1、备战备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练年中考复习重难点与压轴题型专项训练 专题 09 新定义型几何图形问题 【专题训练】 一、解答题一、解答题 1(2020 河南信阳市 八年级期末)如图 1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 (1)概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是_ (2)性质探究：如图 2，已知四边形 ABCD 是垂美四边形，试探究其两组对边 AB，CD 与 BC，AD 之间的数量关系，并写出证 明过程 (3)问题解决： 如图 3， 分别以 Rt ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG
2、和正方形 ABDE， 连接 CE， BG， GE， CE 交 AB 于点 M，已知 AC=4，AB=5，求 GE 的长 【答案】 (1)菱形，正方形 (2)AD2+BC2=AB2+CD2 证明：连接 AC，BD，设其交点为 E 四边形 ABCD 是垂美四边形， ACBD， 即AED=AEB=BEC=CED=90， 由勾股定理，得 AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， AD2+BC2=AB2+CD2 (3)连接 CG，BE CAG=BAE=90， CAG+BAC=BAE+BAC， 即GAB=CAE 在 GAB 和 CAE 中，AG=AC
3、，GAB=CAE，AB=AE，GABCAE ABG=AEC 又AEC+AME=90， ABG+AME=90 又BMC=AME， ABG+BMC=90 CEBG， 四边形 CGEB 是垂美四边形 由(2)，得 CG2+BE2=CB2+GE2 AC=4，AB=5， 由勾股定理，得 CB2=9，CG2=32，BE2=50， GE2=CG2+BE2-CB2=73. GE= 73 【点睛】 本题主要考查了四边形综合应用，准确利用性质是解题的关键 2(2020 洪泽外国语中学八年级月考)如果三角形的两个内角 与 满足 90，那么我们称这样的三角形为“准互余三角 形” (1)若 ABC 是“准互余三角形”，
4、A90，B20，求C 的度数； (2)如图，在 Rt ABC 中，BAC90，AB4，BC5，点 D 是 BC 延长线上一点若 ABD 是“准互余三角形”，求 CD 的长； (3)如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 是对角线，AC4，CD5，BAC90，ACD2ABC，且 BCD 是“准互余 三角形”，求 BD 的长 【答案】 解：(1)ABC 是“准互余三角形”，A90，B=20， 若A-B=90，则A=110， C=180-110-20=50， 若A-C=90， A+B+C=180， C=35； 故 C50或 35； (2)BAC90，AB4，BC5，AC 22 BCAB 25 16
5、 3， ABD 是“准互余三角形”，BADB90，或BADADB90， 当BADADB90，BAC+CADADB90，CADADB， ACCD3; 当BADB90，BAC+CADB90，BCAD， ADCBDA，ADCBDA， CDADAC ADBDAB ， 3 54 CDAD ADCD ，CD 45 7 ； (3)如图，将 ABC 沿 BC 翻折得到 EBC， CEAC4，BCABCE，CBACBE，EBAC90， ABE+ACE180，ACD2ABCABE， ACD+ACE180，点 D，点 C，点 E 三点共线， BCDACD+ACB2ABC+ACB90+ABC， BCDCBD90，BC
6、D 是“准互余三角形”，BCDCDB90， 90+ABCCDB90，CDBABCEBC， 又EE，CEBBED， CEBE BEED ，即 4 9 BE BE ，BE6， BD 22 BEDE 36 81 3 13 【点睛】 本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，理解“准互余三角形”的定义并能运 用是本题的关键 3(2020 湖南怀化市 中考真题)定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形 (1)下面四边形是垂等四边形的是_(填序号) 平行四边形；矩形；菱形；正方形 (2)图形判定：如图 1，在四边形ABCD中，ADBC，ACBD，过点 D 作 B
