1、专题专题 14 14 全等三角形全等三角形 一、选择题一、选择题 1. 等腰三角形的两边长分别为 4 cm 和 8 cm，则它的周长为 ( ) A.16 cm B.17 cm C.20 cm D.16 cm 或 20 cm 【答案】【答案】C 2. 已知一个多边形的内角和是 1080 ，则这个多边形是( ) A五边形 B六边形 C七边形 D八边形 【答案】【答案】D 3. 如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得其中两个角的度数分别为 28 ，62 ，于是他很快判 断出这个三角形是( ) A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D钝角三角形 【答案】【答案】C 4. 如图，六根木条钉成
2、一个六边形框架 ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添加木条( ) A1 根 B2 根 C3 根 D4 根 【答案】【答案】C 解析 添加 3 根木条以后成为如右所示图形，其由若干三角形组成，具有稳定性 5. 如图，点 B，F，C，E 在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ABCDEF 的是( ) AABDE BACDF CAD DBFEC 【答案】【答案】C 解析 选项 A 中添加 ABDE 可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意； 选项 B 中添加 ACDF 可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意； 选项 C 中添加AD 不能判定 ABCD
3、EF，故本选项符合题意； 选项 D 中添加 BFEC 可得出 BCEF，然后可用“ASA”进行判定，故本选项不符合题意 故选 C. 6. 如图， 已知在四边形 ABCD 中， BCD90 ， BD 平分ABC， AB6， BC9， CD4， 则四边形 ABCD 的面积是( ) A24 B30 C36 D42 【答案】【答案】B 解析 过点 D 作 DHAB 交 BA 的延长线于点 H. BD 平分ABC，BCD90 ， DHCD4. 四边形 ABCD 的面积S ABDS BCD1 2AB DH 1 2BC CD 1 2 6 4 1 2 9 430. 7. 若三角形的三个内角的度数之比为 237
4、，则这个三角形的最大内角是( ) A75 B90 C105 D120 【答案】【答案】 C 解析 一个三角形三个内角的度数之比为237， 可设这个三角形的三个内角分别为2x， 3x，7x. 由题意，得 2x3x7x180 ，解得 x15 . 7x105 . 8. 如图，ABBC，BEAC，垂足分别为 B，E，1=2，AD=AB，则下列结论正确的是( ) A.1=EFD B.BE=EC C.BF=CD D.FDBC 【答案】【答案】D 解析 在 AFD 和 AFB 中， AFDAFB. ADF=ABF. ABBC，BEAC， BEC=ABC=90 . ABF+EBC=90 ，C+EBC=90 .
5、 ADF=ABF=C. FDBC. 9. 如图，已知长方形 ABCD，一条直线将长方形 ABCD 分割成两个多边形.若这两个多边形的内角和分别为 M 和 N，则 M+N 不可能是 ( ) A.360 B.540 C.720 D.630 【答案】【答案】D 解析 一条直线将长方形 ABCD 分割成两个多边形的情况有以下三种: (1)直线不经过原长方形的顶点，如图，此时长方形被分割为一个五边形和一个三角形或两个四边形， M+N=540 +180 =720 或 M+N=360 +360 =720 ; (2)直线经过原长方形的一个顶点，如图，此时长方形被分割为一个四边形和一个三角形， M+N=360
6、+180 =540 ; (3)直线经过原长方形的两个顶点，如图，此时长方形被分割为两个三角形， M+N=180 +180 =360 . 10. 如图，平面上到两两相交的三条直线 a，b，c 的距离相等的点一共有( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【答案】【答案】A 解析 如图，到三条直线 a，b，c 的距离相等的点一共有 4 个 二、填空题二、填空题 11. 如图，已知 DBAE 于点 B，DCAF 于点 C，且 DBDC，BAC40 ，ADG130 ，则DGF _ . 【答案】【答案】150 解析 DBAE 于点 B，DCAF 于点 C，且 DBDC， AD 是BAC 的平分线
