1、专题专题 03 03 圆周角定理圆周角定理 一选择题 1 如图， 在半径为 5 的O 中， 弦 AB6， 点 C 是优弧上一点 （不与 A、 B 重合） ， 则 cosC 的值为 （ ） A B C D 解：作直径 AD，连接 BD， ABD90 ，AD2 510， 在 Rt ABD 中，BD8， cosD ， CD， cosC 故选：C 2如图所示，AB 是O 直径，D35 ，则BOC 等于（ ） A70 B110 C35 D145 解：D35 ， AOC2D2 35 70 ， BOC180 70 110 故选：B 3如图，在O 中，OABC，CDA25 ，则AOB 的度数为（ ） A12.
2、5 B25 C37.5 D50 解：在O 中，OABC， ， CDA25 ， AOB2CDA50 故选：D 4如图， ABC 内接于圆，AD 是高，AE 为圆的直径，AB4，AC3，AD2，则直径 AE 的长为（ ） A5 B6 C7 D8 解：连接 BE， AE 是直径 ABEADC90 EC ABEADC AB4，AC3，AD2， 解得：AE6， 故选：B 5如图所示，已知四边形 ABCD 的四个顶点都在O 上，BCD120 ，则B0D（ ） A100 B120 C130 D150 解：BCD120 ， BAD180 BCD60 ， BOD2BCD120 故选：B 6如图，AB 是O 的直
3、径，点 C、D 都在O 上，若ABC50 ，则BDC（ ） A50 B45 C40 D30 解：AB 是O 的直径， ACB90 ， 又ABC50 ， BAC90 ABC40 ， BDCBAC40 故选：C 7如图，AB 是半圆直径，半径 OCAB 于点 O，AD 平分CAB 交弧 BC 于点 D，连接 CD、OD，给出以 下四个结论： ACOD； CDDE； ODEADO； 2CD2CEAB 其中正确结论的个数是 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：AB 是半圆直径， AOOD， OADADO， AD 平分CAB 交弧 BC 于点 D， CADDAOCAB， CADADO，
4、ACOD， 正确 作 ONCD， AD 平分CAB 交弧 BC 于点 D， CAD 45 22.5 ， COD45 ， AB 是半圆直径， OCOD， OCDODC67.5 ， AEO90 22.5 67.5 ， DCECED67.5 ， CDDE， 正确 在 ODE 和 ADO 中，只有ADOEDO， COD2CAD2OAD， DEODAO， 不能证明 ODE 和 ADO 相似， 错误； AD 平分CAB 交弧 BC 于点 D， CAD 45 22.5 ， COD45 ， AB 是半圆直径， OCOD， OCDODC67.5 CADADO22.5 （已证）， CDEODCADO67.5 22
5、.5 45 ， CEDCOD， ， CD2ODCEABCE， 2CD2CEAB 正确 综上所述，只有正确 故选：C 8如图，在 ABC 中，AB5，AC4，BC3，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CB、CA 分别相交于点 E、F，则线段 EF 长度的最小值是（ ） A2.4 B2 C2.5 D 解：结合题意得，AB2AC2+BC2， ABC 为 RT ，即C90 ，可知 EF 为圆的直径， 设圆与 AB 的切点为 D，连接 CD， 当 CDAB，即 CD 是圆的直径的时候，EF 长度最小， 则 EF 的最小值是2.4 故选：A 9如图所示，AB 是O 的直径，ADDE，AE 与 BD
6、交于点 C，则图中与DEA 相等的角有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 解：ADDE， DAEAED， ODOB， BODB， BAED， DEADAEODBB， 图中与DEA 相等的角有 3 个， 故选：B 10 如图， AB 是O 的直径， C 为圆上一点， BAC 的平分线交O 于 D， ABC40 ， 那么ABD （ ） A45 B55 C65 D75 解：AB 是O 的直径， CD90 ， ABC40 ， BAC90 ABC50 ， AD 平分BAC， BADBA25 ， ABD90 BAD65 故选：C 11 如图， AB 为O 直径， 弦 CDAB 于 E， 弦 C
7、FAD 于 H 交 AB 于 G， 下列结论： BEEG， DF+HF CH，其中正确结论的个数有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 解：连接 DG、BC，如图 CDAB，CFAD， GEDGHD90 ， 4ADE， 而5ADE， 54， CBCG，即 CBG 为等腰三角形， 而 CEGB， BEGE，所以正确； CDAB， BC 弧BD 弧，CEDE， BDBC， CE 为等腰三角形 CBG 的底边上的高， 1ECB， DF 弧DB 弧， DBDF， CGCBBDDF， AB 垂直平分 CD， GCGD， DGDF， 而 CFAD， HFHG， DF+HFCG+GHCH，所以正确
8、； CDAB， ， +2， BCBDDF， ，即2， ，所以正确 故选：D 12如图， ABC 是O 的内接三角形，AE 是直径，AD 是高交O 于 F，连接 BE、CF，下列结论正确的 有几个？（ ） BECF；ABACADAE；ADDFBDCD；AD2+BD2+FD2+CD2AE2 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：AE 是直径， ABE90 ， AD 是高， ADC90 ， EACB， ABEADC， BAECAF，AB：ADAE：AC， ，ABACADAE； BECF， 故正确； ABCAFC，BAFBCF， ABDCFD， AD：CDBD：DF， ADDFBDCD； 故正确
