1、 全等模型巩固练习全等模型巩固练习(提优提优) 1. 如图，ABC 中，ABAC，AD 平分BAC，DEAB 于 E，DFAC 于 F，则下列五个结论：AD 上任意一点到 AB、AC 两边的距离相等；AD 上任意一点到 B、C 两点的距离相等；ADBC，且 BD CD；BDECDF；AEAF其中，正确的有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【解答】D 【解析】ABAC，ABC 是等腰三角形，BC， AD 平分BAC，DEAB 于 E，DFAC 于 F，ADBC，BDCD，DEDF，故正确； 正确；AD 是 BC 的中垂线，正确； DEAB 于 E，DFAC，DEBDFC90， DE
2、BDFC90，BDCD，BC，BEDCFD，BDECDF，即正确； AEDAFD90，ADAD，EADFAD，AEDAFD， AEAF，故正确 2. 如图，ABAC，BEAC 于 E，CFAB 于 F，BE，CF 交于 D，则以下结论：ABEACF； BDFCDE；点 D 在BAC 的平分线上正确的是( ) A B C D 【解答】D 【解析】BEAC 于 E，CFAB 于 F，AEBAFC90， ABAC，AA，ABEACF(第一个正确)， AEAF，BFCE， BEAC 于 E，CFAB 于 F，BDFCDE，BDFCDE(第二个正确)，DFDE， 连接 AD，AEAF，DEDF，ADAD
3、，AEDAFD， FADEAD，即点 D 在BAC 的平分线上(第三个正确). 3. 如图，在平行四边形 ABCD 中，分别以 AB、AD 为边向外作等边ABE、ADF，延长 CB 交 AE 于 点 G，点 G 在点 A、E 之间，连接 CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是( ) CDFEBC；CDFEAF；ECF 是等边三角形；CGAE A只有 B只有 C只有 D 【解答】B 【解析】ABE、ADF 是等边三角形，FDAD，BEAB， ADBC，ABDC，FDBC，BEDC， CBEFDC，FDAABE，CDFEBC，CDFEBC，故正确； FAEFADEABBAD6060(180C
4、DA)300CDA， FDC360FDAADC300CDA，CDFEAF，故正确； 同理可得：CBEEAFCDF， BCADAF，BEAE，EAFEBC，AEFBEC， AEFFEBBECFEBAEB60，FEC60， CFCE，ECF 是等边三角形，故正确； 在等边三角形 ABE 中，等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段 如果 CGAE，则 G 是 AE 的中点，ABG30，ABC150，题目缺少这个条件，CGAE 不能 求证，故错误 4. 如图，在等边ABC 的顶点 B、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别都以每分钟 1 个单位的速度 由 C 向 A 和由 B
5、向 C 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过 t 分钟后，它们分别爬行 到 D、P 处，请问： (1)在爬行过程中，BD 和 AP 始终相等吗？ (2)在爬行过程中 BD 与 AP 所成的DQA 有变化吗？若无变化是多少度？ 【解答】(1)相等，理由见解析；(2)无变化 【解析】(1)在爬行过程中，BD 和 AP 始终相等， 理由是：ABC 是等边三角形，CABCABP60，ABBC， 在BDC 和APB 中，BDCAPB(SAS)，BDAP (2)蜗牛在爬行过程中 BD 与 AP 所成的DQA 大小无变化， 理由：BDCAPB， CBDBAP， DQADBABAPDBACBD
6、ABC60， 即蜗牛在爬行过程中 BD 与 AP 所成的DQA 大小无变化，始终是 60 5. 已知ABC 中，ABAC (1)如图 1，在ADE 中，ADAE，连接 BD、CE，若DAEBAC，求证：BDCE； (2)如图 2，在ADE 中，ADAE，连接 BE、CE，若DAEBAC60，CEAD 于点 F，AE4， ，求 BE 的长； (3)如图 3，在BCD 中，CBDCDB45，连接 AD，若CAB45，求的值 【解答】(1)见解析；(2)；(3) 【解析】(1)证明：DAEBAC，EACDAB， AEAD，ACAB，EACDAB(SAS)，ECBD (2)连接 BD，如图所示： AE
