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2021年中考数学分类专题突破18 勾股定理实际应用(含答案解析)

1、专题专题 18 18 勾股定理实际应用勾股定理实际应用 一选择题 1如图,一根长 5 米的竹竿 AB 斜靠在竖直的墙上,这时 AO 为 4 米,若竹竿的顶端 A 沿墙下滑 2 米至 C 处,则竹竿底端 B 外移的距离 BD( ) A小于 2 米 B等于 2 米 C大于 2 米 D以上都不对 解:由题意得:在 Rt AOB 中,OA4 米,AB5 米, OB3 米, 在 Rt COD 中,OC2 米,CD5 米, OD米, BDODOB(3)1.58(米) 故选:A 2 在以下列长度为边长的4个正方形铁片中, 若要剪出一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片, 则符合要求的正方形铁片边长

2、的最小值为( ) A B C D 解:如图所示: CEF 是直角三角形,CEF90 ,CE4,EF1, AEF+CED90 , 四边形 ABCD 是正方形, AD90 ,ADCD, DCE+CED90 , AEFDCE, AEFDCE, , 设 AExcm,则 ADCD4xcm, DEADAE3xcm, 在 Rt CDE 中,由勾股定理得:(3x)2+(4x)242, 解得:x, AD4 故选:B 3如图,有一个水池,水面是一边长为 10 尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面 1 尺如 果把这根芦苇拉向水池一边,它的顶端恰好到达池边的水面,这根芦苇的长度为( )尺 A10 B12 C

3、13 D14 解:设水深为 x 尺,则芦苇长为(x+1)尺, 根据勾股定理得:x2+()2(x+1)2, 解得:x12, 芦苇的长度x+112+113(尺), 答:芦苇长 13 尺 故选:C 4在我国古代数学著作九章算术“勾股”章中有一题:“今有开门去阃(kn)一尺,不合二寸,问门广 几何?”大意是说:如图,推开双门(AD 和 BC),门边缘 D,C 两点到门槛 AB 的距离为 1 尺(1 尺 10 寸),双门间的缝隙 CD 为 2 寸,那么门的宽度(两扇门的和)AB 为( ) A103 寸 B102 寸 C101 寸 D100 寸 解:设 OAOBADBCr,过 D 作 DEAB 于 E,

4、则 DE10,OECD1,AEr1 在 Rt ADE 中, AE2+DE2AD2,即(r1)2+102r2, 解得 2r101 故门的宽度(两扇门的和)AB 为 101 寸 故选:C 5如图,一棵大树在离地面 3m,5m 两处折成三段,中间一段 AB 恰好与地面平行,大树顶部落在离大树 底部 6m 处,则大树折断前的高度是( ) A9m B14m C11m D10m 解:如图,作 BDOC 于点 D, 由题意得:AOBD3m,ABOD2m, OC6m, DC4m, 由勾股定理得:BC5(m), 大树的高度为 5+510(m), 故选:D 6 将一根长度为 16cm 自然伸直的弹性皮筋 AB 两

5、端固定在水平的桌面上, 然后把中点 C 竖直向上拉升 6cm 至 D 点(如图),则该弹性皮筋被拉长了( ) A2cm B4cm C6cm D8cm 解:连接 CD, 中点 C 竖直向上拉升 6cm 至 D 点, CD 是 AB 的垂直平分线, ACD90 ,ACBCAB8cm,ADBD, 在 Rt ACD 中,由勾股定理得: AD 10(cm), BD10cm, AD+BD20cm, AB16cm, 该弹性皮筋被拉长了:20164(cm), 故选:B 7如图,高速公路上有 A、B 两点相距 10km,C、D 为两村庄,已知 DA4km,CB6kmDAAB 于 A, CBAB 于 B, 现要在

6、 AB 上建一个服务站 E, 使得 C、 D 两村庄到 E 站的距离相等, 则 EB 的长是 ( ) km A4 B5 C6 D 解:设 BEx,则 AE(10 x)km, 由勾股定理得: 在 Rt ADE 中, DE2AD2+AE242+(10 x)2, 在 Rt BCE 中, CE2BC2+BE262+x2, 由题意可知:DECE, 所以:62+x242+(10 x)2, 解得:x4km 所以,EB 的长是 4km 故选:A 8某工厂的厂门形状如图(厂门上方为半圆形拱门),现有四辆装满货物的卡车,外形宽都是 2.0 米,高 分别为 2.8 米,3.1 米,3.4 米,3.7 米,则能通过该

