1、专题专题 15 15 锐角三角函数锐角三角函数 一、选择题一、选择题 1. 下列式子错误 的是( ) A. cos40 sin50 B. tan15 tan75 1 C. sin225 cos225 1 D. sin60 2sin30 【答案】【答案】D 【解析】逐项分析如下： 选项 逐项分析 正误 A cos40 sin(90 40 )sin50 B tan15 tan75 1 tan75 tan75 1 C sin2Acos2A1 D sin60 3 2 ，2sin30 2 1 21，sin602sin30 2. 在 Rt ABC 中，C90 ，sinA4 5，AC6 cm.则 BC 的长
2、度为( ) A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 【答案】【答案】C 【解析】sinABC AB 4 5，设 BC4a，则 AB5a，AC （5a） 2（4a）23a，3a6， 即 a2，故 BC4a8 cm. 3. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(4，3)，那么 cos 的值是( ) A. 3 4 B. 4 3 C. 3 5 D. 4 5 【答案】【答案】D 【解析】如解图，过点 A 作 ABx 轴于点 B，A(4，3)，OB4，AB3，OA 3242 5，cosOB OA 4 5. 4. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆 AB
3、 的长为 ( ) A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】【答案】 B 解析如图， 过点A作ADBC， 垂足为点D， 则BD=1.5+0.3=1.8(米).在Rt ABD中， ADB=90 ， cosB=，所以 AB=.故选 B. 5. 一个公共房门前的台阶高出地面 1.2 米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列 关系或说法正确的是( ) A. 斜坡 AB 的坡度是 10 B. 斜坡 AB 的坡度是 tan10 C. AC1.2tan10 米 D. AB 1.2 cos10 米 【答案】【答案】 B 【解析】斜坡 AB 的坡角是 10 ，选项 A 是错误的；坡度坡比坡角的正
4、切，选 项 B 是正确的；AC 1.2 tan10 米，选项 C 是错误的；AB 1.2 sin10 米，选项 D 是错误的 6. 一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与 CA 的夹角为 .现要在楼梯上铺一条 地毯，已知 CA4 米，楼梯宽度 1 米，则地毯的面积至少需要( ) A. 4 sin 米 2 B. 4 cos 米 2 C. (4 4 tan) 米 2 D. (44tan) 米2 【答案】【答案】D 【解析】在 Rt ABC 中，BAC，CA4 米，BCCA tan4tan.地毯长为(44tan) 米，宽为 1 米，其面积为(44tan) 1(44tan)
5、米 2. 7. 如图，钓鱼竿 AC 长 6 m，露在水面上的鱼线 BC 长 3 2 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 AC 转到 AC的位置，此时露在水面上的鱼线 BC为 3 3 m，则鱼竿转过的角度是( ) A. 60 B. 45 C. 15 D. 90 【答案】【答案】 C 【解析】 sinCABBC AC 3 2 6 2 2 ， CAB45 ， sinCABBC AC 3 3 6 3 2 ， CAB 60 ，CAC60 45 15 ，即鱼竿转过的角度是 15 . 8. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图，旗杆 PA 的高度与拉绳 PB 的长度相等，小明 将 PB 拉到
6、 PB的位置， 测得PBC(BC 为水平线)， 测角仪 BD 的高度为 1 米， 则旗杆 PA 的高度为( ) A. 1 1sin B. 1 1sin C. 1 1cos D. 1 1cos 【答案】【答案】A 【解析】在 Rt PCB中，sinPC PB，PCPBsin，又BDAC1，则 PBsin1PA， 而 PBPA，PA 1 1sin. 9. 如图，以 O 为圆心，半径为 1 的弧交坐标轴于 A，B 两点，P 是AB 上一点(不与 A，B 重合)，连接 OP， 设POB，则点 P 的坐标是( ) A. (sin，sin) B. (cos，cos) C. (cos，sin) D. (si