7、D 垂线交 BC 的延长线于点 E，且 45DBC，证明：四边形ABCD是垂等四边形 (3)由菱形面积公式易知性质： 垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半 应用： 在图2中， 面积为24的垂等四边形ABCD 内接于O 中，60BCD求O 的半径 【答案】 (1)平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是；矩形对角线相等但不垂直；菱形的对角线互相垂直但不 相等；正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形； (2)ACBD，EDBD， ACDE， 又ADBC， 四边形 ADEC 是平行四边形， AC=DE， 又 45DBC， BDE 是等腰直角三角形， BD=DE， BD=AC，
8、 四边形ABCD是垂等四边形 (3)如图，过点 O 作OEBD， 四边形ABCD是垂等四边形， AC=BD， 又垂等四边形的面积是 24，,根据垂等四边形的面积计算方法得： 4 3ACBD ， 又 60BCD， 60DOE， 设半径为 r，根据垂径定理可得： 在 ODE 中，OD=r，DE=2 3， 2 3 4 sin 60 3 2 DE r ， O的半径为 4 【点睛】 本题主要考查了四边形性质与圆的垂径定理应用，准确理解新定义的垂等四边形的性质是解题的关键 4(2020 内蒙古通辽市 九年级学业考试)如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. (1)概念理解：如图 2，在四边形ABC
9、D中，,ABAD CBCD，问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由； (2)性质探究：如图 1，四边形ABCD的对角线,AC BD交于点O，ACBD. 试证明： 2222 ABCDADBC ； (3)解决问题：如图 3，分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结 ,CE BG GE.已知30 ,1CABCB，求GE的长. 【答案】 解：(1)是 理由：ADAB， A在BD的垂直平分线上. CDCB， C在BD的垂直平分线上. AC垂直平分BD. 四边形ABCD为垂美四边形. (2)如图 2，连接 AC 和 BD， ACBD， 222 AHAOBO
10、， 222 DCCOCO ， 222 ADAODO ， 222 BCBOCO . 222222 ABDCAOBOCODO . 222222 BCADBOCOAODO . 2222 ABDCBCAD ； (3)连接 CG、BE， CAG=BAE=90， CAG+BAC=BAE+BAC，即GAB=CAE， 在 GAB 和 CAE 中， AGAC GABCAE ABAE ， GABCAE(SAS)， ABG=AEC，又AEC+AME=90， ABG+AME=90，即 CEBG， 四边形 CGEB 是垂美四边形， 由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2， 30 ,1CABCB， AC= 3，AB=
11、2，CG=6，BE=2 2， GE2=CG2+BE2-CB2=13， GE= 13. 【点睛】 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活 运用勾股定理是解题的关键 5(2019 河南九年级其他模拟)若 ABC 绕点 A 逆时针旋转 后，与 ADE 构成位似图形，则我们称 ABC 与 ADE 互为“旋 转位似图形” (1)知识理解： 如图 1， ABC 与 ADE 互为“旋转位似图形” 若 25，D100，C28，则BAE ； 若 AD6，DE7，AB4，则 BC (2)知识运用： 如图 2，在四边形 ABCD 中，ADC90，
12、AEBD 于点 E，DACDBC，求证： ACD 与 ABE 互为“旋转位似图形” (3)拓展提高： 如图 3， ABG 为等边三角形，点 C 为 AG 的中点，点 F 是 AB 边上的一点，点 D 为 CF 延长线上的一点，点 E 在线段 CF 上，且 ABD 与 ACE 互为“旋转位似图形”若 AB6，AD4，求 DE CE 的值 【答案】 (1)ABC 和 ADE 互为“旋转位似图形”， ABCADE， DB100， 又25，E28， BAE180100252827； ABCADE， BCAB DEAD ， AD6，DE7，AB4， 4 76 BC ， BC14 3 ， 故答案为：27；
13、14 3 ； (2)DOACOB，DACDBC， DOACOB， AODO BOCO ，即 AOBO DOCO ， 又DOCAOB， AOBDOC， DCAEBA， 又ADC90，AEBD， ADCAEB90， ABEACD， DACEAB， AEB 绕点 A 逆时针旋转DAE 的度数后与 ADC 构成位似图形， ACD 和 ABE 互为“旋转位似图形”； (3)AC 1 2 AG 1 2 AB3， 由题意得： 1 2 ECACAE BDABAD ， AD4， AE2， DAEFAC60， cosDAEcos60 1 2 ， DEA90， 由勾股定理可得 CE 2222 325ACAE ， D
