1、 对角互补模型巩固练习对角互补模型巩固练习(提优提优) 1. 如图所示，一副三角板按如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一个的直角顶点放在等腰三角形的 斜边中点 D 处，且可以绕点 D 旋转，在旋转过程中，两直角边与 AB、CB 的交点为点 G、H. (1)当三角板 DEF 旋转至图 1 所示时，探究 BG 与 CH 的大小关系，并说明理由； (2)若在旋转过程中， 两直角边的交点 G、 H 始终在边 AB、 BC 上， ABBC4， 在旋转过程中四边形 GBHD 的面积是否不变，若不变，求出它的值，若改变，求出它的取值范围； (3)当三角板旋转至如图 2 所示时，三角板 DEF 与 AB、B
2、C 边所在的直线相交于点 G、H 时，(1)中的结论仍 成立吗？并说明理由. 【解答】(1)BGCH；(2)面积不变，始终是 4；(3)仍成立，理由见解析. 【解析】(1)连接 BD，如图所示： 等腰直角三角形 ABC，点 D 为 AC 的中点，DBDCDA，DBGDCH45 ，BDAC， EDF90 ，ADGHDC90 ， BDCBDA90 ，BDGADG90 ，BDGHDC， BDGCDH(ASA)，BGCH； (2)在等腰直角ABC 中，ABBC4，ABC 的面积为 8，AC45 ，ADBH， BDAC，BDGCDH，BDHADG， 又BDAD，BDHADG(SAS)， 由(1)可得BD
3、GCDH， DADCDB，BDAC， 在旋转过程中四边形 GBHD 的面积不变，始终是 4； (3)连接 BD，如图所示： BDAC，ABBH，EDDF，BDG90 CDG，CDH90 CDG，BDGCDH， ABC 是等腰直角三角形，DBCBCD45 ，DBGDCH135 ， DBGDCH，BGCH，结论仍然成立. 2. 在等边ABC 中，点 D 是线段 BC 的中点，EDF120 ，射线 DE 与线段 AB 相交于点 E，射线 DF 与线段 AC(或 AC 的延长线)相交于点 F. (1)如图 1，若 DFAC，直接写出 DE 与 AB 的位置关系； (2)如图 2，将(1)中的EDF 绕
4、点 D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段 AC 相交于点 F，求证：DEDF； (3)在EDF 绕 D 顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段 BE、CF、AB 之间的数量关系. 【解答】(1)DEAB；(2)见解析；(3) 【解析】(1)DFAC，AFD90 ， A60 ，EDF120 ，AED360 AAFDEDF90 ，DEAB； (2)连接 AD，过点 D 作 DMAB 于点 M，作 DNAC 于点 N，如图所示： 点 D 是 BC 的中点，AD 是BAC 的角平分线，DMDN， AMDBMDANDCND90 ，A60 ，MDN360 60 90 90 120 ， EDF120 ，M
5、DENDF，EMDFND，DEDF； (3)过点 D 作 DMAB 于点 M，作 DNAC 于点 N，如图所示： 在BOM 与CDN 中，BMCN，DMDN， EDF120 MDN，EDMNDF， 在DME 与NDF 中，EDMFDN，MENF， BECFBMEM(FNCN)2BMBD. 3. 抛物线与轴交于点 A，顶点为 B，对称轴 BC 与轴交于点 C. (1)如图 1，求点 A 的坐标及线段 OC 的长； (2)点 P 在抛物线上， 直线 PQBC 交轴于点 Q， 连接 BQ.若含 45 角的直角三角板如图 2 所示放置， 其中， 一个顶点与点 C 重合，直角顶点 D 在 BQ 上，另一
6、个顶点 E 在 PQ 上，求直线 BQ 的函数解析式； 【解答】(1)，OC1；(2) 【解析】(1)将代入到中，解得， BC 为对称轴，点 B 的坐标为(1，3)，OC1； (2)如图，分别过点 D 作 DM轴于点 M，作 DNPQ 于点 N. PQBC，DMQDNQMQN90 ，四边形 DMQN 是矩形， CDE 是等腰直角三角形，DCDE， CDMMDEEDNMDE90 ，CDMEDN，CDMEDN， DMDN，矩形 DMQN 是正方形，BQC45 ，BQC 是等腰直角三角形， CQCB3，Q(4，0)，设 BQ 的解析式为，将点 B、Q 坐标代入解得 K1，b4， 直线 BQ 的解析式
7、为. 4. 如图，在正方形 ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点 B，直角顶点 P 在射线 AC 上移动，另一边交 DC 于 Q. (1)如图 1，当点 Q 在 DC 边上，猜想并写出 PB 与 PQ 所满足的数量关系，并加以说明； (2)如图 2，当点 Q 落在 DC 延长线上时，猜想并写出 PB 与 PQ 满足的数量关系，请证明你的猜想. 【解答】(1)PBPQ；(2)PBPQ 【解析】(1)过点 P 作 PEBC，PFCD，如图所示： P、C 为正方形对角线 AC 上的点，PC 平分DCB，DCB90 ， PFPE，四边形 PECF 为正方形， BPEQPE90 ，QPEQPF90 ， BPEQPF，PQFPBE，PBPQ； (2)过点 P 作 PEBC，PFCD，如图所示： 证明过程参考(1)，通过证PQFPBE 即可得到 PBPQ.