1、专题专题 04 04 切线的判定与性质切线的判定与性质 一选择题 1下列说法中，正确的是（ ） A圆的切线垂直于经过切点的半径 B垂直于切线的直线必经过切点 C垂直于切线的直线必经过圆心 D垂直于半径的直线是圆的切线 解：A、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确； B、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；故本选项错误； C、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；故本选项错误； D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故本选项错误； 故选：A 2如图，直线 l：yx+1 与坐标轴交于 A，B 两点，点 M（m，0）是 x 轴上一动点，以点 M 为圆心， 2 个单位长度为半径作
2、M，当M 与直线 l 相切时，m 的值为（ ） A4 或4 B4或 4+ C4+或 4+ D4或 4+ 解：在 yx+1 中， 令 x0，则 y1， 令 y0，则 x， A（0，1），B（，0）， AB2； 如图，设M 与 AB 相切与 C， 连接 MC，则 MC2，MCAB， MCBAOB90 ，ABOCBM， BMC BAO， ，即， BM4， OM4，或 OM4+ m4，m4+ 故选：C 3如图，直线 l1l2，O 与 l1和 l2分别相切于点 A 和点 B点 M 和点 N 分别是 l1和 l2上的动点，MN 沿 l1和 l2平移O 的半径为 1，160 下列结论错误的是（ ） A Bl
3、1和 l2的距离为 2 C若MON90 ，则 MN 与O 相切 D若 MN 与O 相切，则 解：如图 1，过点 N 作 NCAM 于点 C， 直线 l1l2，O 与 l1和 l2分别相切于点 A 和点 B，O 的半径为 1， CNAB2， 160 ， MN ， 故 A 与 B 正确； 如图 3， 若MON90 ，连接 NO 并延长交 MA 于点 C，则 AOCBON， 故 CONO， MONMOM，故 MN 上的高为 1，即 O 到 MN 的距离等于半径 故 C 正确； 如图 2，MN 是切线，O 与 l1和 l2分别相切于点 A 和点 B， AMO130 ， AM ； AMO60 ， AM
4、， 若 MN 与O 相切，则 AM或； 故 D 错误 故选：D 4如图，ACB60 ，半径为 3 的O 切 BC 于点 C，若将O 在 CB 上向右滚动，则当滚动到O 与 CA 也相切时，圆心 O 移动的水平距离为（ ） A3 B3 C6 D 解：设O 与 CA 相切于点 P，此时和 CB 相切于点 D，连接 OC，OD、OP O 与 CA 相切，O 与 CB 相切， OCDACB30 ， OPOD3， CD3 故选：B 5 如图， AB 是O 的直径， 过点 C 作 BD 的垂线交 BD 的延长线于点 E， 交 BA 的延长线于点 F， 已知 AB2，F30 ，则四边形 ABEC 的面积是（
5、 ） A2 B C D 解：连接 OD、OC、BC，如图： AB 是O 的直径，AB2， ACB90 ，OAOBAB1， BEFE，F30 ， ABC90 F60 ， OBOD， OBD 是等边三角形， BOD60 ， ， AOCCOD60 ， OAOC， AOC 是边长为 1 的等边三角形， ACOA1，OAC60 ， ABC90 60 30 ， BCAC，CBE60 30 30 ， CEBC，BE CE ， 四边形 ABEC 的面积 ABC 的面积+ BCE 的面积 1+ ； 故选：B 6如图，O 的半径为 3，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，A60 ，D110 ，的度数是 70 ，
6、 直线 l 与O 相切于点 A 在没有滑动的情况下， 将O 沿 l 向右滚动， 使 O 点向右移动 70， 则此时O 与直线 l 相切的切点所在的劣弧是（ ） A B C D 解：连结 OC、OD、OA，如图， D110 ， B180 D70 ， AOC2B140 ， A60 ， BOD120 ， 的度数是 70 ， COD70 ， AOD70 ，BOC50 ， AD 弧的长度， BC 弧的长度， 706122， 而 2， 向右移动了 70，此时与直线 l 相切的弧为 故选：C 7已知抛物线 ya（x3）2+（a0）过点 C（0，4），顶点为 M，与 x 轴交于 A，B 两点如图所示 以 AB
