1、 中点模型巩固练习中点模型巩固练习(提优提优) 1. 如图，在矩形 ABCD 中，E 为 CB 延长线一点且 ACCE，F 为 AE 的中点，求证：BFFD. 【解答】见解析 【解析】如图，连接 CF. ACCE，F 为 AE 的中点，CFAE，AFDDFC90 ， 四边形 ABCD 是矩形，BCAD，ABCE，ABCBAD90 ， 在 RtABE 中，F 为 AE 的中点，BFAF，FBAFAB， FABBADFBAABC，即FBCFAD， 又ADBC，FAFB，FBCFAD，AFDBFC， BFDBFCDFCAFDDFC90 ，BFFD. 2. 如图，在梯形 ABCD 中，BC90 ，EF
2、 是两底中点的连线，求证：BCAD2EF. 【解答】见解析 【解析】如图，过点 E 作 EMAB 交 BC 于点 M，ENDC 交 NC 于点 N. 四边形 ABCD 是梯形，ADBC，四边形 ABME 和四边形 DCNE 为平行四边形，BMAE，CN DE， E、F 分别为 AD、BC 的中点，AEED，BFCF，FMFN， EMAB，ENDC，EMNB，ENMC， 又BC90 ，EMNENM90 ，即MEN90 ，EFMN， EFBC(BMNC)(BCAD)，即 BCAD2EF. 3. 如图，在ABC 中，BAC90 ，ABAC，ADCD，AFBD 于点 E 交 BC 于点 F，求证：BF
3、 2FC. 【解答】见解析 【解析】如图，过点 C 作 CNBD 交 BD 的延长线于点 N. AEBD，AEDN， ADCD，ADECDN，ADECDN(AAS)，DEDN， AFBD，CNBD，AFCN， BAC90 ，AEBD，ABEDBA，即， 同理可证， ABAC2AD，又DNDE， ，BF2FC. 4. 如图，在四边形 ABCD 中，E 为 AB 上的一点，ADE 和BCE 都是等边三角形，AB、BC、CD、DA 的中点分别为 P、Q、M、N，试判断四边形 PQMN 的形状. 【解答】四边形 PQMN 为菱形 【解析】如图，连接 AC、BD. ADE 和BCE 都是等边三角形，AE
4、C120 ，BED120 ，AECBED， 又EAED，ECEB，AECDEB，ACBD， 又P、Q、M、N 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，PNBD，QMBD， PNQM，四边形 PQMN 是平行四边形， 又PNBD，MNAC，MNPN，四边形 PQMN 是菱形. 5. 如图，P 是圆 O 外的一点，过 P 点引两条割线 PAB、PCD，点 M、N 分别是、的中点，连接 MN 分别交 AB、CD 于点 E、F. (1)求证：PEF 是等腰三角形； (2)若点 P 在圆上或圆内，其他条件不变，结论还能成立吗？ 【解答】(1)见解析；(2)结论依然成立，理由见解析 【解析】(1)如图，证
5、明：连接 OM、ON，分别交 AB、CD 于点 G、H. 点 M、N 分别是、的中点，OMAB，ONCD，即MGENHF90 ， 又OMON，MN，MEGNFH， MEGPEF，NFHPFE，PEFPFE，PEPF，即PEF 是等腰三角形； (2)如图 1，当点 P 在圆上时，连接 OM、ON，分别交 AB、CD 于点 G、H. OMON，OMNONM， 又点 M、N 分别是、的中点，MGENHF90 ，MEGNFH， MEGPEF，NFHPFE，PEFPFE，PEPF，即PEF 是等腰三角形； 如图 2，当点 P 在圆内时，连接 OM、ON，分别交 AB、CD 于点 G、H. OMON，OMNONM， 又点 M、N 分别是、的中点，MGENHF90 ，MEGNFH， MEGPEF，NFHPFE，PEFPFE，PEPF，即PEF 是等腰三角形； 6. 半径为 1 的半圆形纸片，按如图方式沿 AB 折叠，使折叠后半圆弧的中点 M 与圆心 O 重合，求图中阴 影部分面积？ 【解答】 【解析】如图，连接 OM 交 AB 于点 C，连接 OA、OB. 由题意可得 OMAB，且 OCMC， 在 RtAOC 中，OA1，OC， AOC60 ，AB2AC，AOB2AOC120 ， 则， .