1、 几何变换之平移巩固练习几何变换之平移巩固练习(提优提优) 1. 在平面直角坐标系中，若将抛物线先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位 长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( ) A.(2，3) B.(1，4) C.(1，4) D.(4，3) 【解答】D 【解析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加，上下平移只改变点的纵坐 标，下减上加，因此，将抛物线先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度， 其顶点也同样变换，的顶点坐标是(1，1)， 点(1，1)先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得点(4，3)，即经过这两次平
2、移后所得抛 物线的顶点坐标是(4，3)，故选 D. 2. 如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，其顶点 P 在折线 CDE 上移动，若点 C、D、E 的坐 标分别为(1，4)、(3，4)、(3，1)，点 B 的横坐标的最小值为 1，则点 A 的横坐标的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解答】B 【解析】抛物线的点 P 在折线 CDE 上移动，且点 B 的横坐标的最小值为 1， 观察可知，当点 B 的横坐标的最小时，点 P 与点 C 重合， C(1，4)，设当点 B 的横坐标的最小时抛物线的解析式为， B(1，0)，解得 a1， 当点 B 的横坐标的最小时抛物线的解析式
3、为， 观察可知，当点 A 的横坐标的最大时，点 P 与点 E 重合，E(3，1)， 当点 A 的横坐标的最大时抛物线的解析式为， 令，即，解得或， 点 A 在点 B 的左侧，此时点 A 横坐标为 2， 点 A 的横坐标的最大值为 2. 3. 如图，矩形 OABC 的两条边在坐标轴上，OA1，OC2，现将此矩形向右平移，每次平移 1 个单位， 若第 1 次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为 0.6，则第 n 次 (n1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 (用含 n 的代 数式表示) 【解答】或 【解析】设反比例函数解析式为
4、，则 与 BC， AB 平移后的对应边相交时， 则由两交点纵坐标之差的绝对值为 0.6 和反比例函数关于对称 的性质，得 与 AB 平移后的对应边相交的交点的坐标为(2，1.4)，代入，得，解得， 反比例函数解析式为， 则第 n 次(n1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为： ， 与 OC，AB 平移后的对应边相交时，由得， 反比例函数解析式为， 则第 n 次(n1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为： ， 综上所述，第 n 次(n1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 或. 4. 如图，把抛
5、物线 y 1 2 x2平移得到抛物线 m，抛物线 m 经过点 A(6，0)和原点 O(0，0)，它的顶点为 P，它的对称轴与抛物线 y 1 2 x2交于点 Q，则图中阴影部分的面积为 【解答】 27 2 【解析】根据点 O 与点 A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点 P 的坐标，过点 P 作 PMy 轴于点 M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形 NPMO 的面积，然后求解即可： 过点 P 作 PMy 轴于点 M，设 PQ 交 x 轴于点 N， 抛物线平移后经过原点 O 和点 A(6，0)，平移后的抛物线对称轴为 x3， 平移后的二次函数解析式为：y 1 2 (x+3)
6、2+h， 将(6，0)代入得出：0 1 2 (6+3)2+h，解得：h 9 2 ，点 P 的坐标是(3， 9 2 )， 根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形 NPMO 的面积， S 927 3= 22 . 5. 如图 1，在直角坐标系中，已知点 A(0，2)、点 B(2，0)，过点 B 和线段 OA 的中点 C 作直线 BC，以 线段 BC 为边向上作正方形 BCDE. (1)填空：点 D 的坐标为( )，点 E 的坐标为( ). (2)若抛物线 2 yaxbxc(a0)经过 A、D、E 三点，求该抛物线的解析式. (3)若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线 BC 同时向