7、工厂厂门的车辆数是( ) (参考数据:1.41, 1.73,2.24) A1 B2 C3 D4 解:车宽 2 米, 卡车能否通过,只要比较距厂门中线 1 米处的高度与车高 在 Rt OCD 中,由勾股定理可得: CD 1.73(米), CHCD+DH1.73+1.63.33, 两辆卡车都能通过此门, 故选:B 9如图,公路 AC、BC 互相垂直,公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开,若测得 AC10km,BC24km,则 M、C 两点之间的距离为( ) A13km B12km C11km D10km 解:在 Rt ABC 中,AB2AC2+CB2 AC10km,BC24km, AB26k

8、m, M 点是 AB 中点 MCAB13km, 故选:A 10如图,小明(视为小黑点)站在一个高为 10 米的高台 A 上,利用旗杆 OM 顶部的绳索,划过 90 到达 与高台 A 水平距离为 17 米,高为 3 米的矮台 B那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度 MN 是( ) A2 米 B2.2 米 C2.5 米 D2.7 米 解:作 AEOM 于 E,BFOM 于 F,如图所示: 则OEABFO90 , AOE+BOFBOF+OBF90 AOEOBF 在 AOE 和 OBF 中, AOEOBF(AAS), OEBF,AEOF, OE+OFAE+BFCD17(米) EFEMFMACB

9、D1037(米), OE+OF2EO+EF17 米, 2OE17710(米), BFOE5 米,OF12 米, CMCDDMCDBF17512(米),OMOF+FM12+315(米), 由勾股定理得:ONOA13(米), MNOMON15132(米) 故选:A 二填空题 11九章算术内容丰富,与实际生活联系紧密,在书上讲述了这样一个问题: “今有垣高一丈 倚木于垣,上与垣齐引木却行一尺,其木至地问木长几何?”其内容可以表述为:“有 一面墙,高 1 丈将一根木杆斜靠在墙上,使木杆的上端与墙的上端对齐,下端落在地面上如果使木 杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动 1 尺, 则木杆上端恰好沿着墙滑落

10、到地面上 问木杆长多少尺?” (说明:1 丈10 尺) 设木杆长 x 尺,依题意,列方程是 解:如图,设木杆 AB 长为 x 尺,则木杆底端 B 离墙的距离即 BC 的长有(x1)尺, 在 Rt ABC 中, AC2+BC2AB2, 102+(x1)2x2, 故答案为:102+(x1)2x2 12一个矩形的抽斗长为 12cm,宽为 5cm,在抽斗底部放一根铁条,那么铁条最长可以是 cm 解:在直角 ABC 中,根据勾股定理可得:AC13(cm) 即铁条最长可以是 13cm 故答案是:13 13如图,学校需要测量旗杆的高度,同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段同学 们首先测量了多

11、出的这段绳子长度为 1m,然后将这根绳子拉直,当绳子的另一端和地面接触时,绳子与 旗杆的底端距离恰好为 5m,利用勾股定理求出旗杆的高度约为 m 解:设旗杆的高度 AC 为 x 米,则绳子 AB 的长度为(x+1)米, 在 Rt ABC 中,根据勾股定理可得:x2+52(x+1)2, 解得,x12 答:旗杆的高度为 12 米 14我国古代数学著作九章算术有一个问题:一根竹子高 1 丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端 3 尺 处,1 丈10 尺,那么折断处离地面的高度是 尺 解:1 丈10 尺, 设折断处离地面的高度为 x 尺,则斜边为(10 x)尺, 根据勾股定理得:x2+32(10 x)2 解

12、得:x4.55 答:折断处离地面的高度为 4.55 尺 故答案为:4.55 15 图 1 是由七根连杆链接而成的机械装置, 图 2 是其示意图 已知 O, P 两点固定, 连杆 PAPC140cm, ABBCCQQA60cm,OQ50cm,O,P 两点间距与 OQ 长度相等当 OQ 绕点 O 转动时,点 A, B,C 的位置随之改变,点 B 恰好在线段 MN 上来回运动当点 B 运动至点 M 或 N 时,点 A,C 重合, 点 P,Q,A,B 在同一直线上(如图 3) (1)点 P 到 MN 的距离为 cm (2)当点 P,O,A 在同一直线上时,点 Q 到 MN 的距离为 cm 解:(1)如

13、图 3 中,延长 PO 交 MN 于 T,过点 O 作 OHPQ 于 H 由题意:OPOQ50cm,PQPAAQ1406080(cm),PMPA+BC140+60200(cm), PTMN, OHPQ, PHHQ40(cm), cosP , , PT160(cm), 点 P 到 MN 的距离为 160cm, 故答案为 160 (2)如图 4 中,当 O,P,A 共线时,过 Q 作 QHPT 于 H设 HAxcm 由题意 ATPTPA16014020 (cm) , OAPAOP1405090 (cm) , OQ50cm, AQ60cm, QHOA, QH2AQ2AH2OQ2OH2, 602x25