14、EAEtanDAE2 3， 2 32 15 55 DE CE 【点睛】 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理的综合运用在解 答时添加辅助线等腰直角三角形，利用相似形的对应边成比例是关键 6(2020 常州市第二十四中学九年级期中)若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三 角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线”，如图，AD 是 ABC 的角平分线，当 ADAB 时，则 ABC 是“弱等腰三 角形”，线段 AD 是 ABC 的“弱线” (1)如图，在 ABC 中B60，C45求证： ABC 是“弱等腰三角
15、形”； (2)如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4以 B 为圆心在矩形内部作AE，交 BC 于点 E，点 F 是AE上一点，连结 CF且 CF 与AE有另一个交点 G连结 BG当 BG 是 BCF 的“弱线”时，求 CG 的长 (3)已知 ABC 是“弱等腰三角形”，AD 是“弱线”，且 AB3BD，求 AC：BC 的值 【答案】 (1)证明：如图作 ABC 的角平分线 BD，交 AC 于 D， DBC 1 2 ABC30， ABC60，C45， A180ABCC180604575， ADBDBC+C30+4575， ADBA， BABD， ABC 是“弱等腰三角形”； (2)如图，连接
16、 EG， BG 是 BCF 的“弱线”， BG 平分FBC， FBGGBE， BFBE，BGBG， BGFBGE(SAS)， BGFBGE， BGBE， BGEBEG 1 2 (180GBE)， FGE180GBE， CGE180FGE， CGECBG， GCEBCG， GCEBCG， CG CE BC CG ， CE431， CG2CEBC144， CG2； (3)如图，当 ABAD 时，在 AC 上取一点 E，使得 AEAB，连接 DE， AD 是“弱线”， AD 是 ABC 的角平分线， BADCAD， ADAD， ABDAED(SAS)， DEBD，BAED， ADAB， BADB，
17、AEDADB， CED180AED，ADC180ADB， CEDADC， CC， ADCDEC， CEDCDEBD DCACADAB 1 3 ， CE 1 3 CD，CD 1 3 AC， CE 1 9 AC， CE 1 8 AE 3 8 BD，CD3CE 9 8 BD， AC9CE 27 8 BD， BCBD+ 9 8 BD17 8 BD， AC：BC27：17； 当 ACAD 时，如图，在 AB 上取一点 E，使 AEAC，连接 DE， 同理可得， DE AD BD AB 1 3 ，即 CD AC 1 3 ，由上面计算可得，BC17 8 CD， AC3CD， AC：BC24：17 【点睛】
18、考查了圆的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义，解题关键 是正确的理解题意，并灵活运用其性质和判定 7(2020 江西抚州市 金溪一中九年级一模)定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是 3：5，那么称这个三角形 为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底” (概念感知) (1)如图 1，在ABC中，12AC ，10BC ，30ACB，试判断ABC是否是“准黄金”三角形，请说明理 由 (问题探究) (2)如图 2，ABC是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC沿 BC 翻折得到DBC，连 AB 接 AD 交 BC 的延长
19、线 于点 E，若点 C 恰好是ABD的重心，求 AB BC 的值 (拓展提升) (3)如图3，1 2 ll/， 且直线 1 l与 2 l之间的距离为3， “准黄金”ABC的“金底”BC在直线 2 l上， 点A在直线 1 l上 10 5 AB BC ， 若ABC是钝角，将ABC绕点C按顺时针方向旋转090得到ABC V，线段AC交 1 l于点 D 当30时，则CD _； 如图 4，当点 B 落在直线 1 l上时，求 AD CD 的值 【答案】 解：(1)ABC是“准黄金”三角形 理由：如图，过点 A 作ADBC于点 D， 12AC ，30ACB， 1 6 2 ADAC :6:103:5AD BC