7、 为直径作圆，记作D，下列结论：抛物线的对称轴是直线 x3；点 C 在D 外；直线 CM 与D 相切其中正确的有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 解：由抛物线 ya（x3）2+可知：抛物线的对称轴 x3，故正确； 抛物线 ya（x3）2+过点 C（0，4）， 49a+，解得：a， 抛物线的解析式为 y（x3）2+， 令 y0，则（x3）2+0，解得：x8 或 x2， A（2，0），B（8，0）； AB10， AD5， OD3 C（0，4）， CD5， CDAD， 点 C 在圆上，故错误； 由抛物线 ya（x3）2+可知：M（3，）， C（0，4）， 直线 CM 为 yx+4，直线
8、 CD 为：yx+4， CMCD， CDAD5， 直线 CM 与D 相切，故正确； 故选：C 8如图，在等边 ABC 中，点 O 在边 AB 上，O 过点 B 且分别与边 AB、BC 相交于点 D、E，F 是 AC 上 的点，判断下列说法错误的是（ ） A若 EFAC，则 EF 是O 的切线 B若 EF 是O 的切线，则 EFAC C若 BEEC，则 AC 是O 的切线 D若 BEEC，则 AC 是O 的切线 解：A、如图，连接 OE， 则 OBOE， B60 BOE60 ， BAC60 ， BOEBAC， OEAC， EFAC， OEEF， EF 是O 的切线 A 选项正确 B、EF 是O
9、的切线， OEEF， 由 A 知：OEAC， ACEF， B 选项正确； C、B60 ，OBOE， BEOB， BECE， BCAB2BO， AOOB， 如图，过 O 作 OHAC 于 H， BAC60 ， OHAOOB， C 选项错误； D、如图，BEEC， CEBE， ABBC，BOBE， AOCEOB， OHAOOB， AC 是O 的切线， D 选项正确 故选：C 9如图，在矩形 ABCD 中，BC8，以 AB 为直径作O，将矩形 ABCD 绕点 B 旋转，使所得矩形 ABCD 的边 CD与O 相切，切点为 E，边 AB 与O 相交于点 F若 BF8，则 CD 长为（ ） A9 B10
10、C8 D12 解：连接 OE，延长 EO 交 BF 于点 M， CD与O 相切， OEC90 ， 又矩形 ABCD中，ABCD， EMB90 ， BMFM， 矩形 ABCD 绕点 B 旋转所得矩形为 ABCD， CC90 ，ABCD，BCBC8， 四边形 EMBC为矩形， ME8， 设 OBOEx，则 OM8x， OM2+BM2OB2， （8x）2+42x2 ， 解得 x5， ABCD10 故选：B 10如图，在矩形 ABCD 中，AD80cm，AB40cm，半径为 8cm 的O 在矩形内且与 AB、AD 均相切现 有动点 P 从 A 点出发，在矩形边上沿着 ABCD 的方向匀速移动，当点 P
11、 到达 D 点时停止移动； O 在矩形内部沿 AD 向右匀速平移，移动到与 CD 相切时立即沿原路按原速返回，当O 回到出发时 的位置（即再次与 AB 相切）时停止移动已知点 P 与O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达 各自的终止位置）当O 到达O1的位置时（此时圆心 O1在矩形对角线 BD 上），DP 与O1恰好相 切，此时O 移动了（ ）cm A56 B72 C56 或 72 D不存在 解：存在这种情况， 设点 P 移动速度为 v1cm/s，O2移动的速度为 v2cm/s， 由题意，得， 如图： 设直线 OO1与 AB 交于 E 点，与 CD 交于 F 点，O1与 AD 相切于 G
12、点， 若 PD 与O1相切，切点为 H，则 O1GO1H 易得 DO1GDO1H， ADBBDP BCAD， ADBCBD BDPCBD， BPDP 设 BPxcm，则 DPxcm，PC（80 x）cm， 在 Rt PCD中，由勾股定理，得 PC2+CD2PD2，即（80 x）2+402x2， 解得 x50， 此时点 P 移动的距离为 40+5090（cm）， EFAD， BEO1BAD， ，即， EO164cm，OO156cm 当O 首次到达O1的位置时，O 移动的距离为 40cm， 此时点 P 与O 移动的速度比为， ， 此时 PD 与O1不能相切； 当O 在返回途中到达O1位置时，O 移