14、02(90 x)2, 解得 x, HTAH+AT(cm), 点 Q 到 MN 的距离为cm 故答案为 16如图,池塘边一棵垂直于水面 BM 的笔直大树 AB 在点 C 处折断,AC 部分倒下,点 A 与水面上的点 E 重合,部分沉入水中后,点 A 与水中的点 F 重合,CF 交水面于点 D,DF2m,CEB30 ,CDB 45 ,求 CB 部分的高度为 m 解:设 CB 部分的高度为 xm BDCBCD45 , BCBDxm 在 Rt BCD 中,CDx(m) 在 Rt BCE 中,BEC30 , CE2BC2x(m) CECFCD+DF, 2xx+2, 解得:x2+ BC(2+)(m) 答:

15、CB 部分的高度约为(2+)m, 故答案为:(2+) 17将折叠书架画出侧面示意图,AB 为面板架,CD 为支撑架,EF 为锁定杆,F 可在 CD 上移动或固定已 知 BCCE8cm如图甲,将面板 AB 竖直固定时(ABBD),点 F 恰为 CD 的中点如图乙,当 CF 17cm 时,EFAB,则支撑架 CD 的长度为 cm 解:EFAB,CF17cm,BCCE8cm, EF cm, 过 F 作 FGAB, ABBD, FGBD, 点 F 恰为 CD 的中点, CGBC4cm, EG8+412cm, EF15cm, FG cm, BD2FG18cm, CD , 故答案为:2 三解答题 18如图

16、,在笔直的高速路旁边有 A、B 两个村庄,A 村庄到公路的距离 AC8km,B 村庄到公路的距离 BD14km,测得 C、D 两点的距离为 20km,现要在 CD 之间建一个服务区 E,使得 A、B 两村庄到 E 服 务区的距离相等,求 CE 的长 解:设 CEx,则 DE20 x, 由勾股定理得: 在 Rt ACE 中,AE2AC2+CE282+x2, 在 Rt BDE 中,BE2BD2+DE2142+(20 x)2, 由题意可知:AEBE, 所以:82+x2142+(20 x)2,解得:x13.3 所以,E 应建在距 C 点 13.3km, 即 CE13.3km 19 如图, 学校有一块长

17、方形花圃 ABCD, 有极少数人为了避开拐角走“捷径”, 在花圃内走出了一条“路” 若 假设 2 步为 1 米,他们仅仅少走了几步路,却踩伤了花草? 解:由勾股定理,得 路长5, 少走(3+45) 24 步 20 有一条笔直公路 l 上有 A、 B 两个停靠站, 公路旁有一块山地 C 正在开发, 现在 C 处时常需要爆破作业 如 图,已知 A、B 两站相距 2km,且ABC30 ,BAC60 ,为了安全起见,爆破点 C 周围半径 500 米 范围内任何人不得进入,问在进行爆破时,公路 AB 段是否需要暂时封锁?请说明理由(1.73) 解:如图,作 CDAB 交 AB 于 D 点, ABC30

18、,BAC60 , C90 , 在 Rt ABC 中,AB2,ABC30 , AC1km, 在 Rt ABC 中,由勾股定理可得:BC(km), 又在 Rt BCD 中,DBC30 , CD(km)865(m), CD500m, 不必封锁, 答:公路 AB 段不需要临时封锁 21如图,某港口 O 位于南北延伸的海岸线上,东面是大海远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港 O,各 自沿固定方向航行, 远洋”号每小时航行 12 海里, “长峰”号每小时航行 16 海里, 它们离开港口 1 小时后, 分别到达 A,B 两个位置,且 AB20 海里,已知“远洋”号沿着北偏东 60 方向航行,请判断“长峰”号航

19、行的方向,并说明理由 解:由题意得:OA12,OB16,AB20, 122+162202, OA2+OB2AB2, OAB 是直角三角形, AOB90 , DOA60 , COB180 90 60 30 , “长峰”号航行的方向是南偏东 30 22如图,在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C,河边原有两个取水点 A,B,其中 ABAC,由于某种 原因,由 C 到 A 的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H(A、H、B 在同 一条直线上),并新修一条路 CH,测得 CB1.5 千米,CH1.2 千米,HB0.9 千米 (1)问 CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路?请通过计算加以说明; (2)求新路 CH 比原路 CA 少多少千米? 解:(1)是, 理由是:在 CHB 中, CH2+BH2(1.2)2+(0.9)22.25, BC22.25, CH2+BH2BC2, CHAB, 所以 CH 是从村庄 C 到河边的最近路; (2)设 ACx 千米, 在 Rt ACH 中,由已知得 ACx,AHx0.9,CH1.2, 由勾股定理得:AC2AH2+CH2 x2(x0.9)2+(1.2)2, 解这个方程,得 x1.25, 1.251.20.05(千米) 答:新路 CH 比原路 CA 少 0.05 千米