1、2021 年湖南省娄底市新化县中考数学模拟试卷（一）年湖南省娄底市新化县中考数学模拟试卷（一） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 设要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应位置）设要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应位置） 1|2021|（ ） A2021 B2021 C D 2下列图形中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A B C D 3下列运算正确的是（ ） Aa2a3a6 Ba3a2a C
2、（a2）3a5 D （a2b）2a2b2 4某种芯片每个探针单元的面积为 0.00000164cm2，0.00000164 用科学记数法可表示为（ ） A1.6410 5 B1.6410 6 C16.410 7 D0.16410 5 5 “红色小讲解员”演讲比赛中，7 位评委分别给出某位选手的原始评分评定该选手成绩时，从 7 个原始 评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到 5 个有效评分5 个有效评分与 7 个原始评分相比，这两组 数据一定不变的是（ ） A中位数 B众数 C平均数 D方差 6不等式 3（1x）24x 的解在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 7将含 30角的一个直角三角
3、板和一把直尺如图放置，若150，则2 等于（ ） A80 B100 C110 D120 8如图，小明想要测量学校操场上旗杆 AB 的高度，他作了如下操作： （1）在点 C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE； （2）量得测角仪的高度 CDa； （3）量得测角仪到旗杆的水平距离 DBb 利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ） Aa+btan Ba+bsin Ca+ Da+ 9往直径为 52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 AB48cm，则水的最大深度 为（ ） A8cm B10cm C16cm D20cm 10如图，点 A 在双曲线 y上，点 B
4、 在双曲线 y上，且 ABx 轴，点 C、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为（ ） A4 B6 C8 D12 11如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第 10 个这样的图案需要黑色棋子的个数 为（ ） A148 B152 C174 D202 12已知二次函数 yx22bx+2b24c（其中 x 是自变量）的图象经过不同两点 A（1b，m） ，B（2b+c， m） ，且该二次函数的图象与 x 轴有公共点，则 b+c 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 18
5、分，请把答案填写在答题卡上相应位置）分，请把答案填写在答题卡上相应位置） 13使式子有意义的 x 的取值范围是 14在平面直角坐标系中，点 A（a，2）与点 B（6，b）关于原点对称，则 ab 15已知 a2+2a50，则代数式 2a2+4a1 的值是 16如图所示的电路图中，在开关全部断开的情况下，闭合其中任意一个开关，灯泡发亮的概率 是 17如图，在平行四边形 ABCD 中，BE 平分ABC，CFBE，连接 AE，G 是 AB 的中点，连接 GF，若 AE4，则 GF 18各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积 S 可用公式 S a+b1（a 是多边
6、形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick） 定理” 如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 S 三解答题三解答题（共（共 66 分）分） 19计算：|1|2sin45（1+）0+2 1 20先化简，再求值： （m+n） （mn）+（mn）2（2m2mn） ，其中 m，n 是一元二次方程 x2+x20 的两个实数根 21某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩 x 分（x 为整数）评定为优秀、良好、合格、 不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用 A、B、C、D 表示） ，A 等级：90 x100，B 等级： 80 x90，C 等级：60
