1、专题专题 26 26 四边形中的线段长度问题四边形中的线段长度问题 1、如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，BAC90 ，AC6，BD8，则 CD 的长 为（ ） A B5 C D10 解： ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， BODO，AOCO，ABCD， BAC90 ，AC6，BD8， BO4，OA3， ， 故选：A 2、如图，E、F 分别是正方形 ABCD 边 AD、BC 上的两定点，M 是线段 EF 上的一点，过 M 的直线与正方 形 ABCD 的边交于点 P 和点 H，且 PHEF，则满足条件的直线 PH 最多有（ ）条 A1 B2 C
2、3 D4 证明：如图 1，过 B 作 BGEF，过 C 作 CQPH， 四边形 ABCD 是正方形， ADBC，ABCD，ACBQ90 ， 四边形 BFEG 和四边形 CQPH 是平行四边形， EFBG，PHCQ， PHEF， BGCQ， ABBC， Rt ABGRt BCQ（HL）， ABGBCQ， ABG+CBGCBG+BCQ90 ， CQBG， PHEF， 所以图 1 中过 M 与 EF 垂直满足条件有一条， 如图 2，还有两条：P1H1，P2H2， 故选：C 3、如图，在矩形 ABCD 中对角线 AC 与 BD 相交于点 O，CEBD，垂足为点 E，CE5，且 EO2DE，则 AD 的
3、长为 解：四边形 ABCD 是矩形， ADC90 ，BDAC，ODBD，OCAC， OCOD， EO2DE， 设 DEx，OE2x， ODOC3x，AC6x， CEBD， DECOEC90 ， 在 Rt OCE 中， OE2+CE2OC2， （2x）2+52（3x）2 ， x0， DE，AC6 ， CD ， AD 5， 故答案为：5 4、如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作 DEAC，且 DE：AC1：2，连接 CE、 OE，连接 AE 交 OD 于点 F （1）求证：OECD； （2）若菱形 ABCD 的边长为 2，ABC60 ，求 AE 的长 （1）证明：
4、在菱形 ABCD 中，OCAC DE：AC1：2， DEOC， DEAC， 四边形 OCED 是平行四边形 ACBD， 平行四边形 OCED 是矩形 OECD （2）解：在菱形 ABCD 中，ABC60 ， ACAB2 在矩形 OCED 中， CEOD 在 Rt ACE 中， AE 5、四边形 ABCD 是平行四边形，AB （1）求证： ABCD 是矩形； （2）若 BCAB，求ACB 的度数； （3）在（2）的条件下，点 E，F 分别在 AB，AD 上，且 CECF，ECF30 ，AC4，求 2AEFD 的值 （1）证明：如图 1 中， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， A+B1
5、80 ， AB， AB90 ， 四边形 ABCD 是矩形； （2）解：如图 2 中， 在 Rt ACB 中，tanACB， ACB30 ； （3）解：如图 3 中，作 FHAC 于 H ACBECF30 ， BCEFCH， CECF，BFHC90 ， BCEHCF， BEFH， 在 Rt AFH 中，FAH30 ， FHAF， AE+AFAE+FHAE+BEAB， 在 Rt ACB 中，ACB30 ， ABAC2， AE+AF2， 2AE+AF4， AF42AE， DFADAF2（42AE）， 2AEFD42 6、如图所示，四边形 ABCD 为平行四边形，AD13，AB25，DAB，且 cos
6、，点 E 为直线 CD 上一动点，将线段 EA 绕点 E 逆时针旋转 得到线段 EF，连接 CF （1）求平行四边形 ABCD 的面积； （2）当点 C、B、F 三点共线时，设 EF 与 AB 相交于点 G，求线段 BG 的长； （3）求线段 CF 的长度的最小值 解（1）如图 1，作 DKAB 于点 K， 将线段 EA 绕点 E 逆时针旋转 得到线段 EF， AEF，AEEF， 在 Rt DAK 中， cosDAKcos，且 AD13， AK5， DK 12， S平行四边形ABCDAB DK25 12300； （2）如图 2，延长 CD 至 H，作AHD， AHDADH， AHAD13， 过
7、点 A 作 AMDH 于点 M， 由（1）知 AM12， DM5， DH10， FEHDEA+F+， DEAF， 在 AEH 和 EFC 中， ， AEHEFC（AAS）， EHCF，CEAH13， DECDCE12，BFCFBC22139， BGCE， FBGFCE， ， 即， BG ； （3）如图 3，延长 CD 至 P，使PADP，过点 F 作 FMBC，交 CD 于点 M，过点 FNCD， 交 CD 于点 N， 由（2）可知AEPEFM， 在 EAP 和 FEM 中 ， EAPFEM（AAS）， EMAP13，FMEP， 设 DEx，则 FMEP10+x，CM25（13+x）12x，