7、BAC40 ，CAD1 2BAC20 . DGFCADADG20 130 150 . 12. 已知:AOB，求作:AOB 的平分线.作法:以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 M，N;分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在AOB 内部交于点 C;画射线 OC.射 线 OC 即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 . 【答案】【答案】SSS 解析由作图可得 OM=ON，MC=NC，而 OC=OC， 根据“SSS”可判定 MOCNOC. 13. 将两块完全相同的三角尺在AOB 的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与AOB 的两边
8、重 合， 且含30 角的顶点恰好也重合于点C， 则射线OC即为AOB的平分线， 理由是_ 【答案】【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 14. 如图，已知 ACEC，ACBECD，要直接利用“AAS”判定 ABCEDC，应添加的条件是 _ 【答案】【答案】BD 15. 如图，在 ABC 中，C90 ，ACBC，AD 是BAC 的平分线，DEAB，垂足为 E.若 DBE 的周 长为 20，则 AB_ 【答案】【答案】20 解析 由角平分线的性质可得 CDDE.易证 Rt ACDRt AED，则 ACAE，DEDB CDDBBCACAE，故 DEDBEBAEEBAB. 16. 如图
9、所示，在 ABC 中，B=C，FDBC，DEAB，垂足分别为 D，E.若AFD=158 ，则 EDF= . 【答案】【答案】68 解析 AFD=158 ， CFD=180 -AFD=180 -158 =22 . FDBC， FDC=90 . C=180 -FDC-CFD=180 -90 -22 =68 . B=C，DEAB， EDB=180 -B-DEB=180 -68 -90 =22 . EDF=180 -90 -22 =68 . 17. 如图，C90 ，AC10，BC5，AXAC，点 P 和点 Q 是线段 AC 与射线 AX 上的两个动点，且 AB PQ，当 AP_时， ABC 与 APQ
10、 全等 【答案】【答案】5 或 10 解析 AXAC，PAQ90 .CPAQ90 . 分两种情况：当 APBC5 时， 在 Rt ABC 和 Rt QPA 中， ABQP， BCPA， Rt ABCRt QPA(HL)； 当 APCA10 时， 在 Rt ABC 和 Rt PQA 中， ABPQ， ACPA， Rt ABCRt PQA(HL) 综上所述，当 AP5 或 10 时， ABC 与 APQ 全等 18. 如图，P 是 ABC 外的一点，PDAB 交 BA 的延长线于点 D，PEAC 于点 E，PFBC 交 BC 的延长 线于点 F，连接 PB，PC.若 PDPEPF，BAC64 ，则
11、BPC 的度数为_ 【答案】【答案】32 解析 PDPEPF，PDAB 交 BA 的延长线于点 D，PEAC 于点 E，PFBC 交 BC 的 延长线于点 F， CP 平分ACF，BP 平分ABC. PCF1 2ACF，PBF 1 2ABC. BPCPCFPBF1 2(ACFABC) 1 2BAC32 . 三、解答题三、解答题 19. 如图，D 是 BC 上一点， ABCADE，AB=AD. 求证:CDE=BAD. 【答案】【答案】 证明: ABCADE，B=ADE. 由三角形的外角性质，得ADC=B+BAD. 又ADC=ADE+CDE， CDE=BAD. 20. 如图，在 ABC 中，AD
12、是 BC 边上的中线，E 是 AB 边上一点，过点 C 作 CFAB 交 ED 的延长线于点 F. (1)求证: BDECDF; (2)当 ADBC，AE=1，CF=2 时，求 AC 的长. 【答案】【答案】 解:(1)证明:CFAB， B=FCD，BED=F. AD 是 BC 边上的中线， BD=CD，BDECDF. (2)BDECDF，BE=CF=2， AB=AE+BE=1+2=3. ADBC，BD=CD， AC=AB=3. 21. 如图，在 ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边上的中线，BEAC 于点 E. 求证：CBEBAD. 【答案】【答案】 证明：ABAC， ABCC， AD