7、x80，D 等级：0 x60该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并 绘制成如图不完整的统计图表 等级 频数（人数） 频率 A a 20% B 16 40% C b m D 4 10% 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的 a ，b ，m （2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图 （3）若从 D 等级的 4 名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名 学生恰好是一男一女的概率 22脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面 示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线，为了测量房屋
8、的高度，在地面上 C 点测得屋顶 A 的仰角为 35，此时地面上 C 点、屋檐上 E 点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋 方向走 8m 到达点 D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为 60，房屋的顶层横梁 EF12m，EFCB，AB 交 EF 于点 G（点 C，D，B 在同一水平线上） （参考数据：sin350.6，cos350.8，tan350.7， 1.7） （1）求屋顶到横梁的距离 AG； （2）求房屋的高 AB（结果精确到 1m） 23某经销商 3 月份用 18000 元购进一批 T 恤衫售完后，4 月份用 39000 元购进一批相同的 T 恤衫，数量是 3 月份的 2 倍，但每件
9、进价涨了 10 元 （1）4 月份进了这批 T 恤衫多少件？ （2）4 月份，经销商将这批 T 恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价 180 元甲店按标价卖出 a 件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出 a 件，然后将 b 件按标价九折售出，再将剩 余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同 用含 a 的代数式表示 b 已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值 24 如图， 在ABC 中， ABAC， 以 AB 为直径的O 分别交 AC、 BC 于点 D、 E， 点 F 在 AC 的延长线上， 且BAC2CBF （1）求证：BF 是O 的切线；
10、（2）若O 的直径为 4，CF6，求 tanCBF 25如图，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连接 CP，将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 90，得到线段 CQ， 连接 BP，DQ （1）如图 a，求证：BCPDCQ； （2）如图，延长 BP 交直线 DQ 于点 E 如图 b，求证：BEDQ； 如图 c，若BCP 为等边三角形，判断DEP 的形状，并说明理由 26如图，二次函数 yax2+bx+4 的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（4，0） ，与 y 轴交于点 C，抛物线 的顶点为 D，其对称轴与线段 BC 交于点 E，垂直于 x 轴的动直线 l 分别交抛物线和线段 BC 于
11、点 P 和点 F，动直线 l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿 x 轴正方向移动到 B 点 （1）求出二次函数 yax2+bx+4 和 BC 所在直线的表达式； （2）在动直线 l 移动的过程中，试求使四边形 DEFP 为平行四边形的点 P 的坐标； （3）连接 CP，CD，在动直线 l 移动的过程中，抛物线上是否存在点 P，使得以点 P，C，F 为顶点的三 角形与DCE 相似？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 2021 年湖南省娄底市新化县中考数学模拟试卷（一）年湖南省娄底市新化县中考数学模拟试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共
12、 12 小题）小题） 1|2021|（ ） A2021 B2021 C D 【分析】根据绝对值解答即可 【解答】解：2021 的绝对值是 2021， 故选：A 2下列图形中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 3下列运算正确的是（ ） Aa2a3a6 Ba3a2
13、a C （a2）3a5 D （a2b）2a2b2 【分析】利用幂的运算性质对每个选项进行验证即可得出正确答案 【解答】解：a2a3a2+3a5， A 选项错误； a3a2a3 2a， B 选项正确； （a2）3a6， C 选项错误； （a2b）2a4b2， D 选项错误 综上，正确选项为：B 故选：B 4某种芯片每个探针单元的面积为 0.00000164cm2，0.00000164 用科学记数法可表示为（ ） A1.6410 5 B1.6410 6 C16.410 7 D0.16410 5 【分析】根据科学记数法的要求，将一个数字写成 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数 【解答】解
