1、备战备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练年中考复习重难点与压轴题型专项训练 专题 03 利用分类讨论思想解决多解题 【典型例题】 1(2020 江西九年级三模)在ABC 中， A=30 ，B=90 ，AC=8，点 D 在边 AB， 且 BD= 3，点 P 是 ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD 的长是_ 【答案】3 或 3或15 【分析】 根据直角三角形的性质求出 BC，勾股定理求出 AB，根据直角三角形的性质列式计算即可 【详解】 解：如图 B=90 ，A=30 ， BC= 1 2 AC= 1 2 8=4， 由勾股定理得，AB= 2222 844 3ACBC
2、 4 333 3AD 当点 P 在 AC 上时，A=30 ，AP=2PD， ADP=90 ， 则 AD2+PD2=AP2，即(3 3) 2=(2PD)2-PD2， 解得，PD=3， 当点 P 在 AB 上时，AP=2PD，AD=3 3， PD= 3， 当点 P 在 BC 上时，AP=2PD， 设 PD=x，则 AP=2x， 由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=x2-3， 2 2 2 24 33xx 解得，x= 15 故答案为：3 或 3或15. 【点睛】 本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c， 那么 a2+b2=c2 【专题训练】
3、一、一、填空题填空题 1(2020 江西九年级其他模拟)在 RtABC 中，AC=3，BC=4，点 P 是斜边 AB 上一点，若PAC 是等腰三角 形，则线段 AP 的长可能为_ 【答案】3，2.5 或 18 5 【分析】 分三种情况讨论，再利用等腰三角形的性质进行计算即可 【详解】 若PAC 是等腰三角形，则分以下三种情况： PA=AC=3； AP=PC 时，则A=ACP， A+B=90 ，ACP+BCP=90 ， B=BCP， PC=PB， AP=PB=PC， P 为 AB 的中点， 在 RtABC 中， 22 345AB ， AP=2.5； PC=AC 时，过 C 作 CDAB 于 D，
4、则 AP=2AD， 在 RtACD 中，AD=ACcosA， AP=2ACcosA， 又在 RtABC 中， 3 cos 5 AC A AB ， 318 2 3 55 AP ， 综上所述，AP 的长为 3，2.5 或 18 5 故答案为：3，2.5 或 18 5 【点睛】 本题考查等腰三角形，熟练应用等腰三角形的性质及锐角三角函数是解题关键 2 (2020 江西九年级其他模拟)在矩形ABCD中， 边12ABADE，是边AD的中点， 点P在射线BD 上运动，若BEP为等腰三角形，则线段DP的长度等于_ 【答案】 52 或 2 5 3 或 5 5 【分析】 先根据矩形的性质及中点的定义得出BAD=
5、90 ，AE=DE=1，那么ABE 是等腰直角三角形，BE= 2AB= 2再分三种情况讨论：BP=BE；PB=PE；EB=EP 【详解】 矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，E 是 AD 中点， BAD=90 ，AE=DE=1，BD= 2222 125ABAD ， ABE 是等腰直角三角形， BE= 2AB=2， 若BEP为等腰三角形，则分：三种情况： 当BPBE时，显然 BP= 2， DP= 52 ； 当 PB=PE 时，如图，连结 AP， PB=PE，AB=AE， AP 垂直平分 BE， ABE 是等腰直角三角形， BAP=EAP=45 ， 作 PMAB 于 M，PNAD 于 N， P
6、M= PN， 设 PM=x， ABDABPAPD SSS ， 111 1 212 222 xx ， 解得： 2 3 x ， PM=PN= 2 3 ， PNAD， BND=90 ， BAD=90 ， PNAB， NPD=ABD=90 ， DP= 2 2 5 3 1 cosNPDcosABD3 5 PNPN ； 当EBEP时， 如图，过点A作AFBD于点F，过点E作EGBD于点G， 在Rt ABF中， 22 5 sin1= 55 AFABABF ， AE=ED，EGAF， 15 25 EGAF， 在Rt BEG中， 5 2 5 BEEG， 2222 53 5 ( 2)() 55 BGBEEG ，
