1、对角互补模型巩固练习对角互补模型巩固练习(基础基础) 1. 如图，在 RtABC 中，ABC90 ，AB3，BC4，在 RtMPN 中，点 P 在 AC 上，PM 交 AB 于 点 E，PN 交 BC 于点 F，当 PEPF 时，AP . 【解答】3 【解析】如图，作 PQAB 于点 Q，PRBC 于 R. PQBQBRBRP90 ，四边形 PQBR 是矩形， QPR 90 MPN， QPE RPE ， QPE RPF ， ， ， 设，则，解得， . 2. 如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 E 在对角线 AC 上，连接 BE，作 EFBE，垂足为 E， 直线 EF 交线段 DC
2、于点 F，则 . 【解答】 【解析】如图，过点 E 分别作于点 G，于点 H. 四边形 ABCD 是矩形，四边形 CHEG 也是矩形，GEH90 ， BEGGEFGEFFEH90 ，BEGFEH， 又BGEFHE90 ，BEGFEH， . 3. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 顶点 A(0，2)，B 点在轴上，对角线 AC、BD 交于点 M， ，则点 C 的坐标为 . 【解答】C(6，4) 【解析】如图，过点 C 作轴于点 E，过点 M 作轴于点 F，连接 EM. MFOCEOAOB90 ，AOMFCE， 四边形 ABCD 是正方形，ABBC，ABC90 ，AMCM， OABEBC
3、，OFEF，MF 是梯形 AOEC 的中位线， ， OBCE，AOBE， 又OFFE，MOE 是直角三角形，MOME，MOE 是等腰直角三角形， . 4. 如图，在正方形外作直线 FE 并经过正方形的顶点 C，分别过点 B、D 作直线 FE 的垂线，垂足分别为 点 E、F，求证：CBEDCF. 【解答】见解析 【解析】证明：四边形 ABCD 是正方形，BCCD， BCEDCF90 ，BCECBE90 ，CBEDCF， 在 RtCBE 与 RtDCF 中，. 5. 如图，正方形 ABCD 与正方形 OMNP 的边长均为 10，点 O 是正方形 ABCD 的中心，正方形 OMNP 绕 点 O 旋转
4、，求证：无论正方形 OMNP 旋转到何种位置，这两个重叠部分面积总是一个定值，并求这个定值. 【解答】25 【解析】当 OPAD 或 OP 经过点 C 时，重叠部分面积为正方形面积的，即 25； 当点 P 旋转到如图所示位置时，过点 O 分别作 CD、BC 的垂线，垂足分别为 E、F. 在 RtOEG 与 RtOFH 中， EOGHOF，OEOF5，OEGOFH， . 6. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 分别为 AD、CD 上的点，若 AE4， CF3，且 OEOF，求 EF 的长. 【解答】5 【解析】如图，连接 EF. 四边形 ABCD 是正方形，
5、AODO，OAEODF45 ，ADC90 ， 又OEOF，OFDEDO180 ， AEODEO180 ，OFDAEO，AEODFO(AAS)，AEDE4， 又ADCD，DECF3，在 RtEOF 中，. 7. 如图，在ABC 中，ABAC，点 D 为 BC 的中点，点 E、F 分别在 AB、AC 上，若A60 ，EDF A180 ，求证：. 【解答】见解析 【解析】取 AB 的中点 G，连接 DG，如图所示： ABAC，A60 ，ABC 是等边三角形， 点 D、G 分别是 AB、BC 的中点，DG 是ABC 的中位线，DGDCBD， B60 ，BDG 是等边三角形，BGDC， AEDAFD180 ，且AFDDFC180 ，AEDDFC，GEDCFD， EGFC，BECFBEECBG. 8. 在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，点 M 在 AB 边上，点 N 在 AC 边上，且MDN90 ，若 ，求证：. 【解答】见解析 【解析】证明：过点 B 作 AC 的平行线交 ND 的延长线于点 E，连接 ME. BDDC，EDDN， 在BED 与CND 中，BENC， MDN90 ，MD 为 EN 的中垂线，EMMN， ， BEM 为直角三角形，MBE90 ，ABCACBABCEBC90 ， BAC90 ，.