7、AD，EAD60，AED 是等边三角形，DEACDE60， EFAD，FEADEA30， DAEBAC，EACDAB， AEAD，ACAB，EACDAB(SAS)， BDAAEC30，ECBD，EDB90， AE4，AF2，AC，EFAAFC90， ， ECBD， (3)作 CMCA，使得 CMCA，连接 AM，BM，如图所示： CACM，ACM90，CAM45， CAB45，MAB454590， 设 ABACm，则 AMm， ACMBCD90，BCMACD， CACM，CBCD，ACDMCB(SAS)，ADBM， 6. 如图，在ABC 中，ABC60，点 D，E 分别为 AB，BC 上一点，
8、BDBE，连接 DE，DC，AC CD (1)如图 1，若 AC3，DE2，求 EC 的长； (2)如图 2，连接 AE 交 DC 于点 F，点 M 为 EC 上一点，连接 AM 交 DC 于点 N，若 AEAM，求证：2DE MC； (3)在(2)的条件下，若ACB45，直接写出线段 AD，MC，AC 的等量关系 【解答】(1)；(2)见解析；(3) 【解析】(1)如图，过点 C 作 CGAB 于 G， ACCD，AGDG， 设 DGa，BDBE，ABC60，BDE 是等边三角形， BDDE，BGBDDG a， 在 RtBGC 中，BCG90ABC30，BC2BG，CGBG6 a， 在 Rt
9、DGC 中，CDAC3，根据勾股定理得，CG2DG2CD2， (6 a)2a290，或(舍)， BCECBEECBD，ECBD2(BDDG)， ECBD2DG； (2)如图在 MC 上取一点 P，使 MPDE，连接 AP， BDE 是等边三角形，BED60，BEDE，DEC120，BEPM， AEAM，AEMAME，AEBAMP， ABEAPM(SAS)，APMABC60， APC120DEC， 如图，过点 M 作 AC 的平行线交 AP 的延长线于 Q，MPQAPC120DEC， ACCD，ADCDAC， CDE180BDEADC18060DAC120DAC， 在ABC 中，ACB180AB
10、CDAC120DACCDE， MQAC，PMQACB， PMQEDC，MPQDEC(ASA)，MQCD， ACMQ，APCQPM(AAS)， CPMP，CMMPCP2DE； (3)如图，在 MC 上取一点 P，使 PMDE， 由(2)知，MC2CP2DE，由(2)知，ABEAPM，ABAP， ABC60，ABP 是等边三角形，BPAB， BEBD，PEAD，BCBEPECPDEPEDE2DEADMCAD， 过点 A 作 AHBC 于 H，设 BHm， 在 RtABH 中， 在 RtACH 中，ACB45， CAH90ACB45ACB， CHAH， MCADBCBHCH，MCADAC 7. 如图
11、，在ABC 中，ACB90，ACBC，E 为 AC 边的一点，F 为 AB 边上一点，连接 CF，交 BE 于点 D 且ACFCBE，CG 平分ACB 交 BD 于点 G， (1)求证：CFBG； (2)延长 CG 交 AB 于 H，连接 AG，过点 C 作 CPAG 交 BE 的延长线于点 P，求证：PBCPCF； (3)在(2)问的条件下，当GAC2FCH 时，若 SAEG3，BG6，求 AC 的长 【解答】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【解析】(1)证明，ACB90，ACBC，A45， CG 平分ACB，ACGBCG45，ABCG， 在BCG 和CAF 中， ，BCGCAF(ASA
12、)，CFBG； (2)PCAG，PCACAG， ACBC，ACGBCG，CGCG，ACGBCG，CAGCBE， PCGPCAACGCAG45CBE45，PGCGCBCBECBE45， PCGPGC，PCPG， PBBGPG，BGCF，PBCFCP； (3)如图，过 E 作 EMAG，交 AG 于 M， SAEGAGEM， 由(2)得ACGBCG，BGAG6，6EM，EM， 设FCHx，则GAC2x，ACFEBCGAC2x， ACH45，2xx45，x15，ACFGAC30， 在 RtAEM 中，AE2EM， M 是 AG 的中点，AEEG，BEBGEG6 ， 在RtECB中， EBC30， CEBE， ACAEEC