7、EB=EP，EGBP， 6 5 2 5 BPBG， 6 55 5 55 DPBPBD 综上所述，线段 DP 的长度等于 52 或 2 5 3 或 5 5 故答案为： 52 或 2 5 3 或 5 5 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三 角形的应用等知识，综合性较强，有一定难度进行分类讨论与数形结合是解题的关键 3(2020 江西九年级二模)已知矩形 AOBC 的边 AO、OB 分别在 y 轴、x 轴正半轴上，点 C 的坐标为(8，6)， 点 E 是 x 轴上任意一点，连接 EC，交 AB 所在直线于点 F，当ACF 为等腰三角
8、形时，EF 的长为_ 【答案】5 或 2 10 5 或 7 4 【分析】 ACF 是等腰三角形，需要分三种情况进行讨论求解. 【详解】 解：ACF 为等腰三角形有三种情况： 如图，当 AFCF 时，点 E 与点 O 重合， 由题意得 OB8，BC6， 由勾股定理得 OC10， 四边形 AOBC 为矩形， EF5； 如图，当 AFAC8 时， 由可知 OC10， 四边形 AOBC 为矩形， ABOC10，ACOB， AFCBFE， AF BF AC BE CF EF ， BEBF1082， 在 RtBCE 中，由勾股定理得：CE 22 2 +6 2 10， AF BF CF EF 4， EF 1
9、 5 CE 2 10 5 ； 如图，当 CFAC8 时，过点 C 作 CDAF 于点 D， ADDF， AC8，BC6，AB10， CD 86 10 24 5 ， 在 RtACD 中，由勾股定理得：AD 22 24 8 -() 5 32 5 ， BDABAD10 32 5 18 5 ，DFAD 32 5 ，AF 64 5 ，BFDFBD 14 5 ， ACOE， AFCBFE， BF AF BE AC ， 14 5 64 5 BE 8 ， BE 7 4 ， CFAC， EFBE， EF 7 4 综上所述，EF 的长为 5 或 2 10 5 或 7 4 故答案为：5 或 2 10 5 或 7 4
10、 4(2020 江西九年级一模)已知O的半径为2，AB是O的弦，点P在O上，2 3AB 若点P到 直线AB的距离为1，则PAB的度数为_ 【答案】15，30或105 【分析】 分三种情况：当 PCAB 交 AB 延长线上时，当 AB 垂直平分 OP 时，当点 C 在 BA 延长线上时，利用三角 函数，平行四边形的性质分别求出PAB的度数. 【详解】 如图 1， 当 PCAB 交 AB 延长线上时，过点 O 作 OEAB 于 E， 2 3AB ， AE= 3, OA=2， cosOAE= 3 2 AE OA ， OAE=30 ， OE=1， PC=1，OEAB，PCAB， PC=OE，PCOE，
11、 四边形 PCEO 是平行四边形， OPAC， OPA=PAB， OA=OP， OAP=OPA=PAB， PAB=15 ； 如图 2，当 AB 垂直平分 OP 时， OP=2，PC=1， OA=2，OC=1， BAO=30 ， AOC=60 ， OA=OP， OAP=OPA=60 ， ACOP， PAB=30 ； 如图 3，当点 C 在 BA 延长线上时，可知四边形 POEC 是平行四边形， OPAB， AOP=OAB=30 ， OA=OP， PAO=75 ， PAB=PAO+OAB=105 ， 故答案为：15，30或105. 【点睛】 此题考查圆的垂径定理，平行四边形的判定及性质，等边三角形
12、的判定及性质，等腰三角形的性质，锐角 三角函数. 5 (2019 江西中考模拟)RtABC 中， ABC=90 ， AB=3， BC=4， 过点 B 的直线把ABC 分割成两个三角形， 使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_ 【答案】3.6 或 4.32 或 4.8 【解析】 【分析】在 RtABC 中，通过解直角三角形可得出 AC=5、SABC=6，找出所有可能的分割方法，并求出剪出 的等腰三角形的面积即可 【详解】在 RtABC 中，ACB=90 ，AB=3，BC=4， AB= 22 ABBC =5，SABC= 1 2 ABBC=6 沿过点 B 的直线把ABC 分割成两个三