20、 ABC是“准黄金”三角形 (2)点 A，D 关于 BC 对称， BEAD，AE ED ABC是“准黄金”三角形，BC 是“金底”， :3:5AE BC 不防设3AEk，5BCk， 点C为ABD的重心， :2:1BC CE 5 2 k CE ， 15 2 k BE 2 2 153 29 (3 ) 22 k ABkk 3 293 29 :5 210 AB kk BC (3)作 AEBC 于 E，DFAC 于 F，如图： 由题意得 AE=3， 3 5 AE BC ， BC=5， 10 5 AB BC ， 10AB = ， 在 Rt ABE 中，由勾股定理得： 22 ( 10)31BE ， 1 56
21、EC ， 22 363 5AC ； AEC=DFA=90，ACE=DAF， ACEDAF， 31 26 AE E D C F AF ， 设DFx，则2AFx， ACD=30， 3CFx ， (23)3 5ACx， 解得： 6 53 15DFx 212 56 15CDDF 如图，过点 A 作AEBC于点 E，则3AE ABC是“准黄金”三角形，BC 是“金底”， :3:5AE BC 5BC 10 5 AB BC ， 10AB = 22 1BEABAE 6CEBEBC， 22 36 93 5ACCEAE 分别过点 B ，D 作BGBC，DFAC，垂足分别为点 G，F， 90BGCDFC，3BG，5
22、CBBC ，则CG4 GCBFCD， AECDFA :3:4:5DF FC CDB G GCCB 设3DFk，4FCk，5CDk 12 ll/， ACECAD，且90AECAFD AECDFA DFAF AEEC 33 54 36 kk ，解得 3 5 10 k 3 5 5 2 CDk ， 22 22 9 59 59 5102 AFDFAD 9 33 5 2 53 55 2 AD CD 【点睛】 本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股 定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答 8(2020
23、 江苏南通市 八年级月考)定义：有一组对边相等目这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形” (1)如图，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135AEB 180，求证：四边形BEGD是“等垂四边 形”； (2)如图，四边形ABCD是“等垂四边形”，ADBC，连接BD，点E，F，G分别是 AD，BC，BD 的中点，连 接 EG，FG，EF试判定EFG的形状，并证明； (3)如图，四边形ABCD是“等垂四边形”，4AD，6BC ，试求边 AB 长的最小值 【答案】 (1)如图，延长,BE DG交于点H， 四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形 ABAD，AEAG，90BADEA
24、G BAEDAG ()ABEADG SAS BEDG，ABEADG ABD ADB90 90ABEEBDADBDBEADBADG 即EBDBDG90，BHD90 BEDG 又BE DG ， 四边形BEGD是等垂四边形 (2)EFG是等腰直角三角形 理由如下：如图，延长,BA CD交于点H， 四边形ABCD是等垂四边形，ADBC， ABCD，ABCD HBCHCB90 点 E,F,G 分别是 AD,BC,BD 的中点 1 EGAB 2 ， 1 GFCD 2 ，/EGAB，/GFDC， BFGC，EGDHBD，EGGF EGFEGDFGDABDDBCGFB? ABDDBCCHBCHCB90= ?
25、o ， EFG是等腰直角三角形； (3)如图，延长,BA CD交于点H分别取,AD BC的中点,E F，连接,HE EF HF， 则 11 EF HFHEBCAD321 22 ， 由(2)可知EFG是等腰直角三角形， 1 2 GEGFAB= 22 22 112 222 EFGEGFABABAB 骣骣 鼢珑 =+=+=鼢 珑 鼢珑 桫桫 AB 2EF2 AB最小值为 2 【点睛】 本题是新定义类探究题， 主要考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质和勾股定理，解决本题需利用新定义，逐一讨论， 解题中利用条件，构造直角三角形是解题的关键 9(2020 江西九年级一模)定义：两条长度相等，且它们所在
26、的直线互相垂直的线段，我们称其互为“等垂线段” 知识应用： 在 ABC 和 ADE 中，AC= BC，AE=DE，且 AEAC， ACB=AED=90 ，连接 BD，点 P 是线段 BD 的中点， 连接 PC，PE (1)如图 1，当 AE 在线段 AC 上时，线段 PC 与线段 PE 是否互为“等垂线段”？请说明理由 (2)如图 2，将图 1 中的 ADE 绕点 A 顺时针旋转 90，点 D 落在 AB 边上，请说明线段 PC 与线段 PE 互为“等垂线段” 拓展延伸：(3)将图 1 中的 ADE 绕点 A 顺时针旋转 150 ，若 BC=3，DE=1，求 PC 的值 【答案】 解：(1)线