13、是 BC 边上的中线， ADBC， BADABC90 ，(3 分) BEAC, CBEC90 ， CBEBAD.(5 分) 22. 如图，在四边形 ABCD 中，DABABC90 ，ABBC，E 是 AB 的中点，CEBD，连接 AC 交 DE 于点 M. (1)求证：ADBE； (2)求证：AC 是线段 ED 的垂直平分线； (3) DBC 是等腰三角形吗？说明理由 【答案】【答案】 解：(1)证明：ABC90 ， ABDDBC90 . CEBD， BCEDBC90 . ABDBCE. 在 DAB 和 EBC 中， ABDBCE， ABBC， DABEBC90 ， DABEBC(ASA) A
14、DBE. (2)证明：E 是 AB 的中点，AEBE. BEAD， AEAD. 点 A 在线段 ED 的垂直平分线上 ABBC，ABC90 ， BACBCA45 . BAD90 ， BACDAC45 . 在 EAC 和 DAC 中， AEAD， EACDAC， ACAC， EACDAC(SAS) CECD. 点 C 在线段 ED 的垂直平分线上 AC 是线段 ED 的垂直平分线 (3) DBC 是等腰三角形 理由：由(1)知 DABEBC，BDCE. 由(2)知 CECD. BDCD. DBC 是等腰三角形 23. 在 ABC 中，B55 ，且 3ABC，求A 和C 的度数. 【答案】【答案】
15、 解：在 ABC 中，ABC180 ，3ABC， 4A180 ， 解得A45 . B55 ，C180 45 55 80 . 24. 如图，BE，CF 都是 ABC 的高，在 BE 上截取 BDAC，在射线 CF 上截取 CGAB，连接 AG，AD. 求证：(1) BADCGA； (2)ADAG. 【答案】【答案】 证明：(1)BE，CF 都是 ABC 的高， ABEBAC90 ，ACFBAC90 . ABEACF. 在 BAD 和 CGA 中， ABGC， ABDGCA， BDCA， BADCGA(SAS) (2)BADCGA，GBAD. AFG90 ， GADBADBAGGBAG90 .AD
16、AG. 25. 如图，AB 为O 的直径，C 为圆外一点，AC 交O 于点 D，BC2CD CA，ED BD ，BE 交 AC 于点 F. (1)求证：BC 为O 的切线； (2)判断 BCF 的形状并说明理由； (3)已知 BC15，CD9，BAC36 ，求BD 的长度(结果保留 ). 【答案】【答案】 (1)证明：证明：BC2CD CA， BC CA CD BC， CC， CBDCAB， CBDBAC， 又AB 为O 的直径， ADB90 ， 即BACABD90 ， ABDCBD90 ， 即 ABBC， 又AB 为O 的直径， BC 为O 的切线； (2)解：解： BCF 为等腰三角形 证
17、明如下：ED BD ， DAEBAC， 又CBDCAB， BACCBD， CBDDAE， DAEDBF， DBFCBD， BDF90 ， BDCBDF90 ， BDBD， BDFBDC， BFBC， BCF 为等腰三角形； (3)解：解：由(1)知，BC 为O 的切线， ABC90 BC2CD CA， ACBC 2 CD 152 9 25， 由勾股定理得 AB AC2BC2 25215220， O 的半径为 rAB 2 10， BAC36 ， BD 所对圆心角为 72 . 则BD 7210 180 4. 26. 如图所示，在 ABC 中，12，CB，E 为 AD 上一点，且 EFBC 于点 F. (1)试探索DEF 与B，C 之间的数量关系； (2)如图所示，当点 E 在 AD 的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否还成立？ 【答案】【答案】 解：(1)12，11 2BAC. 又BAC180 (BC)， 11 2180 (BC)90 1 2(BC) EDFB1B90 1 2(BC)90 1 2(BC) EFBC，EFD90 . DEF90 EDF90 90 1 2(BC) 1 2(CB) (2)当点 E 在 AD 的延长线上时，其余条件都不变，在(1)中探索得到的结论仍成立