13、角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况： 当 AB=AP=3 时，如图 1 所示， S等腰ABP= AP AC SABC= 3 5 6=3.6； 当 AB=BP=3，且 P 在 AC 上时，如图 2 所示， 作ABC 的高 BD，则 BD= 3 4 2.4 5 AB BC AC ， AD=DP= 22 32.4 =1.8， AP=2AD=3.6， S等腰ABP= AP AC SABC= 3.6 5 6=4.32； 当 CB=CP=4 时，如图 3 所示， S等腰BCP= CP AC SABC= 4 5 6=4.8； 综上所述：等腰三角形的面积可能为 3.6 或 4.32 或 4.8， 故
14、答案为 3.6 或 4.32 或 4.8 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出 剪出的等腰三角形的面积是解题的关键 6(2019 江西)有一张三角形纸片 ABC，A80 ，点 D 是 AC 边上一点，沿 BD 方向剪开三角形纸片后， 发现所得两张纸片均为等腰三角形，则C 的度数可以是_ 【答案】25 或 40 或 10 【解析】 【分析】分 AB=AD 或 AB=BD 或 AD=BD 三种情况根据等腰三角形的性质求出ADB，再求出BDC，然后 根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解 【详解】由题意知ABD 与DBC 均为等腰三角形， 对
15、于ABD 可能有 AB=BD，此时ADB=A=80 ， BDC=180 -ADB=180 -80 =100 ， C= 1 2 (180 -100 )=40 ， AB=AD，此时ADB= 1 2 (180 -A)= 1 2 (180 -80 )=50 ， BDC=180 -ADB=180 -50 =130 ， C= 1 2 (180 -130 )=25 ， AD=BD，此时，ADB=180 -2 80 =20 ， BDC=180 -ADB=180 -20 =160 ， C= 1 2 (180 -160 )=10 ， 综上所述，C 度数可以为 25 或 40 或 10 故答案为 25 或 40 或
16、 10 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论 7(2020 江西九年级二模)菱形 ABCD 中，ABC=30 ，ACBD，点 E 在对角线 BD 上，AED=45 ，P 是 菱形上一点，若AEP 是以 AE 为直角边为直角三角形，则 tanAPE 的值为_ 【答案】1 或3或 33 2 【分析】 本题以菱形为题目背景，综合考查菱形的性质，并以动点问题丰富题干，考查分类讨论方式，结合题干信 息特殊角度，可通过做辅助线构造特殊直角三角形以满足求解三角函数正切值的前提，继而通过图形性质 求解边长比例 【详解】 菱形 ABCD，ABC=30 ，ACBD BAC=75 连接 CE，并延
17、长 CE 交 AB 于点 P1，如下图所示 当AED=45 时，BAE=30 ，AEC 与AEP1为直角三角形 在AEP1中，tanAP1E=tan60 = 3 在AEC(即AEP2，此时点 P2与点 C 重合)中，tanAP2E=tan45 =1 在AEP3中，EAP3=90 ，此时 CP1AP3 设 OA=a，那么 EC=AE= 2a，EP1= 6 3 a 所以 AP3=CP1= 6 3 a + 2a，tanAP3E= 3 AE AP = 2a ( 6 3 a + 2a)= 333 233 综上，tanAPE 的值为 1 或3或 33 2 【点睛】 本题考点极其丰富， 利用分类讨论分析题干
18、要保证不重不漏， 出现特殊角度时需要辅助线构造特殊三角形， 巧妙利用特殊三边比例关系解答本题 8(2020 江西九年级二模)菱形ABCD中，30ABC，点E在对角线BD上，45AED，P 是菱 形上一点，若APEV是以AE为直角边的直角三角形，则tan APE的值为_ 【答案】 3或 1 或 33 2 【分析】 分三种情况：(1)当点 P 在 AB 边上时，如图 1，利用菱形的性质和三角形的外角性质可得APE=60 ，进而 可得结果；(2)当点 P 在 BC 边上时，如图 2，利用菱形的性质和 ASA 可证ABEPBE，进一步即可推出 EAC=APE=45 ，于是可得结果；(3)当点 P 在