27、段 PC 与线段 PE 互为“等垂线段” 理由：如图 1，延长 EP 交 BC 于点 F ACB= AED=90， DE/BC， EDP=FBP 点 P 是线段 BD 的中点， PB= PD 在FBP和 EDP 中， PBFPDE PBPD BPFDPE ()FBPEDP ASA PF= PE= 1 2 EF，BF= DE AC= BC，AE= DE， ACAE=BCBF，即 EC= FC 又ACB=90 ， EFC 是等腰直角三角形 EP=FP， PC=PE，PCPE， 线段 PC 与线段 PE 互为“等垂线段”； (2)如图 2，作 BF/DE，交 EP 的延长线于点 F，连接 CE，CF
28、， DE/BF， EDP=FBP 点 P 是线段 BD 的中点， PB= PD 在FBP和 EDP 中， PBFPDE PBPD BPFDPE ()FBPEDP ASA BF= DE， PE=PF= 1 2 EF DE=AE， BF=AE CAE=90，AED=90， ED/AC /ED FB， FB/AC， 90CBFACB， CBF=CAE 在FBC和EAC中， BFAE CBFCAE BCAC ()FBCEAC SAS CF=CE，FCB=ECA ACB=90， FCE=90， FCE 是等腰直角三角形 PE=PF， PCPE，PC=PE， 线段 PC 与线段 PE 互为“等垂线段”；
29、(3)如图 3 作 BF/ DE，交 EP 的延长线于点 F ，连接 CE，CF ，过点 E 作 EHAC 交 CA 的延长线于点 H 当旋转角为 150时，由旋转可知，CAE= 150，DE 与 BC 所夹的锐角为 30， FBC=EAC=150 DE/BF， EDP=FBP 点 P 是线段 BD 的中点， PB= PD 在FBP和 EDP 中， PBFPDE PBPD BPFDPE ()FBPEDP ASA BF= DE， PE=PF= 1 2 EF DE=AE ， BF=AE 在FBC和EAC中， BFAE CBFCAE BCAC ()FBCEAC SAS CF=CE，FCB=ECA A
30、CB=90 ， FCE=90， FCE 是等腰直角三角形 PE=PF， PCPE，PC=PE= 2 2 EC 在 RtAHE 中 ，EAH=30 ，AE= DE=1， HE= 1 2 ，AH= 3 2 又AC= BC=3， CH= AC+AH= 3+ 3 2 在 RtCEH 中， 由勾股定理得 2222 31 (3)( )103 3 22 ECCHEH ， 22206 3 103 3 222 PCEC 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定及性质，解直角三角形，掌握全等三角形的判定及性质，勾股定理，特殊角的三角函数值是 基础，能够作出辅助线构造全等三角形是关键 10(2020 沈阳市第一二六中
31、学九年级月考)如图 1，平面内有一点 P 到 ABC 的三个顶点的距离分别为 PA、PB、PC，若有 PA2PB2+PC2则称点 P 为 ABC 关于点 A 的勾股点 (1)如图 2，在 45 的网格中，每个小正方形的长均为 1，点 A、B、C、D、E、F、G 均在小正方形的顶点上，则点 D 是 ABC 关于点 的勾股点；在点 E、F、G 三点中只有点 是 ABC 关于点 A 的勾股点 (2)如图 3，E 是矩形 ABCD 内一点，且点 C 是 ABE 关于点 A 的勾股点， 求证：CECD； 若 DADE，AEC120，求ADE 的度数 (3)矩形 ABCD 中，AB5，BC6，E 是矩形
32、ABCD 内一点，且点 C 是 ABE 关于点 A 的勾股点，若 ADE 是等腰三角形， 直接写出 AE 的长 【答案】 (1)DA212+225，DB212+3210，DC2DA25 DB2DC2+DA2 点 D 是 ABC 关于点 B 的勾股点 EA242+4232，EB222+5229，EC24 点 E 不是 ABC 的勾股点 FA232+4225，FB222+4220，FC212+225 FA2FB2+FC2 点 F 是 ABC 关于点 A 的勾股点 GA242+2220，GB222+3213，GC222+228 点 G 不是 ABC 的勾股点 故答案：B；F (2)证明：如图 3 中
33、，点 C 是 ABE 关于点 A 的勾股点 CA2CB2+CE2 四边形 ABCD 是矩形 ABCD，ADBC，ADC90 CA2AD2+CD2CB2+CD2 CB2+CE2CB2+CD2 CECD 如图 3 中，设CED，则CDECED ADEADCCDE90 AEC120 AEDAECCED120 DADE DAEDEA120 DAE+DEA+ADE180 2(120)+(90)180 解得：50 ADE905040 (3)矩形 ABCD 中，AB5，BC6 ADBC6，CDAB5 点 C 是 ABE 关于点 A 的勾股点 CECD5 i)如图 1，若 DEDA，则 DE6 过点 E 作