8、FNFMsin（10+x），MNFMcos（10+x）， CNCM+MN12x+（10+x）， 在 Rt CFN 中，CF2CN2+NF2（208x2416x+56836）， 对称轴 x1， 当 x1 时，CF 的值最小，CF 的最小值为 7、如图，已知 ABCD，E 是 CA 延长线上一点，且EAB90 ，ABAE，点 F 是 BC 下方一点，且 FE FD，EFD90 ， （1）求证：FEAFDC； （2）若 AF3，求 AC 的长 （1）证明：设 AC 与 DF 交于点 O，如图 1 所示： EAB90 ， BAC90 ， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， ACDB
9、AC90 ， FDC+COD90 ， EFD90 ， FEA+FOE90 ， 又FOECOD， FEAFDC； （2）解：连接 CF，如图 2 所示： ABAE，ABCD， AECD， 在 AEF 和 CDF 中， AEFCDF（SAS）， AFCF，AFECFD， AFCEFD90 ， ACF 是等腰直角三角形， ACAF3 8、已知在四边形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD2，AB4，BC6 （1）如图 1，P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，过点 Q 作 QHBC，交 BC 的 延长线于 H求证： ADPHCQ； （2）若 P 为 AB 边上任意一点
10、，延长 PD 到 E，使 DEPD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE请 问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由 （3）如图 2，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AEnPA（n 为常数），以 PE，PB 为边作 平行四边形 PBQE请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在， 请说明理由 解：（1）ADBC， ADCDCH， ADP+PDCDCQ+QCH， 四边形 PCQD 是平行四边形， PDCQ，PDCQ， PDCDCQ， ADPQCH， 在 ADP 和 HCQ 中， ， ADP
11、HCQ（AAS）； （2）存在最小值，最小值为 10， 如图 1，作 QHBC，交 BC 的延长线于 H，设 PQ 与 DC 相交于点 G， PECQ， DPGCQG， ， 由（1）可知，ADPQCH， Rt ADPRt QCH， ， CH2AD4， BHBC+CH6+410， 当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 10； （3）存在最小值，最小值为（ n+4 ）， 如图 2，作 QHDC，交 CB 的延长线于 H，作 CKCD，交 QH 的延长线于 K， PEBQ，AEnPA， ， ADBC， ADP+DCH90， CDQK， QHC+DCH180 ， QHCADQ， PAD+PAGQBH
12、+QBG90 ，PAGQBG， PADQBH， ADPBHQ， ， BH2n+2， CHBC+BH6+2n+22n+8， 过点 D 作 DMBC 于 M，又DABABM90 ， 四边形 ABMD 是矩形， BMAD2，DMAB4， MCBCBM624DM， DCM45 ， HCK45 ， CKCHcos45 （ 2n+8 ）（ n+4 ）， 当 PQCD 时，PQ 的长最小，最小值为（ n+4 ） 9、如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 是正方形 ABCD 内一点，连结 PA，PB，PD， PAB 为等边三 角形 （1）求点 P 到边 AD，AB 的距离之和； （2）如图，连结 BD
13、 交 PA 于点 E，求 PBD 的面积以及的值 解：（1）如图，过 P 作 PMAD 于 M，PNAB 于 N， 四边形 ABCD 是正方形， DAB90 ， PMADABPNB90 ， 四边形 ANPM 是矩形， PMAN，AMPN， ABP 是等边三角形， ANAB1，PN ， PMAN1， PM+PN+1， 即点 P 到边 AD，AB 的距离之和为+1； （2）S PBDS四边形ABPDS ABD AD（PM+PN）ADAB 2 （1+） 2 21； 如图，过 P 作 PGBD 于 G，过 A 作 AHBD 于 H， PGEAHE90 ， PEGAEH， PGEAHE， ， +1， +