19、CD 边上时，设 AP 交 BD 于点 G，连接 CE、CG、AC， 如图 3，利用菱形的性质和轴对称的性质可得四边形 AECG 是正方形，根据菱形的性质易得APD 是底角为 30 的等腰三角形，进而可得APC=60 ，即得GCP=30 ，在 RtGCP 中，设 GP=a，则3 GCa ，则 AE、AP 可用含 a 的代数式表示，于是可得答案 【详解】 解：分三种情况： (1)当点 P 在 AB 边上时，如图 1，四边形 ABCD 是菱形，30ABC， ABD=CBD=15 ， 45AED， BAE=30 ， AEP=90 ， APE=60 ， tantan603APE； (2)当点 P 在
20、BC 边上时，如图 2，AEP=90 ，45AED 45PED，AEB=PEB=135 ， 又BE=BE，ABD=CBD， ABEPBE(ASA)， BA=BP，EA=EP， P、C 两点重合，EAC=APE=45 ， tantan451APE； (3)当点 P 在 CD 边上时，设 AP 交 BD 于点 G，连接 CE、CG、AC，如图 3， 四边形 ABCD 是菱形，BD 垂直平分 AC， EA=EC，GA=GC，CED=AED=45 ， EAP=90 ，AGE=AED=45 ， AE=AG， AE=EC=CG=GA， 四边形 AECG 是正方形， ADBC，30ABC，BAD=150 ，
21、 BAE=30 ，EAP=90 ，DAP=30 ， APC=60 ，GCP=30 ， 在 RtGCP 中，设 GP=a，则3GCa， 3AEAGa，31APa 333 tan 2 31 AEa APE AP a ， 综上，tan 3APE 或 1 或 33 2 故答案为： 3或 1 或 33 2 【点睛】 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质以及解直角三角形的有关知识， 综合性强，具有一定的难度，全面分类、正确添加辅助线、熟练掌握菱形的性质和正方形的判定和性质是 解题的关键 9(2020 江西九年级一模)菱形 ABCD 中，B60 ，AB4，点 E 在 BC 上，C
22、E2 3，若点 P 是菱形上 异于点 E 的另一点，CECP，则 EP 的长为_ 【答案】6 或 2 6或 326 【解析】 【分析】 连接 EP 交 AC 于点 H，依据菱形的性质可得到ECH=PCH=60 ，然后依据 SAS 可证明ECHPCH， 则EHC=PHC=90 ，最后依据 PE=EH 求解即可. 【详解】 解：如图所示：连接 EP 交 AC 于点 H 菱形 ABCD 中，B60 ， BCD120 ，ECHPCH60 在ECH 和PCH 中 ECPC ECHPCH CHCH ， ECHPCH EHCPHC90 ，EHPH OC= 1 2 EC= 1 2 33 2 . EH=3, E
23、P2EH6 如图 2 所示：当 P 在 AD 边上时，ECP 为等腰直角三角形，则2,2 6EPEC 当 P在 AB 边上时，过点 P作 PFBC PC2 3，BC4，B60 ， PCAB BCP30 3 2 33,3,2 33 2 FCP FEF 22 (2 33)( 3)3 26EP 故答案为 6 或 2 6或 326 【点睛】 本题主要考查的是菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键. 10(2018 江西中考真题)在正方形ABCD中，AB=6，连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点， 若PD=2AP，则AP的长为_ . 【答案】2，2 3 ， 142 【分析】 根据题意分情况画
24、出符合题意的图形，然后针对每一个图形进行求解即可得. 【详解】 四边形 ABCD 是正方形， AD=AB=6，BAD=90 ，DAC=45 ，AC=BD=6 2； 如图 1，当点 P 在 AD 上时，AP+PD=AD=6，PD=2AP，AP=2； 如图 2，当点 P 在 AB 上时， PAD=90 ，AP2+AD2=AP2， AD=6，PD=2AP，AP2+36=4AP2，AP=2 3； 如图 3，当点 P 在 AC 上时，作 PNAD 于点 N，设 AN=x，则有 DN=6-x，PN=x， 由勾股定理则有 AP= 2x，PD= 2 2 6xx ， PD=2AP， 2 2 6xx =2 2x，
