1、几何最值之将军饮马巩固练习几何最值之将军饮马巩固练习(基础基础) 1. 如图，正方形 ABEF 的面积为 4，BCE 是等边三角形，点 C 在正方形 ABEF 外，在对角线 BF 上有 一点 P，使 PCPE 最小，则这个最小值的平方为( ) A. B. C. 12 D. 【解答】B 【解析】连接 AC、AE，过点 C 作 CGAB，如图所示： 正方形 ABEF， AEBF,OAOE， 即可得：E 关于 BF 的对称点是 A，连接 AC 交 BF 于 P，则此时 EPCP 的值最小，EPCPAC， 正方形 ABEF 的面积为 4，BCE 是等边三角形， ABBE2，BEBC2， 在 RtBCG
2、 中，CBG906030，BC2， CG1， ， ，即这个最小值的平方为. 2. 如图，在ABC 中，ABAC,AC 的垂直平分线交 AC 于点 N，交 AB 于点 M，AB12，BMC 的周 长是 20，若点 P 在直线 MN 上，则 PAPB 的最大值为( ) A. 12 B. 8 C. 6 D. 2 【解答】B 【解析】MN 垂直平分 AC，MAMC， 又BMMCBC20，BMMAAB12， BC20128， 在 MN 上取点 P，MN 垂直平分 AC， 如图所示，连接 PA、PB、PC，PAPC， PAPBPCPB， 在PBC 中 PCPBBC 当 P、B、C 共线时(PCPB)有最大
3、值，此时 PCPBBC8，故选 B. 3. 如图，在MON 的边 OM,ON 上分别有点 A,D，且MON30，OA10，OD6，B，C 两点分别 是边 OM,ON 上的动点，则 ACBCBD 的最小值为 . 【解答】 【解析】作点 D 关于 OM 的对称点 D，作点 A 关于 ON 的对称点 A，连接 AD，与 OM,ON 的交点就是点 B、C，如图所示： 此时 ACBCBDACBCBDAD为最短距离。 连接 OD，OA， 根据对称性可知： OAOA,ODOD，AOA60，DOD60， AOA和DOD是等边三角形， ODOD6，OAOA10，AOD90， 根据勾股定理，得， ACBCBD 的
4、最小值为. 4. 如图，在菱形 ABCD 中，AB6，ABC60，AC 与 BD 交于点 O，点 N 在 AC 上且 AN2，点 M 在 BC 上且 BMBC,P 为对角线 BD 上一点，则 PMPN 的最大值为 . 【解答】2 【解析】如图所示，作以 BD 为对称轴作 N 的对称点 N，连接 PN,MN， 根据轴对称性质可知，PNPN，PMPNPMPNMN， 当 P,M,N三点共线时，取“”, 在菱形 ABCD 中，AB6，ABC60，AC6， O 为 AC 中点，AOOC3， AN2，ON1， ON1，CN2，AN4， ， CMABBM642， ， PMABCD，CMN60， NCM60，
5、NCM 为等边三角形， CMMN2，即 PMPN 的最大值为 2. 5. 如图，在菱形 ABCD 中，AB，A120，点 P,Q,K 分别为线段 BC,CD，BD 上的任意一点， 则 PKQK 的最小值为 . 【解答】 【解析】过点 C 作 CEAB，如图所示： 菱形 ABCD 中，AB2，A120， ABC60，BC2，BD 平分ABD， BE，CEBE， BD 平分ABD，在 AB 上作点 P 关于 BD 的对称点 P， PKQKPKKQ， 当 P,K,Q 三点共线且 PQAB 时，PKQK 有最小值， 即最小值为平行线 AB,CD 的距离，则最小值为. 6. 如图，等边ABC 的边长为
6、4，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 边上的动点，E 是 AC 边上一点，若 AE2，当 EFCF 取得最小值时，则ECF 的度数为多少？ 【解答】ECF30 【解析】过 E 作 EMBC，交 AD 于 N，如图所示： AC4，AE2，EC2AE， AMBM2，AMAE， AD 是 BC 边上的中线，ABC 是等边三角形，ADBC， EMBC，ADEM， AMAE，E 和 M 关于 AD 对称， 连接 CM 交 AD 于 F，连接 EF，则此时 EFCF 的值最小， ABC 是等边三角形， ACB60，ACBC，AMBM， ECFACB30. 7. 如图，在ABC 中，已知 ABAC,