14、1 10、已知：如图，在 Rt ABC 中，ACB90 ，BC8，AB10，点 P，E，F 分别是 AB，AC，BC 上 的动点，且 AP2CE2BF，连结 PE，PF，以 PE，PF 为邻边作平行四边形 PFQE （1）当点 P 是 AB 的中点时，试求线段 PF 的长 （2）在运动过程中，设 CEm，若平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 BC 或射线 AC 分成 1：3 的两 部分，试求 m 的值 （3）如图，设直找 FQ 与直线 AC 交于点 N，在运动过程中，以点 Q，N，E 为顶点的三角形能否构成 直角三角形？若能，请直接写出符合要求的 CE 的长；若不能，请说明理由 解：（1）
15、如图，作 PHBC 于点 H， ACB90 ，BC8，AB10， AC6 AP2CE2BF， 点 P 是 AB 的中点， PAPB5 CEBF，PH3，BHCH4， FH PF （2）如图，平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 BC 分成 1：3 的两部分时，则 EMPF PHBC， PHF90 ACB， PHAC， CEMHPF， PBHABC， PH2CE2m， ， m 如图，平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 AC 分成 1：3 的两部分时，则 FDQD，QNPG， CFPG APGABC， ， m m 的值为或 （3）如图，当QNE90 时，则点 N 与点 C 重合，设 CEx，
16、 PBHABC， ， ， x 如图，当QNE90 时，则点 P 与点 B 重合， 则 2x10， x5 如图，当QNE90 时， FPRPES， ， ， x 经检验，x 值符合题意 综上，CE 的长为或 5 或 11、已知菱形 ABCD 中，AB4，BAD120 ，点 P 是直线 AB 上任意一点，连接 PC，在PCD 内部作 射线 CQ 与对角线 BD 交于点 Q（与 B、D 不重合），且PCQ30 （1）如图，当点 P 在边 AB 上，且 BP3 时，求 PC 的长； （2）当点 P 在射线 BA 上，且 BPn（0n8）时，求 QC 的长；（用含 n 的式子表示） （3）连接 PQ，直线
17、 PQ 与直线 BC 相交于点 E，如果 QCE 与 BCP 相似，请直接写出线段 BP 的长 解：（1）如图 1 中，作 PHBC 于 H 四边形 ABCD 是菱形， ABBC4，ADBC， A+ABC180 ， A120 ， PBH60 ， PB3，PHB90 ， BHPBcos60，PHPBsin60， CHBCBH4， PC （2）如图 1 中，作 PHBC 于 H，连接 PQ，设 PC 交 BD 于 O 四边形 ABCD 是菱形， ABDCBD30 ， PCQ30 ， PBOQCO， POBQOC， POBQOC， ， ， POQBOC， POQBOC， OPQOBC30 PCQ，
18、PQQC， PCQC， 在 Rt PHB 中，BPn， BHn，PH n， PC2PH2+CH2， 3QC2（n）2+（4n）2， QC（0n8） （3）如图 2 中，若直线 QP 交直线 BC 于 B 点左侧的点 E 此时CQE120 ， PBC60 ， PBC 中，不存在角与CQE 相等， 此时 QCE 与 BCP 不可能相似 如图 3 中，若直线 QP 交直线 BC 于点 C 右侧的点 E 则CQEBQBC+QCP60 CBP， PCBE， 只可能BCPQCE75 ， 作 CFAB 于 F，则 BF2，CF2，PCF45 ， PFCF2， 此时 BP2+2， 如图 4 中，当点 P 在
19、AB 的延长线上时， CBE 与 CBP 相似， CQECBP120 ， QCECBP15 ， 作 CFAB 于 F FCB30 ， FCB45 ， BFBC2，CFPF2 ， BP22 综上所述，满足条件的 BP 的值为 2+2或 22 12、如图，在 AOC 中，OAOC，OD 是 AC 边中线延长 AO 至点 B，作COB 的角平分线 OH，过点 C 作 CFOH 于点 F （1）求证：四边形 CDOF 是矩形； （2）连接 DF，若 cosA，CF8，求 DF 的长 （1）证明：在 AOC 中，OAOC，OD 是 AC 边中线， ODAC，OD 平分AOC， ODC90 ，CODAOC
20、， OH 平分COB， COFCOB， AOC+COB180 ， COD+COF90 ，即DOF90 ， CFOH， CFO90 ， 四边形 CDOF 是矩形； （2）解：如图所示： OAOC， AACO， 四边形 CDOF 是矩形， CDOF， ACOCOF， cosCOFcosA ， 设 OF3x，OC5x， 则 CF4x， CF84x， x2， OC10， 在矩形 CDOF 中，DFOC10 13、如图，在四边形 ABCD 中，A90 ，ADBC，BCBD，CEBD，垂足为 E （1）求证： ABDECB； （2）若 AD4，CE3，求 CD 的长 证明：（1）ADBC， ADBEBC， CEBD，A90 ， ABEC90 ， 在 ABD 和 ECB 中， ， ABDECB（AAS）； （2）ABDECB， ABCE3， AD4， 在 Rt ABD 中，由勾股定理可得：BD5， BDECB， DBE4， DEBDBE1， 在 Rt CDE 中，由勾股定理得：CD