1、 相似模型巩固练习相似模型巩固练习(提优提优) 1 如图，在ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中 阴影部分图形的面积与ABCD的面积之比为( ) A7:12 B7:24 C13:36 D13:72 【解答】B 【解析】/ /BEAD，E是B的中点，BEGDAG， BG1 2 BE DGDA ，即 1 3 BGBD， 同理可得， 1 3 DHBD， 1 3 GHBD， 11 36 四边形 AGHABDABCD SSS， E、F分别是边BC、CD的中点，/ /EFBD， 1 2 EFBD，CEFCBD， 2 11 ( ) 24 CEF CBD S S
2、， 11 48 四边形 CEFBCDABCD SSS， 图中阴影部分图形的面积 117 6824 四边形四边形 ABCDABCD SS， 即图中阴影部分图形的面积与ABCD的面积之比为7:24. 2 如图，ABC中，点D在AB上，过点D作/ /DEBC交AC于点E，过点E作/ /EFAB交BC于点F， 连接CD，交EF于点G，则下列说法不正确的是( ) A BDBF FGFC B DEAE BCAC C ADAE ABAC D BFAD BCAB 【解答】A 【解析】A、/ /EFAB，CGFCDB， BDBCBF FGFCFC ，A 错误，故本选项符合题意； B、/ /DEBC，ADEABC
3、， DEAE BCAC ，B 正确，故本选项不符合题意； C、/ /DEBC，ADEABC， ADAE ABAC ，C 正确，故本选项不符合题意； D、/ /EFAB， BFAE BCAC ， / /DEBC， AEAD ACAB ， BFAD BCAB ，D 正确，故本选项不符合题意. 3 如图，已知6AC ，8BC ，10AB ，以点C为圆心，4 为半径作圆点D是C上的一个动点，连 接AD、BD，则 1 2 ADBD的最小值为 【解答】 1 2 ADBD取得最小值为2 10 【解析】如图，在CB上取一点E，使2CE，连接CD、DE、AE 6AC，8BC，10AB，所以 222 ACBCAB
4、，90ACB， 4CD， 1 2 CECD CDCB ， CEDCDB， 1 2 EDCE DBCD ， 1 2 EDBD， 1 2 ADBDADED AE， 当且仅当 E、D、A 三点共线时， 1 2 ADBD取得最小值 22 2 10AECEAC 4 如图，矩形ABCD中，4AB ，6AD ，点E是边CD上一点，EFAE交BC于点F，则CF长的 取值范围是 【解答】 2 0 3 CF剟 【解析】EFAE，90AEF， 又180AEDAEFCEF，90AEDCEF， 又四边形ABCD是矩形，90 DC， 又90AEDDAE， DAECEF， ADEECF， ADDE ECCF ， 又4AB，
5、6AD，ACECED， 64 EC ECCF ，解得： 22 4(2)4 66 CECECE CF， 又04CE剟， 2 0 3 CF剟. 5 如图，90MON，直角三角形ABC斜边的端点A，B分别在射线OM，ON上滑动，1BC ， 30BAC，连接OC当AB平分OC时，OC的长为 【解答】2 或3 【解析】当OAOC时，90 ACBAOB，ABAB， () ACBAOB HL，BCBO，AB垂直平分线段OC， 90 ACBAOB，A，O，B，C四点共圆， 30 CABCOB，60AOC， 3ACOA，AOC是等边三角形，3OCAC 当四边形AOBC是矩形时，此时AB平分OC，2OCAB， 综
6、上所述，满足条件的OC的值为3或 2 6 如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AEDB，AG分别交线段DE、BC于点F、 G，且:AD ACDF CG求证： (1)AG平分BAC； (2)EF CGDF BG 【解答】(1)见解析；(2)见解析 【解析】(1)180DAEAEDADE， 180BACBC，AEDB， ADEC， 在ADF和ACG中， : AD ACDF CG ADEC ，ADFACG， DAFCAG，AG平分BAC； (2)在AEF和ABG中， AEDB EAFBAG ，AEFABG， EFAF BGAG ， 在ADF和AGC中， DAFCAG ADFC ，ADFA
