1、 倍半角模型巩固练习倍半角模型巩固练习(提优提优) 1. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、AB 上，且FDE45 ，连接 DE、DF、EF，试探究 EF、AF、CE 之间的数量关系. 【解答】EFAFCE，证明见解析 【解析】如图，将DCE 绕着点 D 顺时针旋转 90 得到DGA. EDCADFFDE90 ，FDE45 ，EDCADF45 ， 又旋转，DEDG，GDAEDC，GDAADFGDFFDE45 ， 在DGF 与DEF 中，DFDF，GDFEDF，DGDE，DGFDEF，EFGFGAAF， 旋转，GACE，EFAFCE. 2. 如图，在ABC 中，ABAC，B
2、AC90 ，点 D 在 CB 的延长线上，连接 AD，EAAD，ACE ABD. (1)求证：ADAE； (2)点 F 为 CD 的中点，AF 的延长线交 BE 于点 G，求AGE 的度数. 【解答】(1)见解析；(2)AGE90 【解析】(1)证明：EAAD，DAE90 ，DABBAE90 ， BAC90 ，CAEBAE90 ，DABCAE， ACEABD，ABAC，ADBACE，ADAE； (2)如图，延长 AG 至点 H，使得 FHFA. 点 F 为 CD 的中点，DFCF， DFHCFA， DFHCFA， DHAC， HCAF， DHAC， ADHDAC180 ， BAEDACBAED
3、AEEAC90 90 180 ，ADHBAE， ABAC，DHAB， ADAE，ADHEAB，DAHAEB， DAHGAE90 ，AEBGAE90 ，AGE180 (AEBGAE)180 90 90 . 3. 如图， 在平行四边形 ABCD 中， AEBC 于点 E， CECD， 点 F 为 CE 的中点， 点 G 为 CD 上的一点， 连接 DF、EG、AG，12. (1)若 CF2，AE3，求 BE 的长； (2)求证：CEGAGE. 【解答】(1)；(2)见解析 【解析】(1)CECD，点 F 是 CE 的中点，CF2，DCCE2CF4， 四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD4， A
4、EBC，AEB90 ， 在 RtABE 中，由勾股定理可得； (2)如图，过点 G 作 GMAE 于点 M. AEBC，GMAE，GMBCAD，在DCF 与ECG 中， ，DCFECG，CGCF，CECD， CE2CF，CD2CG，即点 G 是 CD 的中点， ADGMBC，M 为 AE 的中点，AMEM， GMAE，AGEG，AGMEGM，AGE2MGE， GMBC，EGMCEG，CEGAGE. 4. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 边上的中点，过点 A 作 AFBE 交 CD 边于点 F，M 是 AD 边上 一点，且 BMDMCD. (1)求证：点 F 是 CD 边上的中点；
5、(2)求证：MBC2ABE. 【解答】(1)见解析；(2)见解析 【解析】(1)四边形 ABCD 是正方形，ADDCABBC，CDBAD90 ，ABCD， AFBE，AOE90 ，EAFAEB90 ，EAFBAF90 ，AEBBAF， ABCD，BAFAFD，AEBAFD， BADD，ABAD，BAEADF，AEDF， 点 E 是边 AD 的中点，点 F 是 CD 边上的中点； (2)延长 AD 至点 G，使得 MGMB，连接 FG、FB，如图所示： BMDMCD，DGDCBC， GDFC90 ，DFCF，FDGFCB，DFGCFB，点 B、F、G 共线， 点 E 为 AD 边上的中点，点 F
6、 是 CD 边上的中点，ADCD，AECF， ABBC，CBAD90 ，AECF，ABECBF，ABECBF， AGBC，AGBCBFABE，MBCAMB2AGB2GBC2ABE，MBC 2ABE. 5. 如图，在矩形 ABCD 中，F 是 DC 上一点，AE 平分BAF 交 BC 于点 E，且 DEAF，垂足为点 M， BE3，求 MF 的长. 【解答】MF 【解析】 【方法一】AE 平分BAF 交 BC 于点 E，且 DEAF，B90 ，ABAM，BEEM3， 又， 设，在ADM 与DFM 中， 又DMFDCE，即， ，解得； 【方法二】如图，在 AB 上取点 N 并使得AENEAN，连接
7、 EN， 由题意可得 ANNE，且BNE2BAE， BE3，设，则， 在 RtEBN 中，由勾股定理得，解得， ， 由和得 DM1， 由和 DM1 得 MF. 6. 如图， 在ABC 中， ACB90 ， D 是 AB 边上的一点， M 是 CD 的中点， 若AMDBMD.求证： CDA2ACD. 【解答】见解析 【解析】证明：过点 A 作 AGDC 交 BM 延长线于点 H 交 BC 的延长线于点 G，连接 HC，如图所示： 由题意可得BMDAHB，AMDHAM，HACACD，即， CMDM，HGAH，即点 H 是 AG 的中点， ACBC，HCAHACACD， HCMHCAACDACDACD2ACD， HAMAMD，AMDBMD，BMDAHB，BMDHMC，HMAM， MDMC，AMDHMC，AMHM，AMDHMC，ADMHCM2ACD.