14、：0.000001641.6410 6， 故选：B 5 “红色小讲解员”演讲比赛中，7 位评委分别给出某位选手的原始评分评定该选手成绩时，从 7 个原始 评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到 5 个有效评分5 个有效评分与 7 个原始评分相比，这两组 数据一定不变的是（ ） A中位数 B众数 C平均数 D方差 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义即可求解 【解答】解：根据题意，从 7 个原始评分中去掉 1 个最高分和 1 个最低分，得到 5 个有效评分5 个有 效评分与 7 个原始评分相比，不变的是中位数 故选：A 6不等式 3（1x）24x 的解在数轴上表示正确的是（ ） A B
15、C D 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得 【解答】解：去括号，得：33x24x， 移项，得：3x+4x23， 合并同类项，得：x1， 故选：A 7将含 30角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若150，则2 等于（ ） A80 B100 C110 D120 【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论 【解答】解：如图所示， ABCD ABE150， 又2 是ABE 的外角， 2ABE+E50+60110， 故选：C 8如图，小明想要测量学校操场上旗杆 AB 的高度，他作了如下操作： （1）在点 C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE； （2）
16、量得测角仪的高度 CDa； （3）量得测角仪到旗杆的水平距离 DBb 利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ） Aa+btan Ba+bsin Ca+ Da+ 【分析】过 C 作 CFAB 于 F，则四边形 BFCD 是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论 【解答】解：过 C 作 CFAB 于 F，则四边形 BFCD 是矩形， BFCDa，CFBDb， ACF， tan， AFbtan， ABAF+BFa+btan， 故选：A 9往直径为 52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 AB48cm，则水的最大深度 为（ ） A8cm B10cm C16cm
17、 D20cm 【分析】连接 OB，过点 O 作 OCAB 于点 D，交O 于点 C，先由垂径定理求出 BD 的长，再根据勾股 定理求出 OD 的长，进而可得出 CD 的长 【解答】解：连接 OB，过点 O 作 OCAB 于点 D，交O 于点 C，如图所示： AB48cm， BDAB4824（cm） ， O 的直径为 52cm， OBOC26cm， 在 RtOBD 中，OD10（cm） ， CDOCOD261016（cm） ， 故选：C 10如图，点 A 在双曲线 y上，点 B 在双曲线 y上，且 ABx 轴，点 C、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为（ ） A4 B6
18、C8 D12 【分析】根据双曲线上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积 S 的关系 S|k|即可判断 【解答】解：延长 BA 交 y 轴于 E，则 BEy 轴， 点 A 在双曲线 y上， 四边形 AEOD 的面积为 4， 点 B 在双曲线线 y上，且 ABx 轴， 四边形 BEOC 的面积为 12， 矩形 ABCD 的面积为 1248 故选：C 11如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第 10 个这样的图案需要黑色棋子的个数 为（ ） A148 B152 C174 D202 【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多 2（n+3）枚棋子，然后写成
19、第 n 个图案的通式，再 取 n10 进行计算即可求解 【解答】解：根据图形，第 1 个图案有 12 枚棋子， 第 2 个图案有 22 枚棋子， 第 3 个图案有 34 枚棋子， 第 n1 个图案有 2（1+2+n+1）+2（n2）n2+5n2 枚棋子， 第 n 个图案有 2（1+2+n+2）+2（n1）n2+7n+4 枚棋子， 故第 10 个这样的图案需要黑色棋子的个数为 102+710+4100+70+4174（枚） 故选：C 12已知二次函数 yx22bx+2b24c（其中 x 是自变量）的图象经过不同两点 A（1b，m） ，B（2b+c， m） ，且该二次函数的图象与 x 轴有公共点，
20、则 b+c 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】求出抛物线的对称轴 xb，再由抛物线的图象经过不同两点 A（1b，m） ，B（2b+c，m） ，也 可以得到对称轴为，可得 bc+1， 再根据二次函数的图象与 x 轴有公共点， 得到 b24c0， 进而求出 b、c 的值 【解答】解：由二次函数 yx22bx+2b24c 的图象与 x 轴有公共点， （2b）241（2b24c）0，即 b24c0 ， 由抛物线的对称轴 xb，抛物线经过不同两点 A（1b，m） ，B（2b+c，m） ， b，即，cb1 ， 代入得，b24（b1）0，即（b2）20，因此 b2， cb1211， b+c2+1