7、GC， DFAF CGAG ， EFDF BGCG ，EF CGDF BG 7 如图，点A、B、C、D是O上的四个点，AD是O的直径，过点C的切线与AB的延长线垂直于 点E，连接AC、BD相交于点F (1)求证：AC平分BAD； (2)若O的半径为 7 2 ，6AC ，求DF的长 【解答】(1)见解析；(2) 7 13 6 DF 【解析】(1)证明：如图，连接OC 过点C的切线与AB的延长线垂直于点E，OCCE，CEAE / /OCAEOCAEAC， OAOC OACOCA OACEAC，即AC平分BAD； (2)如图，设OC交BD于点G，连接DC， AD为直径90ACD，90ABD， CEA
8、E/ /DBCE， OCCEOCBDDGBG， OACEAC，90 ACDE，ACDAEC， CECD ACAD O的半径为 7 2 ，6AC， 7AD， 22 7613CD， 13 67 CE ， 6 13 7 CE，易得四边形BECG为矩形， 6 13 7 DGBGCE， cos DCDG FDC DFDC ， 6 13 13 7 13 DF ， 解得： 7 13 6 DF，DF的长为 7 13 6 8 如图， 已知AB是O的弦， 点C在O上， 且ACBC， 联结AO，CO， 并延长CO交弦AB于点D， 4 3AB ，6CD (1)求OAB的大小； (2)若点E在O上，/ /BEAO，求B
9、E的长 【解答】(1)OAB30 ；(2)4BE 【解析】(1)如图，连接OB， ACBC， AOCBOC， 180180AOCBOC，AODBOD， OAOB，OD垂直平分AB， 1 2 3 2 ADBDAB， 设O的半径为r，则6ODr， 在Rt AOD中， 222 AOADOD， 222 (2 3)(6)rr，解得，4r， 2 33 cos 42 AD OAD AO ， 30OAD，即30OAB； (2)如图 2，连接OE， 由(1)知，30OAB， OBOA，30 OBAOAB， / /EBAO，30 EBDOAB，60EBOEBDOBA， OEOB，OEB是等边三角形，4BEr 9
10、已知， 正方形ABCD中， 点E是边BC延长线上一点， 连接DE， 过点B作BFDE， 垂足为点F，BF 与CD交于点G (1)如图 1，求证：CGCE； (2)如图 2，连接BD，若4 2BE ，2 2DG ，求cosDBG的值 【解答】(1)见解析；(2) 2 5 cos 5 DBG 【解析】(1)四边形ABCD是正方形，BCDC，90 BCGDCE， 又BFDE，90GFD， 又180GBCBGCGCB，180GFDFDGDGF， BGCDGF， 在BGC和DEC中， BCGDCE BCDC CBGCDE ，() BGCDEC ASA，CGCE； (2)过点G作GHBD，设CEx，HDy
11、， 如图 2 所示： CGCE，CGx， 又BEBCCE，DCDGGC，BCDC，4 2BE，2 2DG， 4 22 2xx，解得：2x，3 2BC， 在Rt BCD中，由勾股定理得： 2222 (3 2)(3 2)6BDBCDC， 同理可得：2HD， 又BDBHHD，624BH， 在Rt HBG中，由勾股定理得： 2222 622 5BGBHHG， 42 5 cos 52 5 BH DBG BG 10如图在ABC中，90C，点O在AC上，以AO为半径的O交AB于D，BD的垂直平分线 交BD于F，交BC于E，连接DE (1)求证：DE是O的切线； (2)若30B ，4 3BC ，且:1:2AD DF ，求O的直径 【解答】(1)见解析；(2)O的直径为 16 5 【解析】(1)如图，连接OD， ODOA， AODA， EF是BD的垂直平分线，EBED， BEDB， 90C，90 AB，90ODAEDB， 1809090ODE，直线DE与O相切； (2)如图，30 B，4 3BC，4AC，8AB， EF垂直平分BD，DFBF，BEDE， 又:1:2AD DF， 216 55 BFAB， 328 8 55 AD， 又AOOD，9060 AB，AOD是等边三角形， 8 5 AOAD，O的直径为 16 5