1、 半角模型巩固练习半角模型巩固练习(提优提优) 1. 如图，在四边形 ABCD 中，BD180 ，ABAD，E、F 分别是线段 BC、CD 上的点，且 BE FDEF，求证：EAFBAD. 【解答】见解析 【解析】证明：将ADF 绕点 A 顺时针旋转DAB 的度数得到ABG，AD 旋转到 AB，AF 旋转到 AG， 如图： 旋转，AGAF，BGDF，ABGD，BAGDAF， BD180 ，BABG180 ，点 G、B、C 三点共线， BEFDEF，BEBGGEEF，在AEG 与AEF 中， ，EAGEAF， 又BAGDAF，EABDAFEAF，EAFBAD. 2. 已知，在正方形 ABCD 中
2、，MAN45 ，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC(或 它们的延长线)于点 M、N，当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时(如图 1)，易证 BMDNMN. (1)当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时 (如图 2)，线段 BM、DN、和 MN 之间有怎样的数量关系？猜想一 下，并加以证明； (2)当MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM、DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出 你的猜想. 【解答】(1)猜想：BMDNMN；(2)猜想：DNBMMN 【解析】(1)猜想：BMDNMN. 证明：如图，将AND 绕点 A 顺时针旋转 90 ，得到
3、ABE，则 E、B、M 共线， EAM90 NAM90 45 45 ， NAM45 ，在AEM 与ANM 中， ，MEMN， MEBEBMDNBM，DNBMMN； (2)猜想：DNBMMN. 证明：在线段 DN 上截取 DQBM，如图所示. 在ADQ 与ABM 中， DAQBAM，QANMAN， 在AMN 与AQN 中， MNQN，DNBMMN. 3. 已知在ABC中， 90ACB，26CBCA，ABCD 于D， 点E在直线CD上， 点 F 在线段AB上，M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点. (1)如图 1，若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位置关系和数量关系：_， _
4、； (2)在(1)的条件下，当点F在线段AD上，且2AFFD时，求证： 45CNE； (3)当点E在线段CD的延长线上时，在线段AB上是否存在点F，使得 45CNE若存在，请直接写 出AF的长度；若不存在，请说明理由 【解答】(1)AECM，AECM；(2)见解析；(3)AF8. 【解析】(1)AECM，AECM. 如图，延长 AE 交 CM 于点 H. ACB90 ，CACB，CDAB 于点 D， CABCBAACDBCD45 ，ADBDCDAB， M 是 DB 的中点， . 在AEC 与CMB 中， AECM，CAEBCM， ACMBCM90 ，ACMCAE90 ，ACH90 ， AHCM
5、，AECM，AECM； (2)如图，过点 A 作 AGAB,且 AG=BM,，连接 CG、FG,延长 AE 交 CM 于 H. CAB90 ， CACB， CAB=CBA=45，GAC=MBC=45， CDAB，CD=AD=BD= ， M 是 DB 的中点,BMDM3，AG3， AF2FD，AF4，DF2，FMFDDM235， AGAF，FGFM， 在CAG 和CBM 中， CGCM，ACGBCM， MCGACMACGACMBCM90 ，在FCGFCG和FCMFCM中， ，FCGFCM，FCH45 ， 由(1)知 AECM，CHN90 ，CNE45 ； (3)存在，如图作 BHCN. 由条件可
6、得CHB=90 ， CDAB，ADE=90 ，CHB=ADE， ACB=90 CAB=CBA=45 ，GAC=MBC=45 ， CDAB， ， DE=3. 在 RtADE 中，由勾股定理可得， CNE45 ，CBACNE， AFNCFB，NAFBCF，ADECHB， ， 设 ,则，在 RtCDF 中,由勾股定理,得， CDFBHF90 ，DFCHFB，CDFBHF， ，解得(舍)，AF628. 4. (1)如图 1，点 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，EAF=45，连接 EF，则 EF、BE、FD 之间的数量关系是： EF=BE+FD 连结BD， 交AE、 AF于点M
7、、 N， 且MN、 BM、 DN满足 222 DNBMMN， 请证明这个等量关系； (2)在ABC 中， ABAC，点 D、E 分别为 BC 边上的两点 如图 2，当BAC60，DAE30时，BD、DE、EC 应满足的等量关系是_； 如图 3，当BAC，(090)，DAE 2 1 时，BD、DE、EC 应满足的等量关系是_ 【参考：1cossin 22 】 【解答】 (1)见解析； (2)； (3) 【解析】如图，将ABM 绕点 A 逆时针旋转 90 得到ADG，连接 NG. 旋转，ABMADG，DGBM，AGAM，ADGABM45 ，DAGBAM， ADBADG45 45 90 ，即NDG9
8、0 ， EAF45 ，BAMDAN45 ，DAGDAF45 ，即GAN45 ， GANMAN，AMNAGN(SAS)，GNMN， NDG90 ，. (2)如图，将ABD 逆时针旋转 60 得到ACF，连接 EF，作 FGEC 的延长线于点 G. 由题意可知ABDACF，FGC90 ，ADAF，BDCF，BADCAF，BACF， BAC60 ，ABAC，ABC 是等边三角形，BACB60 ，ACF60 ， ACFACB120 ，即ECF120 ，FCG60 ，CFG30 ， 在 RtCFG 中，由勾股定理得，BADEAC30 ，CAFEAC30 ， 即EAF30 ，DAEFAE，ADEAFE，DEEF， 在 RtEGF 中，由勾股定理得， ， ； 将ABD 逆时针旋转得到ACF，连接 EF，作 FGEC 的延长线于点 G. 由题意可知ABDACF，FGC90 ，ADAF，BDCF，BADCAF，BACF， ABAC，BACB， BACBBAC180 ，ACBACFFCG180 ，BACFCG， ACF60 ，CG，DAE， BADCAE，CAFCAE，即EAF，DAEFAE， ADEAFE，DEEF， 在 RtEGF 中，由勾股定理得， ， ； ， .