21、3， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13使式子有意义的 x 的取值范围是 x1 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x10，根据分式有意义的条件可得 x10，故 x10 再 解不等式即可 【解答】解：由题意得：x10， 解得：x1， 故答案为：x1 14在平面直角坐标系中，点 A（a，2）与点 B（6，b）关于原点对称，则 ab 12 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的横坐标与纵坐标均互为相反数，即可得到 a，b 的值，进而 得出 ab 的值 【解答】解：点 A（a，2）与点 B（6，b）关于原点对称， a6，b2， ab12， 故答案为：12 15已知 a2+
22、2a50，则代数式 2a2+4a1 的值是 9 【分析】将 a2+2a50 变形为 a2+2a5，然后将整体代入所求的代数式进行化简求值 【解答】解：a2+2a50， a2+2a5， a2+2a1 2（a2+2a）1 251 101 9 故答案为：9 16如图所示的电路图中，在开关全部断开的情况下，闭合其中任意一个开关，灯泡发亮的概率是 【分析】根据概率公式知，共有 3 个开关，只闭一个开关时，只有闭合 K3时才发光，所以小灯泡发光的 概率等于 【解答】解：根据题意，三个开关，只有闭合 K3小灯泡才发光，所以小灯泡发光的概率等于 故答案为 17如图，在平行四边形 ABCD 中，BE 平分ABC
23、，CFBE，连接 AE，G 是 AB 的中点，连接 GF，若 AE4，则 GF 2 【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解CBEBEC，即可得 CBCE，利用等腰 三角形的性质可得 BFEF，进而可得 GF 是ABE 的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解 【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，ABCD， ABEBEC BE 平分ABC， ABECBE， CBEBEC， CBCE CFBE， BFEF G 是 AB 的中点， GF 是ABE 的中位线， GFAE， AE4， GF2 故答案为 2 18各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面
24、积 S 可用公式 S a+b1（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick） 定理” 如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 S 6 【分析】分别统计出多边形内部的格点数 a 和边界上的格点数 b，再代入公式 Sa+b1，即可得出格 点多边形的面积 【解答】解：a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积， 通过图象可知 a4，b6， 该五边形的面积 S4+616， 故答案为：6 三解答题三解答题 19计算：|1|2sin45（1+）0+2 1 【分析】直接利用零指数幂、负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、
25、绝对值的性质分别化简得 出答案 【解答】解：原式（1）21+ 11+ 20先化简，再求值： （m+n） （mn）+（mn）2（2m2mn） ，其中 m，n 是一元二次方程 x2+x20 的两个实数根 【分析】化简整式得原式mn，根据韦达定理可得 mn2，即可得出答案 【解答】解：原式m2n2+m22mn+n22m2+mn mn， m，n 是一元二次方程 x2+x20 的两个实数根， mn2， 则原式mn2 21某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩 x 分（x 为整数）评定为优秀、良好、合格、 不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用 A、B、C、D 表示） ，A 等级：90
26、 x100，B 等级： 80 x90，C 等级：60 x80，D 等级：0 x60该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并 绘制成如图不完整的统计图表 等级 频数（人数） 频率 A a 20% B 16 40% C b m D 4 10% 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的 a 8 ，b 12 ，m 30% （2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图 （3）若从 D 等级的 4 名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名 学生恰好是一男一女的概率 【分析】 （1）根据题意列式计算即可得到结论； （2）用 D 等级人数除以它所占的百分比即可
