1、几何最值之将军饮马巩固练习几何最值之将军饮马巩固练习(提优提优) 1. 如图所示，在四边形 ABCD 中，A90，C90，D60，AD3，AB，若点 M、N 分别为边 CD，AD 上的动点，则BMN 的周长最小值为( ) A. B. C. 6 D. 3 【解答】C 【解析】作点 B 关于 CD、AD 的对称点分别为点 B和点 B，连接 BB交 DC 和 AD 于点 M 和点 N，连接 MB、NB；再 DC 和 AD 上分别取一动点 M和 N(不同于点 M 和 N)，连接 MB，MB，NB 和 NB，如图 1 所示： BBMBMNNB，BMBM， BNBN，BMMNBNBB， 又BBBMMNNB
2、，MBMB，NBNB， NBNM BM BMMNBN，NBNMBM 时周长最小； 连接 DB，过点 B作 BHDB于 BD 的延长线于点 H，如图示 2 所示： 在 RtABD 中，AD3，AB， ，230 ， 530 ，DBDB， 又ADC1260，130， 730，DBDB， BDB1257120， DBDBDB， 又BDB6180，660，HD，HB3， 在 RtBHB中，由勾股定理得： BB， NBNMBM6，故选 C. 2. 如图，在四边形 ABCD 中，DAAB，DA6，BC150，CD 与 BA 的延长线交于 E 点，A 刚好是 EB 中点，P、Q 分别是线段 CE、BE 上的动
3、点，则 BPPQ 最小值是( ) A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 【解答】D 【解析】如图，作点 B 关于 CE 的对称点 F，连接 BF，EF，则 EBEF， BC150，BEC30， BEF60，BEF 是等边三角形， 连接 BP，PF，PQ，则 BPFP，BPQPFPPQ， 当 F，P，Q 在同一直线上且 FQEB 时，BPPQ 的最小值为 FQ 的长， 此时，Q 为 EB 的中点，故与 A 重合， DAAB.DA6，AE ， RtQEF 中，FQAE18， BPPQ 最小值值为 18，故选 D. 3. 如图，等边ABC 中，AD 为 BC 边上的高，点 M、N 分别在
4、AD、AC 上，且 AMCN，连接 BM、 BN，当 BMBN 最小时，MBN 度. 【解答】30 【解析】作 CHBC，使得 CHBC，连接 NH，BH，如图所示： ABC 是等边三角形，ADBC，CHBC， DACDAB30，ADCH， HCNCADBAM30， AMCN，ABBCCH， ABMCHN(SAS)， BMHN， BNHNBH， B，N，H 共线时，BMBNNHBN 的值最小， 当 B，N，H 共线时，如图所示： ABMCHN，ABMCHBCBH45， ABD60，DBM15，MBN451530， 当 BMBN 的值最小时，MBN30. 4. 如图，矩形 ABCD 中，AB4，
5、BC6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且，则 PC PD 的最小值为 . 【解答】 【解析】如图，作 PMAD 于 M，作点 D 关于直线 PM 的对称点 E，连接 PE，EC.设 AM， 四边形 ABC 都是矩形， AB/CD， AB CD4， BCAD6， ， ，2， AM2，DMEM4， 在 RtECD 中， PM 垂直平分线段 DE，PDPE， PCPDPCPEEC，PDPC， PDPC 的最小值为. 5. 如图，在ABC 中，ACB90，点 D 是直线 BC 上一点. (1)如图 1，若 ACBC2，点 D 是 BC 边的中点，点 M 是线段 AB 上一动点，求CMD 周长的最
6、小值； (2)如图 2，若 AC4，BC8，是否存在点 D，使以 A，D，B 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请 直按写出线段 CD 的长度；若不存在，请说明理由. 【解答】(1)CMD 周长的最小值为；(2)存在，详细见解析 【解析】(1)如图，作 C 关于 AB 的对称点 E，连接 DE 交 AB 于 M，此时，CMD 周长的值最小， ACBC，ACB90， BCE45， 连接 BE，BCBE2， CBE 是等腰直角三角形， ， CMD 周长的最小值 ； (2)存在， AC4，BC8， ， 当 AD1AB 时，AD1B 的等腰三角形， ACBC，CD1BC8 当 BD2AB 时，AD2
