1、 半角模型巩固练习半角模型巩固练习(基础基础) 1. 在等腰 RtABC 中，CACB，ACB90 ，O 为 AB 的中点，EOF45 ，交 CA 于 F，交 BC 的 延长线于 E. (1)求证：EFCEAF； (2)如图 2，当 E 在 BC 上，F 在 CA 的反向延长线上时，探究线段 AF、CE、EF 之间的数量关系，并证明. 【解答】(1)见解析；(2)AFEFCE. 【解析】(1)连接 CO，过点 O 作 OGOF 交 BE 于点 G，如图所示： 由题意可得AOFCOG，OFOG，EOFEOG，EFEG， EFEGECCGECAF； (2)AFEFCE. 2. 如图，在四边形 AB
2、CD 中，ABAD，BD180 ，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且EAF BAD，求证：EFBEFD. 【解答】见解析 【解析】如图，将ADF 顺时针旋转得到ABG，使得 AD 与 AB 重合. 旋转，ADFABG，FAGBAD，AFAG，DFGB， EAFBAD，EAFEAG， 又AEAE，EAGEAF，GEEF， GEGBBEDFBE，EFBEFD. 3. 如图，ABC 是边长为 3 的等边三角形，BDC 是等腰三角形，BDC120 ，以 D 为顶点作一个 60 的角，使其两边分别交 AB 于 M，交 AC 于 N，连接 MN，则AMN 的周长是多少？ 【解答】6 【解析】BDC
3、是等腰三角形，且BDC120 ，BCDDBC30 ， ABC 是边长为 3 的等边三角形，ABCBACBCA60 ，DBADCA90 ， 如图，延长 AB 至点 F，使 BFCN. 连接 DF，在BDF 与CND 中， BDFCDN，DFDN， MDN60 ，BDMCDN60 ，BDMBDF60 ， 在DMN 与DMF 中， MNMF，AMN 的周长是：AMANMNAMMBBFANABAC6. 4. 如图，在等边ABC 中，ABC 与ACB 的角平分线相交于点 O，点 E、F 分别在线段 AB、BC 上， 连接 EO、FO，满足EOF60 ，连接 EF. (1)求证：OBOC； 求BOC 的度
4、数； (2)求证：CFBEEF. 【解答】(1)见解析；120 ；(2)见解析. 【解析】(1)ABC 是等边三角形，ABCACB60 ， OB、OC 分别平分ABC、ACB，OBCOCB30 ，OBOC； OBCOCB30 ，BOC180 OBCOCB120 . (2)如图，以点 O 为顶点，OF 为一边，作FOG60 交 BC 于点 G. BOC120 ，BOFCOG60 ， EOF60 ，EOBBOF60 ，COGEOB， ABOABC30 ，EBOOCG，BOECOG，OGOE，BECG， 又OEFOGF，EFFG，CFFGCG，CFEFBE. 5. 如图，在平面直角坐标系中，且. (
5、1)求证：ABC 是等边三角形； (2)如图 2，A、B 两点在轴上、轴上的位置不变，在线段 AB 上有两动点 M、N，满足MON45 ，试 猜想线段 BM、AN、MN 之间的数量关系，并证明你的结论. 【解答】(1)见解析；(2) 【解析】(1)， 且， OAOBOC4， AOBBOC90 ，BCACBOOBABAC45 ， BABC 且CBA90 ，即ABC 是等腰直角三角形； (2)猜想：. OAOB4，AOB90 ， 如图，将BOM 绕点 O 顺时针旋转 90 得到AOD， ADBM，DOMO，OADOBM45 ，且DOMAOB90 ，AODBOM， MON45 ，AOB90 ，BOM
6、AON45 ， AODAON45 ，即DONMON45 ，DONMON，DNMN， OADOBMBAO45 ，即NAD90 ， . 6. 在四边形 ABDC 中，ACAB，DCDB，CAB60 ，CDB120 ，E 是 AC 上一点，F 是 AB 延 长线上一点，且 CEBF. (1)试说明：DEDF； (2)在图 1 中，若 G 在 AB 上且EDG60 ，试猜想 CE、EG、BG 之间的数量关系并证明； (3)若题中条件“CAB60 ，CDB120 ”改为“CAB，CDB，G 在 AB 上，那 么EDG 满足什么条件时，(2)中的结论仍然成立？”(直接写结果，不需证明). 【解答】(1)见
7、解析；(2)CEBGEG；(3)当EDG时，CEBGEC 仍然成立. 【解析】(1)在四边形 ADBC 中，有CCABABDCDB360 ， CAB60 ，CDB120 ，CABD180 ， 又ABDDBF180 ，CBDF， 在CDE 与BDF 中，CDEBDF(SAS)，DEDF； (2)如图，连接 AD. 在ABD 与ACD 中， BDACDACDB60 ， EDG60 ，CDEADG，ADEBDG， 由(1)可知CDEBDF，CDEBDF，BDGBDF60 ，即FDG60 ， EDGFDG，在DEG 和DFG 中， EGFG，又CEBF，FGBFBG，CEBGEG； (3)要使 CEBGEG 仍然成立， 则EDGBDACDB， 即EDG， 当EDG时，CEBGEC 仍然成立.