7、n，cos) 【答案】【答案】C 【解析】如解图，过点 P 作 PCOB 于点 C，则在 Rt OPC 中，OCOP cosPOB1 cos cos，PCOP sinPOB1 sinsin，即点 P 的坐标为(cos，sin) 10. 如图，在 ABC 中，ABAC，BC12，E 为 AC 边的中点，线段 BE 的垂直平分线交边 BC 于点 D.设 BDx，tanACBy，则( ) A. xy23 B. 2xy29 C. 3xy215 D. 4xy221 【答案】【答案】B 【解析】连接 DE，过点 A 作 AFBC，垂足为 F，过 E 作 EGBC，垂足为 G.ABAC， AFBC，BC12
8、，BFFC6，又E 是 AC 的中点，EGBC，EGAF，CGFG1 2CF3， 在 Rt CEG 中，tanCEG CG，EGCG tanC3y；DGBFFGBD63x9x，HD 是 BE 的垂直平分线， BDDEx， 在 Rt EGD 中， 由勾股定理得， ED2DG2EG2， x2(9x)2(3y)2， 化简整理得，2xy29. 二、填空题二、填空题 11. 6tan230 -sin60 -2sin45 = . 【答案】【答案】 解析原式=6 2- -2=. 12. 如图，小明为了测量校园里旗杆 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放在距旗杆底部 B 点 6 m 的位置，在 D 处测得旗杆
9、顶端 A 的仰角为 53 ，若测角仪的高度是 1.5 m，则旗杆 AB 的高度约为 m(精确到 0.1 m).(参考数据:sin530.80，cos530.60，tan531.33) 【答案】【答案】9.5 解析由题可知 BC=6 m，CD=1.5 m，过 D 作 DEBC 交 AB 于点 E，易知四边形 BCDE 是 矩形，DE=BC=6 m， 在 Rt ADE 中，AE=DEtan537.98(m)，EB=CD=1.5 m， AB=AE+EB=9.48(m)9.5 m. 13. 已知 ， 均为锐角，且满足|sin1 2| （tan1）20，则 _ 【答案】【答案】75 【解析】由于绝对值和
10、算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零根 据题意，得|sin1 2|0， （tan1） 20，则 sin 1 2，tan 1，又因为 、 均为锐角，则 30 ， 45 ，所以 30 45 75 . 14. 如图，一艘渔船位于灯塔 P 的北偏东 30 方向，距离灯塔 18 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间 后，到达位于灯塔 P 的南偏东 55 方向上的 B 处，此时渔船与灯塔 P 的距离约为_海里(结果取整 数参考数据：sin550.8，cos550.6，tan551.4) 【答案】【答案】11 【解析】A30 ，PM1 2PA9 海里B55 ， sinB PM PB
11、，0.8 9 PB，PB11 海里 15. 齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯 A 射出的边缘光线 AB，AC 与地面 MN 所夹 的锐角分别为 8 和 10 ，大灯 A 与地面的距离为 1 m，则该车大灯照亮的宽度 BC 是_m(不考虑其 他因素，参考数据：sin8 4 25，tan8 1 7，sin10 9 10，tan10 5 28) 【答案】【答案】1.4 【解析】如解图，作 ADMN 于点 D，由题意得，AD1 m，ABD8 ，ACD10 ， ADCADB90 ，BD AD tan8 1 1 7 7 m，CD AD tan10 1 5 28 28 5 5.6 m，BC
12、BDCD75.6 1.4 m. 16. 如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30 ，测得底部 C 的俯角为 60 ，此时航拍无 人机与该建筑物的水平距离 AD 为 90 米，那么该建筑物的高度 BC 约为_米(精确到 1 米，参考数 据： 31.73) 【答案】【答案】208 【解析】在 Rt ABD 中，BDAD tanBAD90 tan30 30 3，在 Rt ACD 中，CD AD tanCAD90 tan60 90 3，BCBDCD30 390 3120 3208(米) 三、解答题三、解答题 17. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，明朝科学家徐光启在
13、农政全书中用图画描绘了筒 车的工作原理.如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截 得的弦 AB 的长为 6 米，OAB=41.3 .若点 C 为运行轨道的最高点(C，O 的连线垂直于 AB).求点 C 到弦 AB 所在直线的距离. (参考数据:sin41.30.66，cos41.30.75，tan41.30.88) 【答案】【答案】 解:连接 CO 并延长，交 AB 于点 D，CDAB，且 D 为 AB 中点，所求运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在 直线的距离即为线段 CD 的长. 在 Rt AOD 中，AD= AB=3，OAD=41.3 ， O