25、 x= 71或 x=71(不符合题意，舍去)， AP= 2x=142 ， 当点 P 在其余边可对角线上时，不存在可以使 PD=2AP 的点， 综上，AP 的长为 2，2 3 ， 142 ， 故答案为 2，2 3 ， 142 . 【点睛】 本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用等，难度较大，解题的关键是正确画出符合题意的图形. 11(2017 江西中考真题)已知点 A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接 AC，BC 得到矩形 AOBC，点 D 的边 AC 上，将边 OA 沿 OD 折叠，点 A 的对应边为 A若点 A到矩形较长两对边的距离之比为 1：3，则点 A的坐 标为 【答案】 【详
26、解】 解：由点 A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，可得 BC=OA=4，OB=AC=7， 分两种情况： (1)当点 A在矩形 AOBC 的内部时，过 A作 OB 的垂线交 OB 于 F，交 AC 于 E，如图 1 所示： 当 AE：AF=1：3 时， AE+AF=BC=4， AE=1，AF=3， 由折叠的性质得：OA=OA=4， 在 RtOAF 中，由勾股定理得：OF= 22 437 ， A( 7，3)； 当 AE：AF=3：1 时，同理得：A( 15，1)； (2)当点 A在矩形 AOBC 的外部时，此时点 A在第四象限，过 A作 OB 的垂线交 OB 于 F，交 AC 于 E，如图
27、 2 所示：AF：AE=1：3，则 AF：EF=1：2， AF= 1 2 EF= 1 2 BC=2， 由折叠的性质得：OA=OA=4， 在 RtOAF 中，由勾股定理得：OF= 22 42 =2 3， A(2 3，2)； 故答案为( 7，3)或(15，1)或(23，2) 考点：1、翻折变换(折叠问题)；2、坐标与图形性质；3、矩形的性质 12(2016 江西中考真题)如图是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB=8，AD=7，E 为 AB 上一点，AE=5，现要 剪下一张等腰三角形纸片(AEP)，使点 P 落在长方形 ABCD 的某一条边上，则等腰三角形 AEP 的底边长是 _ 【答案】5 2或
28、4 5或 5 【详解】 如图所示： 当 AP=AE=5 时，BAD=90 ，AEP 是等腰直角三角形，底边 PE= 2AE=5 2； 当 PE=AE=5 时，BE=ABAE=85=3，B=90 ，PB= 22 PEBE =4，底边 AP= 22 ABPB = 22 84 =4 5； 当 PA=PE 时，底边 AE=5； 综上所述：等腰三角形 AEP 的对边长为5 2或4 5或 5； 故答案为5 2或4 5或 5 13(2020 江西九年级二模)如图，在菱形ABCD中，60ABC，E是BD上一点，105AEB， 点P在菱形ABCD的边上运动(不与顶点重合)当AEEP时，AEP的度数为_ 【答案】
29、30或90或120 ； 【分析】 利用 ABCD 为菱形,，60ABC，所以ABE=30 ，AEB=105 ，所以BAE=75 ，再分别讨论 P 在 AB 上,P 在 BC 上,P 在 AD 上时求出AEP 的度数即可 【详解】 解: 当 P 在边 AB 上时，如图； ABCD 为菱形，ABC=60 ， ABE=30 ， 又AEB=105 ， BAE=180 105 30 =45 ， AE=EP， APE=PAE=45 ， AEP=180 45 45 =90 ； 当 P 在边 BC 上时， 连接 CE， ABCD 为菱形 BD 垂直平分 AC EA=EC EAC=ECA，又BAC=BCA BA
30、E=BCE=180 105 30 =45 ， AE=EP，又 EA=EC， EP=EC， EPC=ECP， 设BEP=x， EPC=EBP+BEP=30 +x， ECP=30 +x， 30 +x=45 ， x=15 ， AEP=105 +15 =120 ； 当 P 在边 CD 上时， 由可得 EA=EC， EAC=ECA=60 45 =15 ， EC=EP， ECP=EPC=60 +15 =75 ， CEP=180 75 75 =30 ， 又AED=CED=75 ， PED=75 30 =45 ， AEP=75 +45 =120 ； 当 P 在边 AD 上时， EAD=15 +60 =75 ，