34、MNAB 于点 M，交 DC 于点 N AMEMND90 四边形 AMND 是矩形 MNAD6，AMDN 设 AMDNx，则 CNCDDN5x Rt DEN 中，EN2+DN2DE2；Rt CEN 中，EN2+CN2CE2 DE2DN2CE2CN2 62x252(5x)2 解得：x 18 5 ， EN 2222 1824 6() 55 DEDN ，AMDN 18 5 ， MEMNEN6 24 5 6 5 ， Rt AME 中，AE 2222 1866 10 ()( ) 555 AMME ii)如图 2，若 AEDE，则 E 在 AD 的垂直平分线上 过点 E 作 PQAD 于点 P，交 BC
35、于点 Q APDP 1 2 AD3，APQPQC90 四边形 CDPQ 是矩形 PQCD5，CQPD3 Rt CQE 中，EQ 2222 534CECQ PEPQEQ1 Rt APE 中，AE 2222 3110APPE iii)如图 3，若 AEAD6，则 AE2+CE2AD2+CD2AC2 AEC90 取 AC 中点 O，则点 A、B、C、D 在以 O 为圆心、OA 为半径的O 上 点 E 也在O 上 点 E 不在矩形 ABCD 内部，不符合题意 综上所述，若 ADE 是等腰三角形，AE 的长为 6 10 5 或 10 【点睛】 本题考查了对新概念的理解，首先根据题干理解勾股点的定义，本题
36、还用到了矩形的性质、三角形内角和定理等知识点，是 综合性很强的一道题. 11(2020 浙江宁波市 九年级零模)当一个角固定不变，而某种图形在该角的内部变化，则我们称这个角为墙角 (1)如图 1，墙角O=30，如果 AB=3，长度不变，在角内滑动，当 OA=6 时，则求出此时 OB 的长度 (2)如图 2，墙角O=30，如果在 AB 的右边作等边ABC，AB=3，长度不变，滑动过程中，请求出点 O 与点 C 的最大距 离 (3)如图 3，墙角sinO= 3 5 时，如果点 E 是O一条边上的一个点，DEF=90，其两条边与O另一条边交于点 F 与 点 D，求 OF OD 的最大值 【答案】 (
37、1)如图 1，过 A 点作 AEOB， O=30，OA=6 AE= 1 3 2 OA 又 AB=3，AEOB B 点与 E 点重合 22 3 3OBOAAB (2)如图 2，在 C 点的另一侧作等边三角形 ABO ，连接 O O ，连接 OC 交 AB 于点，则A OB=60，以 O为圆心，以 3 为半径作圆，则 A、B 点在圆上，又因为AOB=30= 1 2 A OB，故 O 点在圆上，当 O、O 、C 三点共线时，点 O 与点 C 的距离最大 ABC、 AB O为等边三角形 四边形 AOBC 为菱形 OC 与 AB 互相垂直平分，AD= 13 22 AB ，CAD=60 CD= 3 3 t
38、an 2 ADCAD OC=2CD=3 3 当 O、O 、C 三点共线时，点 O 与点 C 的最大距离为当 OO+OC 3 3 3 (3)如图：过点 F 做 FGOE 与点 G，过点 D 做 DHOE 与点 H， DHE=FGE=90 sinO= 3 5 ，设 FG=3a，DH=3b，则 OG=4a，OH=4b，GH=4b-4a (ba) DEF=90 DEH+FEG=90，FEG+EFG=90 DEH=EFG= FGEEHD FGGE EHDH FG DHGE EH 即9(44)abGEbaGE 2 4()90GEb a GEab 0 2 16)360b aab（ 化简后得到：4(4)0ba
39、ba（） ba， 40ba， 40ba 4ba FG/DH， OF OD = OG OH = 4 4 a b 4 a a = 1 4 【点睛】 本题考查的是新定义问题，综合利用三角函数、相似三角形的性质与判断、圆的性质等解答，难度较大，正确的添加辅助线， 根据圆或相似三角形是解答的关键 12(2019 江西南昌市 八年级期中)如图 1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做对垂四边形 观察发现：如图 1，对垂四边形 ABCD 四边存在数量为： AD2+BC2AB2+CD2 应用发现：如图 2，若 AE，BD 是 ABC 的中线，AEBD，垂足为 O，AC=4，BC=6，求 AB= 应用知识：如图 3
40、，分别以 Rt ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接 CE，BG，GE， 已知 AC 2，AB3， 求 GE 长 拓展应用：如图 4，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F、G 分别是 AD，BC，CD 的中点，BEEG，AD=4，AB=3，求 AF 的长 【答案】 应用发现： 连接 DE，如图所示： AE，BD 是 ABC 的中线，AC=4，BC=6， AD=2，BE=3，DE= 1 2 AB， AEBD，垂足为 O， 四边形 ABED 是对垂四边形， AB2+DE2=AD2+BE2， AB2+ 2 1 () 2 AB=22+32， AB
