1、专题专题 11 11 等腰三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质 一选择题 1如图，在 ABC 中，ABAC，BAC108 ，若 AD、AE 三等分BAC，则图中等腰三角形有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 解：ABAC，BAC108 ， BC36 ， ABC 是等腰三角形， BAC108 ，AD、AE 三等分BAC， BADDAEEAC36 ， DACBAE72 ， AEBADC72 ， BDADAECE，ABBEACCD， ABE、 ADC、 ABD、 ADE、 AEC 是等腰三角形， 一共有 6 个等腰三角形 故选：D 2在 ABC 中，BAC，ACB 的平分线相交于 I
2、，DE 过点 I 且 DEAC，若 AD3cm，CE5cm，则 DE（ ） A8 B6 C7 D5 解：DEAC， ACICIE， CI 平分ACB， ACIECI， ECICIE， EICE5， 同理可得：DIAD3， DEDI+EI5+38； 故选：A 3如图：D 为 ABC 内一点，CD 平分ACB，BDCD，AABD，若 BD1，BC3，则 AC 的长 为（ ） A5 B4 C3 D2 解：延长 BD 交 AC 于 E，如图， CD 平分ACB，BDCD， BCE 为等腰三角形， DEBD1，CECB3， AABD， EAEB2， ACAE+CE2+35 故选：A 4已知，如图，在 A
3、BC 中，OB 和 OC 分别平分ABC 和ACB，过 O 作 DEBC，分别交 AB、AC 于 点 D、E，若 BD+CE5，则线段 DE 的长为（ ） A5 B6 C7 D8 解：OB 平分ABC， DBOOBC， DEBC， DOBOBC， DOBDBO， BDOD， 同理可得：CEOE， DEDO+OEBD+CE5， 故选：A 5如图，在 ABC 中，ABC 和ACB 的平分线交于点 O，过 O 点作 EFBC，交 AB 于 E，交 AC 于 F， 若 BE3，CF2，则线段 EF 的长为（ ） A5 B6 C7 D8 解：BO、CO 是ABC、ACB 的角平分线， OBEOBC，OC
4、FBCO， 又EFBC， OBCBOE，BCOCOF， OBEBOE，COFOCF， BEOE，CFOF， EFOE+OFBE+CF3+25， 故选：A 6 如图， ABC50 ， BD 平分ABC， 过 D 作 DEAB 交 BC 于点 E， 若点 F 在 AB 上， 且满足 DFDE， 则DFB 的度数为（ ） A25 B130 C50 或 130 D25 或 130 解：如图，DFDFDE； BD 平分ABC，由图形的对称性可知： BDEBDF， DFBDEB； DEAB，ABC50 ， DEB180 50 130 ； DFB130 ； 当点 F 位于点 F处时， DFDF， DFBDF
5、F50 ， 故选：C 7 ABC 中，B50 ，A80 ，若 AB6，则 AC（ ） A6 B8 C5 D13 解：ABC 中，B50 ，A80 ， C180 AB180 80 50 50 ， CB， ACAB6， 故选：A 8 在 ABC 中， 已知AB， 且该三角形的一个内角等于 100 现有下面四个结论： A100 ； C 100 ；ACBC；ABBC其中正确结论的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解： AB100 时，A+B+C180 ，不符合三角形的内角和定理，错误； C100 时，AB（180 C）40 ，正确； AB， ACBC，正确；错误； 正确的有，2 个
6、， 故选：B 9如图， ABC 中，ABAC，D 是 BC 中点，下列结论中不正确的是（ ） AADBC BAD 平分BAC CAB2BD DBC 解：ABAC，点 D 是 BC 的中点， ADBC，AD 平分BAC，BC， 故选：C 10如图， ABC 中，BO 平分ABC，CO 平分ACB，M，N 经过点 O，且 MNBC，若 AB5， AMN 的周长等于 12，则 AC 的长为（ ） A7 B6 C5 D4 解：BO 平分CBA，CO 平分ACB， MBOOBC，OCNOCB， MNBC， MOBOBC，NOCOCB， MBOMOB，NOCNCO， MOMB，NONC， AB5， AMN
7、的周长等于 12， AMN 的周长AM+MN+ANAB+AC5+AC12， AC7， 故选：A 二填空题 11如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD3，点 Q 在对角线 AC 上，且 AQAD，连接 DQ 并延长，与边 BC 交于点 P，则线段 AP 解：矩形 ABCD 中，AB4，AD3BC， AC5， 又AQAD3，ADCP， CQ532，CQPAQDADQCPQ， CPCQ2， BP321， Rt ABP 中，AP， 故答案为： 12如图，在 ABC 中，AB6，AC9，BO、CO 分别是ABC、ACB 的平分线，MN 经过点 O，且 MNBC，MN 分别交 AB、AC 于点 M、N，则
8、 AMN 的周长是 解：在 ABC 中，BAC 与ACB 的平分线相交于点 O， ABOOBC，ACOBCO， MNBC， MOBOBC，NOCOCB， ABOMOB，ACONOC， BMOM，CNON， AMN 的周长是：AM+NM+ANAM+OM+ON+ANAM+BM+CN+ANAB+AC9+615 故答案为：15 13如图，在 ABC 中，DB 和 DC 分别平分ABC 和ACB，过 D 作 EFBC，分别交 AB、AC 于点 E、 F，若 EF5，BE3，则线段 CF 的长为 解：BD 平分ABC， ABDCBD， EFBC， EDBDBC， ABDEDB， BEED， 同理 DFCF