31、 EA=EP， EAP=EPA=75 ， AEP=180 75 75 =30 ， 综上可得AEP=30 或 90 或 120 ， 故答案为：30 或 90 或 120 【点睛】 本题考查了等腰三角形求角度的分类讨论问题，考查点有菱形的性质，等腰三角形性质，解题关键在于利 用菱形及等腰三角形的性质，通过不断的导角求解，注意在求解过程中要进行分类讨论 14(2017 江西中考模拟)如图，矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，E 是 AD 中点，P 在射线 BD 上运动，若BEP 为等腰三角形，则线段 BP 的长度等于_ 【答案】 2或 5 3 或 6 5 5 . 【解析】 试题分析：本题需要根据
32、等腰三角形的性质进行分类讨论，当 BE=BP 时，则 BP= 2；当 BP=PE 时，则 BP= 5 3 ；当 BE=EP 时，则 BP= 6 5 5 . 点睛：本题主要考查的就是等腰三角形的性质以及分类讨论思想的应用.同学们在解答动点产生等腰三角形 的时候，我们一定要注意分类讨论思想的应用.将三角形的各边用含未知数的代数式来进行表示，然后找出 相等的两条边，从而求出未知数的值得出答案.在解答分类讨论的题目时，一定要注意分类的依据. 15(2018 江西中考模拟)如图，在一张长为 7cm，宽为 5cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为 4cm 的等 腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的
33、一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上)，则剪下的 等腰三角形的面积为_ 【答案】8 2 cm或 215 2 cm或 27 2 cm 【详解】 分三种情况计算： (1)当 AE=AF=4 时，如图： SAEF= 1 2 AEAF= 1 2 4 4=8 2 cm； (2)当 AE=EF=4 时，如图： 则 BE=54=1， BF= 2222 4115EFBE ， SAEF= 1 2 AEBF= 1 2 415=2 15 2 cm； (3)当 AE=EF=4 时，如图： 则 DE=74=3， DF= 2222 437EFDE ， SAEF= 1 2 AEDF= 1 2 4 7=27 2 cm；
34、16(2019 江西九年级其他模拟)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 OAC=8cm，BD=6cm， 点 P 为 AC 上一动点， 点 P 以 1cm/的速度从点 A 出发沿 AC 向点 C 运动 设运动时间为 ts， 当 t=_s 时， PAB 为等腰三角形 【答案】5 或 8 或 25 8 【分析】 求出 BA 的值， 根据已知画出符合条件的三种情况： 当 PA=AB=5cm 时， 当 P 和 C 重合时， PB=AB=5cm， 作 AB 的垂直平分线交 AC 于 P，此时 PB=PA，连接 PB，求出即可 【详解】四边形 ABCD 是菱形，AC=8cm，BD=6c
35、m， ACBD，AO=OC=4cm，BO=OD=3cm， 由勾股定理得：BC=AB=AD=CD=5cm， 分为三种情况：如图 1，当 PA=AB=5cm 时，t=5 1=5(s)； 如图 2，当 P 和 C 重合时，PB=AB=5cm，t=8 1=8(s)； 如图 3，作 AB 的垂直平分线交 AC 于 P，此时 PB=PA，连接 PB， 在 RtBOP 中，由勾股定理得：BP2=BO2+OP2， AP2=32+(4AP)2， AP= 25 8 ； t= 25 8 1= 25 8 (s)， 故答案为 5 或 8 或 25 8 【点睛】 考查了菱形性质和等腰三角形的判定的应用，主要考查学生能否求