9、； 在 Rt ABD 中，AD2+BD2AB2， 在 Rt CDF 中，FD2+CD2CF2， 在 Rt ABE 中，AB2+BE2AE2， BECF， AD2+BD2+FD2+CD2AE2 故正确 故选：D 二填空题 13 如图， AB 为O 的直径， 弦 CDAB， E 为弧 AD 上一点， 若BOC70 ， 则BED 的度数为 解：直径 ABCD， B 是 的中点； BEDBOC35 ； 故答案为 35 14如图，已知 AB 为O 的直径，点 C 在O 上，C15 ，则BOC 的度数为 解：结合图形，BOC2A， 又 OAC 为等腰三角形， 即AC， 所以BOC2A2C30 故答案为 3
10、0 15如图，在O 中，所对的AOB 的度数为 m，C 是上一点，D、E 是上不同的两点（不与 A、B 两点重合），则D+E 的度数为 解：+ ，所对的AOB 的度数为 m，所对的圆周角是ADC， 所对的圆周角是CEB， ADC+CEB（360 AOB）， D+E180 16如右图，四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O 是小正方形顶点，O 的半径为 1，P 是O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则 sinAPB 等于 解：四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O 是小正方形顶点， AOB90 ， APBAOB45 ， sinAPBsin45 故答案为： 17如
11、图，在 Rt ABC 中，BAC90 ，且 AB2AC，以 AB 为直径作O，交于 BC 点 D，点 E 为O 上的另外一点，那么 tanAED 解：如图，连接 AD AB 是直径，BAC90 ， AC 是O 的切线， AEDACDB 又AB 是直径， ADB90 ， ACDBAD， ， tanCAD 故答案是： 三解答题 18如图，AB 是O 的直径，COD60 （1） AOC 是等边三角形吗？请说明理由； （2）求证：OCBD 解：（1） AOC 是等边三角形 （1 分） 证明：， 1COD60 （3 分） OAOC（O 的半径）， AOC 是等边三角形； （5 分） （2）证法一：， O
12、CAD （7 分） 又AB 是O 的直径， ADB90 ，即 BDAD （9 分） OCBD（10 分） 证法二：， 1CODAOD （7 分） 又BAOD 1B （9 分） OCBD （10 分） 19已知：如图 ABC 内接于O，AB 为直径，CBA 的平分线交 AC 于点 F，交O 于点 D，DEAB 于点 E，且交 AC 于点 P，连接 AD （1）求证：DACDBA； （2）求证：P 是线段 AF 的中点； （3）若O 的半径为 5，AF，求 tanABF 的值 （1）证明：BD 平分CBA， CBDDBA， DAC 与CBD 都是弧 CD 所对的圆周角， DACCBD， DACDB
13、A； （2）证明：AB 为直径， ADB90 ， DEAB 于 E， DEB90 ， ADE+EDBABD+EDB90 ， ADEABDDAP， PDPA， DFA+DACADE+PDF90 ，且ADB90 ， PDFPFD， PDPF， PAPF， 即：P 是 AF 的中点； （3）解：DAFDBA，ADBFDA90 ， FDAADB， ， 由题意可知圆的半径为 5， AB10， ， 在 Rt ABD 中，tanABD， 即：tanABF 20如图，在锐角 ABC 中，AC 是最短边；以 AC 中点 O 为圆心，AC 长为半径作O，交 BC 于 E，过 O 作 ODBC 交O 于 D，连接
14、AE、AD、DC （1）求证：D 是的中点； （2）求证：DAOB+BAD； （3）若，且 AC4，求 CF 的长 （1）证明：AC 是O 的直径， AEC90 ， AEBC， ODBC， AEOD， D 是的中点； （2）证明： 方法一： 如图，延长 OD 交 AB 于 G，则 OGBC， AGDB， ADOBAD+AGD， 又OAOD， DAOADO， DAOB+BAD； 方法二： 如图，延长 AD 交 BC 于 H， 则ADOAHC， AHCB+BAD， ADOB+BAD， 又OAOD， DAOB+BAD； （3）解：AOOC， S OCDS ACD， ， ， ACDFCE，ADCFEC
15、90 ， ACDFCE， ， 即：， CF2 21如图，等边 ABC 内接于O，P 是上任一点（点 P 不与点 A、B 重合），连 AP、BP，过点 C 作 CMBP 交 PA 的延长线于点 M （1）填空：APC 度，BPC 度； （2）求证： ACMBCP； （3）若 PA1，PB2，求梯形 PBCM 的面积 （1）解：APC60 ，BPC60 ； （2）证明：CMBP， BPM+M180 ， PCMBPC， BPCBAC60 ， PCMBPC60 ， M180 BPM180 （APC+BPC）180 120 60 ， MBPC60 ， 又A、P、B、C 四点共圆， PAC+PBC180 ， MAC+PAC180 MACPBC ACBC， ACMBCP； （3）解：作 PHCM 于 H， ACMBCP， CMCP AMBP， 又M60 ， PCM 为等边三角形， CMCPPMPA+AMPA+PB1+23， 在 Rt PMH 中，MPH30 ， PH ， S梯形PBCM（PB+CM） PH