13、动的距离为 2（8016）5672（cm）， 此时点 P 与O 移动的速度比为， 此时 PD 与O1恰好相切此时O 移动了 72cm， 故选：B 二填空题 11直线 l 经过点 A （4，0），B（0，2），若M 的半径为 1，圆心 M 在 x 轴上，当M 与直线 l 相切时， 则点 M 的坐标 解：直线 l 经过点 A（4，0），B（0，2）， AB 2， 设 M 坐标为（m，0）（m0），即 OMm， 若 M在 A 点左侧时，AM4m， 当 AB 是O 的切线， MCA90 ， MACBAO，MCABOA90 ， MACBAO， ，即， 解得：m4，此时 M（4，0）； 若 M 在 A 点
14、右侧时，AMm4， 同理 AMNBAO，则有，即， 解得：m4+此时 M（4+，0）， 综上所述，M（4，0）或（4+，0）， 故答案为：M（4，0）或（4+，0）， 12 如图， 在矩形 ABCD 中， AB3， BC4， P 是对角线 AC 上的动点， 以点 P 为圆心， PC 长为半径作P 当 P 与矩形 ABCD 的边相切时，CP 的长为 解：作 PEAD 于 E，PFAB 于 F， 在 Rt ABC 中，AC5， 由题意可知，P 只能与矩形 ABCD 的边 AD、AB 相切， 当P 与 AD 相切时，PEPC， PEAD，CDAD， PECD， APEACD， ，即， 解得，CP，
15、当P 与 AB 相切时，PFPC， PFAB，CBAB， PFBC， APEACD， ，即， 解得，CP， 综上所述，当P 与矩形 ABCD 的边相切时，CP 的长或， 故答案为：或 13如图，Rt ABC 中，C90 ，AC8，BC16，点 D 在边 BC 上，点 E 在边 AB 上，沿 DE 将 ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，连接 AD，点 P 是线段 AD 上一动点，当半径为 5 的P 与 ABC 的一边相 切时，AP 的长为 解：设 BDx，由折叠知 ADBDx，CD16x， 在 Rt ACD 中，由勾股定理得，x282+（16x）2， 解得，x10， BD10， AB ，
16、AEBEAB4 ， DE ， 点 P 是线段 AD 上运动时，P 不可能与 AB 相切， 分两种情况：当P 与 AC 相切时，过点 P 作 PFAC 于点 F，如图 1， PF5，PFCD， APFADC， ，即， ； P 与 BC 相切时，过点 P 作 PGBC 于点 G，如图 2， PG5，PGAC， DPGDAC， ，即， DP ， AP10 ， 综上，AP 的长为或 14如图，以 ABC 的边 AB 为直径的O 恰好过 BC 的中点 D，过点 D 作 DEAC 于 E，连结 OD，则下 列结论中：ODAC；BC；2OAAC；DE 是O 的切线；EDAB，正确的序号 是 解：连接 AD，
17、 D 为 BC 中点，点 O 为 AB 的中点， OD 为 ABC 的中位线， ODAC，正确； AB 是O 的直径， ADB90 ADC， 即 ADBC，又 BDCD， ABC 为等腰三角形， BC，正确； DEAC，且 DOAC， ODDE， OD 是半径， DE 是O 的切线，正确； ODA+EDA90 ， ADBADO+ODB90 ， EDAODB， ODOB， BODB， EDAB，正确； D 为 BC 中点，ADBC， ACAB， OAOBAB， OAAC， 正确， 故答案为： 15如图，直线 yx3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 P 是 x 轴上一动点，以点 P 为
18、圆心，以 1 个 单位长度为半径作P，当P 与直线 AB 相切时，点 P 的坐标是 解：直线 yx3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B， 令 x0，得 y3，令 y0，得 x3， A（3，0），B（03）， OA3，OB3， AB6， 设P 与直线 AB 相切于 D， 连接 PD， 则 PDAB，PD1， ADPAOB90 ，PADBAO， APDABO， ， ， AP2， OP32 或 OP3+2， P（32，0）或 P（3+2，0）， 故答案为（32，0）或 P（3+2，0） 三解答题 16如图，三角形 ABC 中，AC10，AB12以 BC 为直径作O 交 AB 于点 D，交 AC