27、得到调查的总人数； （3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可 【解答】解： （1）a1640%20%8，b1640%（120%40%10%）12，m120% 40%10%30%； 故答案为：8，12，30%； （2）本次调查共抽取了 410%40 名学生； 补全条形图如图所示； （3）将男生分别标记为 A，B，女生标记为 a，b， A B a b A （A，B） （A，a） （A，b） B （B，A） （B，a） （B，b） a （a，A） （a，B） （a，b） b （b，A） （b，B） （b，a） 共有 12 种等可能的结果，恰为一男一女的有 8 种， 抽得恰好为“一男
28、一女”的概率为 22脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面 示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上 C 点测得屋顶 A 的仰角为 35，此时地面上 C 点、屋檐上 E 点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋 方向走 8m 到达点 D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为 60，房屋的顶层横梁 EF12m，EFCB，AB 交 EF 于点 G（点 C，D，B 在同一水平线上） （参考数据：sin350.6，cos350.8，tan350.7， 1.7） （1）求屋顶到横梁的距离 AG； （2）求房屋的高
29、 AB（结果精确到 1m） 【分析】 （1） 根据题意得到 AGEF， EGEF， AEGACB35， 解直角三角形即可得到结论； （2）过 E 作 EHCB 于 H，设 EHx，解直角三角形即可得到结论 【解答】解： （1）房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线，EF BC， AGEF，EGEF，AEGACB35， 在 RtAGE 中，AGE90，AEG35， tanAEGtan35，EG6， AG60.74.2（米） ； 答：屋顶到横梁的距离 AG 约为 4.2 米； （2）过 E 作 EHCB 于 H， 设 EHx， 在 RtEDH 中，EHD90，ED
30、H60， tanEDH， DH， 在 RtECH 中，EHC90，ECH35， tanECH， CH， CHDHCD8， 8， 解得：x9.52， ABAG+BG13.7214（米） ， 答：房屋的高 AB 约为 14 米 23某经销商 3 月份用 18000 元购进一批 T 恤衫售完后，4 月份用 39000 元购进一批相同的 T 恤衫，数量是 3 月份的 2 倍，但每件进价涨了 10 元 （1）4 月份进了这批 T 恤衫多少件？ （2）4 月份，经销商将这批 T 恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价 180 元甲店按标价卖出 a 件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出 a
31、 件，然后将 b 件按标价九折售出，再将剩 余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同 用含 a 的代数式表示 b 已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值 【分析】 （1）根据 4 月份用 39000 元购进一批相同的 T 恤衫，数量是 3 月份的 2 倍，可以得到相应的分 式方程，从而可以求得 4 月份进了这批 T 恤衫多少件； （2）根据甲乙两店的利润相同，可以得到关于 a、b 的方程，然后化简，即可用含 a 的代数式表示 b； 根据题意，可以得到利润与 a 的函数关系式，再根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量， 可以得到 a 的取值范围，从而可以求
32、得乙店利润的最大值 【解答】解： （1）设 3 月份购进 x 件 T 恤衫， ， 解得，x150， 经检验，x150 是原分式方程的解， 则 2x300， 答：4 月份进了这批 T 恤衫 300 件； （2）每件 T 恤衫的进价为：39000300130（元） ， （180130）a+（1800.8130） （150a）（180130）a+（1800.9130）b+（1800.7130） （150ab） 化简，得 b； 设乙店的利润为 w 元， w （180130） a+ （1800.9130） b+ （1800.7130）（150ab） 54a+36b60054a+36 60036a+210
33、0， 乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量， ab， 即 a， 解得，a50， 当 a50 时，w 取得最大值，此时 w3900， 答：乙店利润的最大值是 3900 元 24 如图， 在ABC 中， ABAC， 以 AB 为直径的O 分别交 AC、 BC 于点 D、 E， 点 F 在 AC 的延长线上， 且BAC2CBF （1）求证：BF 是O 的切线； （2）若O 的直径为 4，CF6，求 tanCBF 【分析】 （1）连接 AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角互 余得到直角，从而证明ABF90，于是得到结论； （2）过 C 作 CHBF 于 H，根