9、， EF3+CF5， CF2， 故答案为：2 14如图，在 ABC 中，ABC 和ACB 的平分线相交于点 F，过 F 作 DEBC，交 AB 于点 D，交 AC 于 点 E若 BD3，DE5，则线段 EC 的长为 解：ABC 和ACB 的平分线相交于点 F， DBFFBC，ECFBCF， DFBC， DFBFBC，CFEBCF， DFBDBF，CFEECF， BDDF3，FECE， CEDEDF532 故答案为：2 15如图，已知点 O 为 ABC 内角平分线的交点，过点 O 作 MNBC，分别交 AB 于 AC 点 M、N，若 AB 12， AC14，则 AMN 的周长是 解：BO 平分A
10、BC， MBOCBO， MNBC， MOBCBO， MOBMBO， OMBM， 同理 CNNO， BM+CNMN， AMN 的周长是 AN+MN+AMAN+CN+OM+ONAB+AC12+1426 故答案为：26 三解答题 16如图，在 ABC 中，点 D，E 在边 BC 上，BDCE，且 ADAE求证：ABAC 证明：作 AFBC 于点 F， ADAE， DFEF， BDCE， BD+DFCE+EF， 即 BFCF， AFBC， ABAC 17如图，在 ABC 中，ABC 和ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MNBC 交 AB 于 M，交 AC 于 N， 若 ABC、 AMN 周长分
11、别为 13cm 和 8cm （1）求证： MBE 为等腰三角形； （2）线段 BC 的长 解：如图所示： （1）BE 是ABC 的角平分线， 12， 又MNBC， 52， 15， MBE 为等腰三角形； （2）MBE 为等腰三角形， MBME， 同理可得：NENC， 又l AMNAM+AN+MN， MNME+NE， l AMNAM+AN+ME+NEAM+BM+AN+CN， l AMNAB+AC8 又l ABCAB+AC+BC13， BC1385cm 18如图，ABC 的平分线 BF 与ACG 的平分线 CF 相交于点 F，过点 F 作 DEBC 交 AC 于 E，若 BD 8，DE3，求 CE
12、 的长 解：BF、CF 分别平分ABC、ACB 的外角， DBFCBF，FCEFCG， DEBC， DFBCBF，EFCFCG， DBFDFB，FCEEFC， BDFD，EFCE， BDCEFDEFDE， EFDFDEBDDE835， EC5 故答案为 5 19已知：ABC，ACB 的平分线相交于 F 点，过点 F 作 DEBC，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E， （1）请你写出图中所有的等腰三角形； （2）请写出 BD，CE，DE 之间的数量关系； （3）并对第（2）问中 BD，CE，DE 之间的数量关系给予证明 解：（1）等腰三角形有： BDF 和 CEF； （2）BD+CEDE；
13、（3）BF 平分ABC， 12， DEBC， 23， 13， BDDF， 同理可得 CEEF， BD+CEDF+EFDE， 即 BD+CEDE 20 如图， 在 ABD 中， C 为 BD 上一点， 使得 CACD， 过点 C 作 CEAD 交 AB 于点 E， 过点 D 作 DFAD 交 AC 的处长线于点 F （1）若 CD3，求 AF 的长； （2）若B30 ，ADC40 ，求证：ACEC 解：（1）CACD3， CADCDA， ADDF， ADF90 ， F+FAD90 ，ADC+CDF90 ， FCDF， CDCF3， AFAC+CF6； （2）B30 ，ADCCAD40 ， CAB
14、180 30 40 40 70 ， CEAD， BCEADC40 ， AECB+BCE70 ， AECCAB， ACCE 21 （1）如图 1，已知：在 ABC 中，ABAC10，BD 平分ABC，CD 平分ACB，过点 D 作 EFBC， 分别交AB、 AC于E、 F两点， 则图中共有 个等腰三角形； EF与BE、 CF之间的数量关系是 ， AEF 的周长是 （2）如图 2，若将（1）中“ ABC 中，ABAC10”改为“若 ABC 为不等边三角形，AB8，AC10” 其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；EF 与 BE、CF 之间的数量关系是什么？证明你的结 论，并求出 AEF 的周长
15、（3）已知：如图 3，D 在 ABC 外，ABAC，且 BD 平分ABC，CD 平分 ABC 的外角ACG，过点 D 作 DEBC，分别交 AB、AC 于 E、F 两点，则 EF 与 BE、CF 之间又有何数量关系呢？直接写出结论 不证明 解：（1）BE+CFEF 理由如下： ABAC， ABCACB， BD 平分ABC，CD 平分ACB， EBDCBD，FCDBCD， DBCDCB， DBDC EFBC， AEFABC，AFEACB，EDBCBD，FDCBCD， EBDEDB，FDCBCD， BEDE，CFDF，AEAF， 等腰三角形有 ABC， AEF， DEB， DFC， BDC 共 5 个， BE+CFDE+DFEF， 即 BE+CFEF， AEF 的周长AE+EF+AFAE+BE+AF+FCAB+AC20 故答案为：5；BE+CFEF；20； （2）BE+CFEF， BD 平分ABC，CD 平分ACB， EBDCBD，FCDBCD， EFBC， EDBCBD，FDCBCD， EBDEDB，FDCBCD， BEDE，CFDF， 等腰三角形有 BDE， CFD， BE+CFDE+DFEF，即 BE+CFEF 可得 AEF 的周长为 18 （3）BECFEF， 由（1）知 BEED， EFBC， EDCDCGACD， CFDF， 又EDDFEF， BECFEF