19、 于点 G，D 为 AB 的中点，DFAC，垂足为 F，交 CB 的延长线于点 E （1）求证：直线 EF 是O 的切线； （2）求 sinE 的值 证明：（1）连接 OD、CD， BC 是直径， CDAB， ACBC， D 是 AB 的中点， O 为 CB 的中点， ODAC， DFAC， ODEF， 直线 EF 是O 的切线； （2）连 BG， BC 是直径， BDC90 ， CD 8， ABCD2S ABCACBG， BG ， CG ， BGAC，DFAC， BGEF ECBG， sinEsinCBG 17如图，圆 O 的直径 AB12cm，C 为 AB 延长线上一点，点 P 为中点，过
20、点 B 作弦 BDCP，连接 PD （1）求证：CP 与圆 O 相切； （2）若CD，求四边形 BCPD 的面积 （1）证明：连接 OP，交 BD 于点 E， 点 P 为的中点 BDOP， BDCP， OEBOPC90 PCOP， CP 与O 相切于点 P； （2）解：CD， POB2D， POB2C， CPO90 ， C30 ， BDCP， CDBA， DDBA， BCPD， 四边形 BCPD 是平行四边形， POAB6， PC6， ABDC30 ， OEOB3， PE3， 四边形 BCPD 的面积PCPE6 318 18如图，在 ABC 中，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，过点
21、D 作 DEAB 于点 E，延长 DE 交 CA 的 延长线于点 F，延长 BA 交O 于 G，且BAF2C （1）求证：DE 为O 的切线； （2）若 tanEFC，求的值 解：（1）连接 OD， OCOD， CODC， BAF2C，BAFB+C， BC， BODC， ABOD， DEAB， ODDF， DE 为O 的切线； （2）过 O 作 OHAG 于点 H，则 AHGH，EFOH， AOHEFA， tanEFC ， tanAOH ， 设 AH3x，则 AG2AH6x，OH4x， ， AC2AO10 x，ODOA5x， tanEFC ， 设 AE3y，则 EF4y， AF ， AEOD，
22、 AEFODF， ，即， ， AE3y2x， BEABAE10 x2x8x， 19如图，点 B 为O 外一点，点 A 为O 上一点，点 P 为 OB 上一点且 BPBA，连接 AP 并延长交O 于点 C，连接 OC，OCOB （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若 OB10，O 的半径为 8求 AP 的长 （1）证明：BPBA，OAOC， BAPBPA，PAOC， OCOB， COP90 ， OPC+C90 ， OPCBPA， BAPOPC， BAP+OAP90 ， 即BAO90 ， ABOA， 又OA 为O 的半径， AB 是O 的切线； （2）解：如图，作 BDAP 于点 D， O 的
23、半径为 8， COOA8， 由（1）得：BAO90 ， AB 6， BPBA6， OPOBBP4， 在 Rt CPO 中，OP4，CO8， CP 4， BABP，BDAP， ADPD，BDP90 COP， BPDCPO， BPDCPO， ， 即， 解得：PD， AP2PD 20如图，以 ABC 的边 AB 为直径画O，交 AC 于点 D，半径 OEBD，连接 BE、DE、BD，BE 交 AC 于点 F，若DEBDBC （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 BFBC，求证：四边形 OEDB 是菱形 证明：（1）AB 是O 的直径， ADB90 ， A+ABD90 ， ADEB，DEBDBC， ADBC， DBC+ABD90 ， BC 是O 的切线； （2）OEBD， OEBDBE， OEOB， OEBOBE， OBEDBE， BFBC，ADB90 ， CBDEBD， DEBDBC， EBDDBE， DEBOBE， EDOB， EDOB，OEBD，OEOB， 四边形 OEDB 是菱形