14、D=AD tan41.330.88=2.64，OA=4， CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64(米). 答:运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在直线的距离约为 6.64 米. 18. 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为 11，为了方便行人推车过天桥，有 关部门决定降低坡度，使新坡面 AC 的坡度为 1 3. (1)求新坡面的坡角 ； (2)天桥底部的正前方 8 米处(PB 的长)的文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理由 【答案】【答案】 解：(1)新坡面 AC 的坡度为 1 3， tan 1 3 3 3 ， 30 .(2 分) 答：新坡面的坡角
15、 的度数为 30 .(3 分) (2)原天桥底部正前方 8 米处的文化墙 PM 不需要拆除 理由如下： 如解图所示，过点 C 作 CDAB，垂足为点 D， 坡面 BC 的坡度为 11， BDCD6 米，(4 分) 新坡面 AC 的坡度为 1 3， CDAD1 3， AD6 3米，(6 分) ABADBD(6 36)米8 米，故正前方的文化墙 PM 不需拆除 答：原天桥底部正前方 8 米处的文化墙 PM 不需要拆除(7 分) 19. 如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米已知 小汽车车门宽 AO 为 1.2 米，当车门打开角度AOB 为
16、 40 时，车门是否会撞到墙？请说明理由(参考数 据：sin400.64；cos400.77；tan400.54) 【答案】【答案】 【思路分析】本题是一道锐角三角形函数的实际应用问题，关键是从实际问题抽象出数学模型本题车门 是否会碰到墙？实际上就是求点 A 到直线 OB 的距离，所以过点 A 作 ACOB 于点 C，在 Rt AOC 中， 利用锐角三角函数关系，可求得 AC 的长，与 0.8 米比较就可得出结论 解图 解：如解图，过点 A 作 OB 的垂线，垂足为 C，在 Rt AOC 中，sinAOCAC AO，(3 分) ACAO sin40 1.2 0.640.768. 0.7680.
17、8， 车门不会碰到墙(8 分) 20. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂 AO 长为 40 cm，与水平面所形成的夹角OAM 为 75 ，由光源 O 射出的边缘光线 OC，OB 与水平面所形成的夹角OCA，OBA 分别为 90 和 30 ，求该台 灯照亮水平面的宽度 BC(不考虑其他因素， 结果精确到 0.1 cm.温馨提示： sin750.97， cos750.26， 31.73) 【答案】【答案】 解：tanOBCtan30 OC BC 3 3 ， OC 3 3 BC，(2 分) sinOACsin75 OC OA0.97， 3 3 BC 40 0.97，(6 分) BC67.
18、1(cm)(8 分) 21. 如图，AB 为O 的直径，CA、CD 分别切O 于点 A、D，CO 的延长线交O 于点 M，连接 BD、DM. (1)求证：ACDC； (2)求证：BDCM； (3)若 sinB4 5，求 cosBDM 的值 【答案】【答案】 (1)证明：如解图，连接 OD， CA、CD 分别与O 相切于点 A、D， OAAC，ODCD， 在 Rt OAC 和 Rt ODC 中， OAOD OCOC， Rt OACRt ODC(HL)， ACDC； (2)证明：证明：由(1)知， OACODC， AOCDOC， AOD2AOC， AOD2OBD， AOCOBD， BDCM； (3
19、)解：BDCM， BDMM，DOCODB，AOCB， ODOBOM， ODMOMD，ODBBDOC， DOC2DMO， DOC2BDM， B2BDM， 如解图，作 OE 平分AOC，交 AC 于点 E，作 EFOC 于点 F， 解图 EFAE， 在 Rt EAO 和 Rt EFO 中， OEOE AEEF ， Rt EAORt EFO(HL)， OAOF，AOE1 2AOC， 点 F 在O 上， 又AOCB2BDM， AOEBDM， 设 AEEFy， sinB4 5， 在 Rt AOC 中，sinAOCAC OC 4 5， 设 AC4x，OC5x，则 OA3x， 在 Rt EFC 中，EC2EF2CF2， EC4xy，CF5x3x2x， (4xy)2y2(2x)2， 解得 y3 2x， 在 Rt OAE 中，OE OA2AE2 （3x）2（3 2x） 23 5 2 x， cosBDMcosAOEOA OE 3x 3 5 2 x 2 5 5 .