36、出符合条件的所有情况 17 (2020 江西省南丰县教育局教学研究室九年级一模)如图， 已知点0 4A，80B，84C， 连接AC， BC得到四边形AOBC点D在边AC上， 连接OD，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为点P，若点P 到四边形AOBC较长两对边的距离之比为1:3则点P的坐标为_ 【答案】( 7，3)或(15，1)或(2 3，2) 【分析】 由已知得出A=90 ，BC=OA=4，OB=AC=8，分两种情况：(1)当点 P 在矩形 AOBC 的内部时，又分两种情 况 PE： PF=1:3 和 PE： PF=1:3 时， 在 RtOPF 中， 利用勾股定理得出 OF， 即可得解； (2
37、)当点 P 在矩形 AOBC 的外部时，此时点 P 在第四象限，同样利用线段比和勾股定理即可得出点 P 坐标. 【详解】 点0 4A，80B，84C， BC=OA=4，OB=AC=8， 分两种情况： (1)当点 P 在矩形 AOBC 的内部时，过点 P 作 OB 的垂线交 OB 于 F，交 AC 于 E，如图所示： 当 PE：PF=1:3 时， PE+PF=OA=4 PE=1，PF=3 由折叠得，OP=OA=4 在 RtOPF 中， 2222 437OFOPPF 7,3P 当 PE：PF=3:1 时， 同理，得15,1P (2)当点 P 在矩形 AOBC 的外部时，此时点 P 在第四象限，过点
38、 P 作 OB 的垂线交 OB 于 F，交 AC 于 E，如 图所示： PE：PF=3:1，则 PF：EF=1:2 11 2 22 PFEFBC 由折叠，得 OP=OA=4 在 RtOPF 中， 2222 422 3OFOPPF 2 3, 2P 综上，点 P 的坐标为( 7，3)或(15，1)或(2 3，2). 故答案为：( 7，3)或(15，1)或(2 3，2). 【点睛】 本题考查了折叠的性质、矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理等知识以及分类讨论的数学思想，解题 关键是熟练掌握折叠的性质和勾股定理. 18(2019 江西中考模拟)如图，在矩形 ABCD 中，AD2AB2，E 是 BC 边
39、上的一个动点，连接 AE，过点 D 作 DFAE 于 F，连接 CF，当CDF 为等腰三角形时，则 BE 的长是_. 【答案】1 或 3或 23 【分析】 过点 C 作 CMDF，垂足为点 M，判断CDF 是等腰三角形，要分类讨论，CFCD；DFDC；FD FC，根据相似三角形的性质进行求解 【详解】 CFCD 时，过点 C 作 CMDF，垂足为点 M， 则 CMAE，DMMF， 延长 CM 交 AD 于点 G， AGGD1， AGEC，AECG， 四边形 AECG 是平行四边形， CEAG1， 当 BE1 时，CDF 是等腰三角形 DFDC 时，则 DCDF1， DFAE，AD2， DAE3
40、0 ， AEB30 则 BE3 当 BE 3时，CDF 是等腰三角形； FDFC 时，则点 F 在 CD 的垂直平分线上，故 F 为 AE 中点 AB1，BEx， AE 2 1x ， AF 2 1 2 x ， ADFEAB， ADAF AEEB ， 2 2 1 2 2 1 x x x ， x24x+10， 解得：x23或 2+3(舍弃)， 当 BE23时，CDF 是等腰三角形 综上，当 BE1、3、23时，CDF 是等腰三角形 故答案为 1 或3或 23 【点睛】 本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学 会用分类讨论的思想思考问题，属于中考
41、常考题型 19 (2019 江西九年级一模)在正方形 ABCD 中，4AB .点 E 是 BC 的中点， 连接 AE， 点 M 是 AE 上一点， 连接 MD，MC，若DMC是等腰三角形，则 AM 的长为_. 【答案】5或 4 5 5 或 8 5 5 【分析】 根据DMC是等腰三角形，分三种情况：(1)MDMC；(2)CMCD；(3)MDCD；如图(见解析)， (1)根据正方形和等腰三角形的性质得出点 M 是 AE 的中点， 再根据勾股定理求出 AE 的长， 从而可知 AM 的 长；(2)利用相似三角形的判定定理与性质得出2MGGE，再在Rt MCG中，利用勾股定理可求出 ME 的长，从而可得
