF， OBKOFB， OB2OKOF， 可得 OK， 直线 BE 的解析式为 yx+， 由，解得， D（，）， BD ， BPBD ， PHOF， ， 可得 PH3，BH， OHBHOB ， P（，3） 9如图，矩形 OABC 摆放在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，OA8，OC6 （1）求直线 AC 的表达式； （2）若直线 yx+b 与
20、矩形 OABC 有公共点，求 b 的取值范围； （3）直线 l：ykx+10 与矩形 OABC 没有公共点，直接写出 k 的取值范围 解： （1）OA8，OC6， A（8，0），C（0，6）， 设直线 AC 表达式为 ykx+b， ，解得， 直线 AC 表达式为 yx+6； （2）直线 yx+b 可以看到是由直线 yx 平移得到， 当直线 yx+b 过 A、C 时，直线与矩形 OABC 有一个公共点，如图 1， 当过点 A 时，代入可得 08+b，解得 b8， 当过点 C 时，可得 b6， 直线 yx+b 与矩形 OABC 有公共点时，b 的取值范围为8b6； （3）ykx+10， 直线 l
21、过 D（0，10），且 B（8，6）， 如图 2，直线 l 绕点 D 旋转，当直线过点 B 时，与矩形 OABC 有一个公共点，逆时针旋转到与 y 轴重合 时与矩形 OABC 有公共点， 当过点 B 时，代入可得 68k+10，解得 k， 直线 l：ykx+10 与矩形 OABC 没有公共点时 k 的取值范围为 k 10如图，墙面 OC 与地面 OD 垂直，一架梯子 AB 长 5 米，开始时梯子紧贴墙面，梯子顶端 A 沿墙面匀速 每分钟向下滑动 1 米，x 分钟后点 A 滑动到点 A，梯子底端 B 沿地面向左滑动到点 B，OBy 米，滑动 时梯子长度保持不变 （1）当 x1 时，y 米； （2
22、）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）梯子底端 B 沿地面向左滑动的速度是 A匀速 B先加速后减速 C减速 D先减速后加速 （4）研究（2）中函数图象及其性质在所给的坐标系中画出函数图象；观察图象，你发现，它到 的距离都是 个单位 （5）梯子在滑动过程中，它的中点 Q 的运动路径长 解：（1）x1 时，AB514，AB5， O90 ， yOB3 故答案为 3； （2）y，（0 x5）； （3）如图 2 中，在半径 OQ 上取 ABBC，过 A、B、C 作 x 轴的垂线交圆弧于 D、E、F，作 DMBE， ENCF，延长 DE 交 CF 于 G那么 GNEM， GNFN， EMFN， 即点 A 移动的距离大于点 B 移动的距离， 是减速， 故选 C （4）填表： 图象如图所示： y ， y2+（5x）252， 即 PQ2PR2+RQ225， PQ5， P 到点 Q（5，0）的距离是 5 个单位， 故答案为：Q（5，0），5； （5）（4）可知，函数图象是以 Q 为圆心的圆弧， 它的中点 Q 的运动路径长 故答案为：