41、= 2 65 5 ； 应用知识： 连接 CG、BE，如图所示： CAG=BAE=90， CAG+BAC=BAE+BAC，即GAB=CAE， 在 GAB 和 CAE 中， AGAC GABCAE ABAE ， GABCAE， ABG=AEC，又AEC+AME=90， ABG+AME=90，即 CEBG， 四边形 CGEB 是对垂四边形， CG2+BE2=CB2+GE2， AC 2，AB3， BC=1，CG= 22 ( 2)( 2)2 ，BE= 22 ( 3)( 3)6 ， 22+ 2 ( 6)=12+GE2， GE=3； 拓展应用： (3)如图，连接 AC，EF 交于 H，AC 与 BE 交于点
42、 Q，设 BE 与 AF 的交点为 P，连接 PH， 点 E、G 分别是 AD，CD 的中点， EGAC， BEEG， BEAC， 四边形 APHE 是对垂四边形， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AD=BC=4， EAH=FCH， E，F 分别是 AD，BC 的中点， AE= 1 2 AD，BF= 1 2 BC， AE=BF 1 2 AD=2， 又AEBF， 四边形 ABFE 是平行四边形， EF=AB=3，AP=PF， EP 分别是 AFE 的中线， 在 AEH 和 CFH 中， EAHFCH AHEFHC AECF ， AEHCFH(AAS)， EH=FH， AH 分别是 A
43、FE 的中线， PH= 1 1 2 AE ，EH= 113 222 EFAB， 四边形 APHE 是对垂四边形， PH2+AE2=EH2+AP2， 12+22= 2 3 2 +AP2， AP= 11 2 ， 又EP 分别是 AFE 的中线， AF=2AP= 11 【点睛】 考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，解题关键是正确理解对垂四边形的定义和 灵活运用勾股定理 13(2019 浙江杭州市 九年级期中)定义：若一个三角形一条边上的高等于这条边长的一半，则称该三角形为“半高”三角形， 这条高称为“半高” (1)如图 1，ABC中，90ACB，2BCAC，点P在
44、AB上，PDAC于点D，PEBC 于点E，连 接BD，DE求证： BDE是“半高”三角形； (2)如图 2，ABC是“半高”三角形，且BC边上的高是“半高”，点P在AB上，/PQ BC交AC于点Q，PMBC 于点M，QNBC于点N 请探究BM，PM，CN之间的等量关系，并说明理由； 若ABC的面积等于 16，求MQ的最小值 【答案】 解：(1)证明：由题意可证得PBEABC， 1 2 PEAC BEBC ， 2BEPE ， 由题意可证得四边形CEPD为矩形，DCPE， 2BEDC， BDE是“半高”三角形 (2)2BMCNPM理由如下： 如图，过A作AEBC于E，交PQ于D， ABC是“半高”
45、三角形，且BC边上的高是“半高”， 2BCAE /PQ BC， APQABC， 2PQAD， 2BCPQAEAD， 由题意可证得四边形MNQP是矩形，有PQMN，PMDEQN， 2BCMNPM， 即2BMCNPM 2 11 16 24 ABC SBCAEBC ，故8BC ， 设PMx，由得82PQx， 2 222 1664 82532645() 55 MQxxxxx ， 当 16 5 x 时，MQ取得最小值 8 5 5 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查的是新定义：“半高”三角形，涉及到相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理及新定 义的理解和运用等知识，解决问题的关键是作辅助线解决问题
46、 14(2020 江苏扬州市 八年级期中)阅读下列材料：如图(1)，在四边形 ABCD 中，若 AB=AD，BC=CD，则把这样的四边形称 之为筝形 (1)写出筝形的两个性质(定义除外) ； (2)如图(2)，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且 AE=AF，AEC=AFC求证：四边形 AECF 是筝形 (3)如图(3)，在筝形 ABCD 中，AB=AD=26，BC=DC=25，AC=17，求筝形 ABCD 的面积 【答案】 (1)在 ABC 和 ADC 中， ABAD BCDC ACAC ， ABCADC BACDAC，ABCADC， 故答案为：BACDAC；ABCADC (2)证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BD AECAFC，AECAEBAFCAFD180， AEBAFD AEAF， AEBAFD(AAS) ABAD，BEDF 平行四边形 ABCD 是菱形 BCDC， ECFC， 四边形 AECF 是筝形 (3)如图 ABAD，BCDC