42、 AM 的长；(3)先根据正方形和等腰三角形的性质可得2AMAH，再根据相似三角形的判 定定理与性质可得 AHAD BEAE ，从而可得 AH 的长，由此可得 AM 的长. 【详解】 (1)如图，当MDMC 时 过点 M 作MNCD于点 N，则 MN 垂直平分 CD 在正方形 ABCD 中，90ADC /AD MN 点 M 是 AE 的中点 4ABQ， 1 2 2 BEBC 22 2 5AEABBE 1 5 2 AMAE； (2)如图，当CMCD 时 过点 M 作MGBC于点 G，则/AB MG ABEMGE MGGE ABBE 2 MGAB GEBE 2MGGE 22 5MEMGGEGE 设
43、GEx，则2 ,5MGx MEx 在Rt MCG中， 1 2,4 2 CGGEECxBCxCMCD 222 MGCMCG ，即 22 2 224xx 解得 1 2x (舍去)， 2 6 5 x 6 5 GE. 6 5 5 ME 6 54 5 2 5 55 AMAEME； (3)如图，当MDCD时，则MDAD 过点 D 作DHAM于点 H，则2,90AMAHABEDHA 90BAEHADHDAHAD BAEHDA ADHEAB AHAD BEAE ，即 4 22 5 AH 4 5 5 AH 8 5 2 5 AMAH 综上，AM 的长为5或 4 5 5 或 8 5 5 故答案为：5或 4 5 5
44、或 8 5 5 . 【点睛】 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定定理与性质等知识点，依据 题意，分三种情况讨论是解题关键. 20(2019 江西)在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(5，0)，点 C 的坐标为(0，4)，四边形 ABCO 为矩形， 点 P 为线段 BC 上的一动点，若POA 为等腰三角形，且点 P 在双曲线 y= 上，则 k 值可以是_ 【答案】10 或 12 或 8 【解析】 【分析】 当 PA=PO 时，根据 P 在 OA 的垂直平分线上，得到 P 的坐标；当 OP=OA=5 时，由勾股定理求出 CP 即可； 当 AP=AO=5 时，同理
45、求出 BP、CP，即可得出 P 的坐标，然后把 P 的坐标代入线 y= ，即可求得 k 的值 【详解】 点 A 的坐标为(5，0)，点 C 的坐标为(0，4)， 当 PA=PO 时，P 在 OA 的垂直平分线上，P 的坐标是(2.5，4)； 当 OP=OA=5 时，由勾股定理得：CP=2 2=3，P 的坐标是(3，4)； 当 AP=AO=5 时，同理 BP=3，CP=53=2，P 的坐标是(2，4) 点 P 在双曲线 y= 上， k=2.5 4=10 或 k=3 4=12 或 k=2 4=8， 故答案为 10 或 12 或 8 【点睛】 本题考查了对矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及反
46、比例图象上点点坐标特征等知识点的理解 和掌握，能求出所有符合条件的 P 的坐标是解题的关键 21(2018 江西中考模拟)如图，有一张长为 8cm，宽为 7cm 的矩形纸片 ABCD，现要剪下一个腰长为 6cm 的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上)，则剪 下的等腰三角形的面积为_cm2 【答案】18 或 3 35 或 122 【解析】 分析：因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论： (1)AEF 为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可； (2)先利用勾股定理求出 AE 边上的高 BF，再代入面积公式求解； (3)先求出 AE 边上的高 DF，再代入面积公式求解 详解：分三种情况计算： (1)当 AE=AF=6 时，如图： SAEF= 1 2 AEAF= 1 2 6 6=18(cm2)； (2)当 AE=EF=6 时，如图： 则 BE=7-6=1，BF= 2222 = 61 = 35EFBE ， SAEF= 1 2 AEBF= 1 2 6 35 =335(cm 2)； (3)当 AE=EF=6 时，如图： 则 DE=8-6=2， DF= 2222 = 62 =4 2EFDE ， SAEF= 1 2 AEDF= 1 2 6 4 2=122(cm 2)； 故答案