7、AB 的垂直平分线交 AB 于点 N，交 AC 于点 M，连接 MB. (1)若ABC70，则NMA 的度数是 度； (2)若 AB8，MBC 的周长是 14. 求 BC 的长度； 若点 P 为直线 MN 上一点，请你直接写出PBC 周长的最小值. 【解答】(1)NMA50 ；(2)BC6，最小值为 14 【解析】(1)ABAC，CABC70 ，A40， AB 的垂直平分线交 AB 于点 N， ANM90， NMA50； (2)MN 是 AB 的垂直平分线， AMBM， MBC 的周长BMCMBCAMCMBCACBC， AB8，MBC 的周长是 14， BC1486； 当点 P 与 M 重合时
8、，PBC 周长的值最小， 理由：PBPCPAPC,PAPCAC， P 与 M 重合时，PAPCAC，此时 PBPC 最小， PBC 周长的最小值ACBC8614. 8. 如图， 在四边形 ABCD 中， BCAD,BC AD， 点 E 为 AD 的中点， 点 F 为 AE 的中点， ACCD， 连接 BE、CE、CF. (1)判断四边形 ABCE 的形状，并说明理由； (2)如果 AB4，D30，点 P 为 BE 上的动点，求PAF 的周长的最小值. 【解答】(1)菱形；(2) 【解析】(1)四边形 ADCE 是菱形，理由如下 点 E 是 AD 的中点，AE AD BC AD，AEBC BCA
9、D，即 DCAE， 四边形 ABCE 是平行四边形， ACCD，点 E 是 AD 的中点，CEAEDE， 四边形 ABCE 是菱形； (2)由(1)得，四边形 ABCE 是菱形 AEECAB4，且点 A、C 关于 BE 对称， 点 F 是 AE 的中点，AF AE2， 当 PAPF 最小时，PAF 的周长最小， 即点 P 为 CF 与 BE 的交点时，PAF 的周长最小， 此时PAF 的周长PAPFAFCFAF， 在 RtACD 中，点 E 是 AD 的中点，则 CEDE， ECDD30，ACE903060 ACE 是等边三角形，ACAECE4， AFEF,CFAE， PAF 的周长最小CFA
10、F . 9. 如图，在ABC 中，ABAC,AD 是中线，且 AC 是 DE 的中垂线 (1)求证：BADCAD； (2)连接 CE，写出 BD 和 CE 的数量关系，并说明理由； (3)当BAC90，BC8 时，在 AD 上找一点 P，使得点 P 到点 C 与到点 E 的距离之和最小，求BCP 的面积. 【解答】(1)见解析；(2)BDCE；(3)8 【解析】(1)ABAC,AD 是中线，BADCAD； (2)BDCE. 理由：AD 是中线，BDCD， AD,AE 关于 AC 对称，CDCE，BDCE； (3)连接 BE 交 AD 于点 P，此时 PEPC 的值最小，如图所示： ABAC，B
11、AC90，BDDC4，ADAE4， 由题意 AEBD,AEADBD， 四边形 ABDE 是平行四边形，PAPD2， PDBC，. 10. 如图， 在ABC 中， ACB90， 以 AC 为边在ABC 外作等边三角形 ACD， 过点 D 作 AC 的垂线， 垂足为 F，与 AB 相交于点 E，连接 CE (1)说明：AECEBE； (2)若 DAAB,BC6，P 是直线 DE 上的一点，则当 P 在何处时，PBPC 最小，并求出此时 PBPC 的值. 【解答】(1)见解析；(2)12 【解析】(1)ADC 是等边三角形，DFAC， DF 垂直平分线段 AC，AEEC， ACECAE， ACB90， ACEBCE90CAEB90， BCEB，CEEB， AECEBE； (2)连接 PA,PB,PC，如图所示： DAAB，DAB90， DAC60，CAB30， B60，BCAEEBCE6. AB12， DE 垂直平分 AC，PCAP，PCPBPA， 当 PBPC 最小时，也就是 PBPA 最小，即 P,B,A 共线时最小， 当点 P 与点 E 共点时，PBPC 的值最小，最小值为 12.