7、上平移，直至正方形的顶点 E 落在 y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动. 在运动过程中，设正方形落在 y 轴右侧部分的面积为 s，求 s 关于平移时间 t(秒)的函数关系式， 并写出相应自变量 t 的取值范围. 运动停止时，求抛物线的顶点坐标. 【解答】(1)D(1，3)，E(3，2)；(2) 2 13 yxx2 22 ；(3)见解析，运动停止时，抛物线的顶点坐 标为( 337 28 ，). 【解析】(1)D(1，3)，E(3，2)； (2)抛物线经过(0，2)、(1，3)、(3，2)，则 c2 abc3 9a3bc2 ，解得 1 a 2 1 b 3 c2 ， 抛物线的解析式为 2 13 y
8、xx2 22 (3)求出端点的时间： 当点 D 运动到 y 轴上时，如图 1，DD1 1 2 DC 1 2 BC 5 2 ，t 1 2 ， 当点 B 运动到 y 轴上时，如图 2，BB1BC5，t 5 1 5 ， 当点 E 运动到 y 轴上时，如图 2，EE1EDDE1 53 5+5 22 ，t 3 2 ， 当 0t 1 2 时，如图 4，正方形落在 y 轴右侧部分的面积为CCF 的面积，设 DC交 y 轴于点 F， tanBCO OB OC 2，BCOFCC， tanFCC2, 即 FC CC 2， CC5t，FC25t， SCCF 1 2 CCFC 1 5 2 t2 5t5 t2， 当 1
9、 2 t1 时， 如图 5， 正方形落在 y 轴右侧部分的面积为直角梯形 CCDG 的面积， 设 DE交 y 轴于点 G， 过 G 作 GHBC于 H， GHBC5，CH 1 2 GH 5 2 ， CC5t，HC GD5t 5 2 ， CC D G 155 S5t+ 5t5=5t 224 梯形 当 1t 3 2 时，如图 6，正方形落在 y 轴右侧部分的面积为五边形 BCDMN 的面积，设 DE、EB分别交 y 轴于点 M、N， CC5t，BC5, CB5t5，BN2CB2 5t2 5， BE5，ENBEBN3 52 5t， EM 1 2 EN 1 2 (3 52 5t)， 2 MNE 114
10、5 S3 52 5t3 52 5t =5t15t+ 224 ， 2 22 MNEB C D EB C D MN 4525 SSS=55t15t+=5t +15t 44 正方形五形边 ， 综上所述，S 与 x 的函数关系式为： 2 2 1 5t0t 2 5 1 s= 5tt1 4 2 253 5t +15t1t 42 ， 当点 E 运动到点E时，运动停止，如图 7 所示， CBEBOC90 ，BCOBCE， BOCEBC， OBBC BEE C ， OB2，BEBC5， 25 E C5 ，CE 5 2 ， OEOC+CE1+ 57 22 ，E(0， 7 2 )， 由点 E(3，2)运动到点 E(
11、0， 7 2 ),可知整条抛物线向右平移了 3 个单位，向上平移了 3 2 个单位， 22 131325 yxx2(x) 22228 ，原抛物线顶点坐标为( 325 28 ，) 运动停止时，抛物线的顶点坐标为( 337 28 ，). 6. 如图 1， 已知菱形 ABCD 的边长为2 3， 点 A 在 x 轴负半轴上， 点 B 在坐标原点 点 D 的坐标为(- 3， 3)，抛物线 yax2+b(a0)经过 AB、CD 两边的中点 (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)将菱形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴正方向匀速平移(如图 2)，过点 B 作 BECD 于点 E， 交抛物线
12、于点 F，连接 DF、AF设菱形 ABCD 平移的时间为 t 秒(0t 3 ) 是否存在这样的 t，使ADF 与DEF 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； 连接 FC，以点 F 为旋转中心，将FEC 按顺时针方向旋转 180 ，得FEC，当FEC落在 x 轴与抛物 线在 x 轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时，求 t 的取值范围(写出答案即可) 【解答】(1)yx23；(2)存在 t1，使ADF 与DEF 相似， 6 6 3t 2 【解析】(1)由题意得 AB 的中点坐标为(3 ，0)，CD 的中点坐标为(0，3)， 分别代入 yax2+b，得 2 3a+b=0 b3 ，
13、解得， a=1 b3 ， 这条抛物线的函数解析式为 yx23 ； (2)存在，如图 2 所示，在 RtBCE 中，BEC90 ，BE3，BC2 3 ， BE33 sinC= BC22 3 ，C60 ，CBE30 ，EC 1 2 BC3，DE3， 又ADBC，ADC+C180 ，ADC180 -60 120 要使ADF 与DEF 相似，则ADF 中必有一个角为直角， (I)若ADF90 ，EDF120 90 30 ， 在 RtDEF 中，DE3，得 EF1，DF2， 又E(t，3)，F(t，t2+3)，EF3(t23)t2，t21， t0，t1 ， 此时 AD2 3DF2 2=2 DEEF13 ， ADDF = DEEF ， 又ADFDEF，ADFDEF， (II)若DFA90 ，可证得DEFFBA，则 DEEF FBBA ， 设 EFm，则 FB3m， 3m m 32 3 ，即 m23m60，此方程无实数根，此时 t 不存在， (III)由题意得，DAFDAB60 ，DAF90 ，此时 t 不存在， 综上所述，存在 t1，使ADF 与DEF 相似， 6 6 3t 2 .