7、B 是等腰三角形， ， 当 AD3D3B 时，AD3B 的等腰三角形，BD38CD3， 解得 CD23， 当 BD4AB 时，AD4B 的等腰三角形， CD48 ， 综上所述，以 A，D，B 为顶点的三角形是等腰三角形，线段 CD 的长度为 8 或8 或 3 或8. 6. 如图，在锐角三角形 ABC 中，BC4 ，ABC45，BD 平分ABC，M、N 分别是 BD、BC 上的动点，试求 CMMN 的最小值. 【解答】4 【解析】如图所示，过点 C 作 CEAB 于点 E，交 BD 于点 M，过点 M作 MNBC 于 N，则 CE 即为 CM MN 的最小值. BC，ABC45，BD 平分ABC
8、， BCE 是等腰直角三角形， ， 故 CMMN 的最小值为 4. 7. 如图，在平行四边形 ABCD 中，BD 是对角线，ADB90，E、F 分别为边 AB、CD 的中点. (1)求证：四边形 DEBF 是菱形； (2)若 BE4，DEB120，点 M 为 BF 的中点，当点 P 在 BD 边上运动时，求 PFPM 的最小值. 【解答】(1)见解析；(2) 【解析】(1)证明：平行四边形 ABCD 中，ADBC， DBCADB90， ABD 中，ADB90，E 时 AB 的中点， DEABAEBE， 同理，BFDF， 平行四边形 ABCD 中，ABCD， DEBEBFDF，四边形 DEBF
9、是菱形； (2)连接 BF，如图所示： 菱形 DEBF 中，DEB120，EBF60， BEF 是等边三角形， M 是 BF 的中点，EMBF， 则， 即 PFPM 的最小值是. 8. 已知：矩形 ABCD 中，AD2AB，AB6，E 为 AD 中点，M 为 CD 上一点，PEEM 交 CB 于点 P， EN 平分PEM 交 BC 于点 N. (1)求证：PEEM； (2)用等式表示 BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明； (3)过点 P 作 PGEN 于点 G，K 为 EM 中点，连接 DK、KG，求 DKKGPG 的最小值. 【解答】(1)见解析；(2)BP2NC2PN2；(3
10、) 【解析】(1)证明：过 P 作 PQAD 于 Q，则 PQAB，如图所示： AD2AB，E 为 AD 中点，AD2DE，PQDE， PEEM， PQEDPEM90， QPEPEQPEQDEM90， QPEDEM， PQEEDM(ASA)，PEEM； (2)三者的数量关系是：BP2NC2PN2 点 N 与点 C 重合时，P 为 BC 的中点，显然 BP2NC2PN2成立； 点 P 与点 B 重合时，N 为 BC 的中点，显然 BP2NC2PN2成立； 证明：连接 BE、CE，如图所示： 四边形 ABCD 为矩形，AD2AB，E 为 AD 中点， AABC90，ABCDAEDE， AEB45，
11、DEC45， 在ABE 和DCE 中， ABEDCE(SAS)，BEC90，BECE， EBCECB45，EBCECD， 又BECPEM90，BEPMEC，EBPECM 在BEP 和CEM 中， BEPCEM(ASA)，BPMC，PEME， EN 平分PEM，PENMEN45， 在EPN 和EMN 中， EPNEMN(SAS)，PNMN， 在 RtMNC 中有：MC2NC2MN2， BP2NC2PN2； (3)连接 PM，如图所示： 由(2)，可得 PN MN， PE ME， EN 垂直平分 PM，PGEN， P、G、M 三点共线，且 G 为 PM 的中点， K 为 EM 中点， 又D90， 由(2)，可得PEM 为等腰直角三角形， 根据勾股定理，可得， ， 当 ME 取得最小值时，DKGKPG 取得最小值， 即当 MEDE6 时，DKGKPG 有最小值，最小值为.