34、据勾股定理得到 BF2，根据相似三角 形的性质得到 CH，根据三角函数的定义即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 AE， AB 是O 的直径， AEB90， 1+290 ABAC， 21CAB BAC2CBF， 1CBF CBF+290 即ABF90 AB 是O 的直径， 直线 BF 是O 的切线； （2）解：过 C 作 CHBF 于 H， ABAC，O 的直径为 4， AC4， CF6，ABF90， BF2， CHFABF，FF， CHFABF， ， ， CH， HF， BHBFHF2， tanCBF 25如图，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连接 CP，将线段 CP 绕点 C 顺
35、时针旋转 90，得到线段 CQ， 连接 BP，DQ （1）如图 a，求证：BCPDCQ； （2）如图，延长 BP 交直线 DQ 于点 E 如图 b，求证：BEDQ； 如图 c，若BCP 为等边三角形，判断DEP 的形状，并说明理由 【分析】 （1）根据旋转的性质证明BCPDCQ，得到BCPDCQ； （2）根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案； 根据等边三角形的性质和旋转的性质求出EPD45，EDP45，判断DEP 的形状 【解答】 （1）证明：BCD90，PCQ90， BCPDCQ， 在BCP 和DCQ 中， ， BCPDCQ； （2）如图 b，BCPDCQ， CBFEDF，又BFCDFE，
36、 DEFBCF90， BEDQ； BCP 为等边三角形， BCP60，PCD30，又 CPCD， CPDCDP75，又BPC60，CDQ60， EPD45，EDP45， DEP 为等腰直角三角形 26如图，二次函数 yax2+bx+4 的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（4，0） ，与 y 轴交于点 C，抛物线 的顶点为 D，其对称轴与线段 BC 交于点 E，垂直于 x 轴的动直线 l 分别交抛物线和线段 BC 于点 P 和点 F，动直线 l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿 x 轴正方向移动到 B 点 （1）求出二次函数 yax2+bx+4 和 BC 所在直线的表达式； （2）
37、在动直线 l 移动的过程中，试求使四边形 DEFP 为平行四边形的点 P 的坐标； （3）连接 CP，CD，在动直线 l 移动的过程中，抛物线上是否存在点 P，使得以点 P，C，F 为顶点的三 角形与DCE 相似？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 【分析】 （1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为 yx2+3x+4，则 C（0，4） ，由待定系数法 求出 BC 所在直线的表达式即可 （2）证 DEPF，只要 DEPF，四边形 DEFP 即为平行四边形，由二次函数解析式求出点 D 的坐标， 由直线 BC 的解析式求出点 E 的坐标， 则 DE， 设点 P 的横坐标为 t
38、， 则 P 的坐标为：（t， t2+3t+4） ， F 的坐标为： （t，t+4） ，由 DEPF 得出方程，解方程进而得出答案； （3）由平行线的性质得出CEDCFP，当PCFCDE 时，PCFCDE，则，得出 方程，解方程即可 【解答】解： （1）将点 A（1，0） ，B（4，0） ，代入 yax2+bx+4， 得：， 解得：， 二次函数的表达式为：yx2+3x+4， 当 x0 时，y4， C（0，4） ， 设 BC 所在直线的表达式为：ymx+n， 将 C（0，4） 、B（4，0）代入 ymx+n， 得：， 解得：， BC 所在直线的表达式为：yx+4； （2）DEx 轴，PFx 轴，
39、DEPF， 只要 DEPF，四边形 DEFP 即为平行四边形， yx2+3x+4（x）2+， 点 D 的坐标为： （，） ， 将 x代入 yx+4，即 y+4， 点 E 的坐标为： （，） ， DE， 设点 P 的横坐标为 t， 则 P 的坐标为： （t，t2+3t+4） ，F 的坐标为： （t，t+4） ， PFt2+3t+4（t+4）t2+4t， 由 DEPF 得：t2+4t， 解得：t1（不合题意舍去） ，t2， 当 t时，t2+3t+4（）2+3+4， 点 P 的坐标为（，） ； （3）存在，理由如下： 如图 2 所示： 由（2）得：PFDE， CEDCFP， 又PCF 与DCE 有共同的顶点 C，且PCF 在DCE 的内部， PCFDCE， 只有PCFCDE 时，PCFCDE， ， C（0，4） 、E（，） ， CE， 由（2）得：DE，PFt2+4t，F 的坐标为： （t，t+4） ， CFt， ， t0， （t+4）3， 解得：t， 当 t时，t2+3t+4（）2+3+4， 点 P 的坐标为： （，）