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专题12 几何最值之将军饮马巩固练习(提优)-2021年中考数学几何专项复习(教师版含解析)

1、几何最值之将军饮马巩固练习几何最值之将军饮马巩固练习(提优提优) 1. 如图所示,在四边形 ABCD 中,A90,C90,D60,AD3,AB,若点 M、N 分别为边 CD,AD 上的动点,则BMN 的周长最小值为( ) A. B. C. 6 D. 3 【解答】C 【解析】作点 B 关于 CD、AD 的对称点分别为点 B和点 B,连接 BB交 DC 和 AD 于点 M 和点 N,连接 MB、NB;再 DC 和 AD 上分别取一动点 M和 N(不同于点 M 和 N),连接 MB,MB,NB 和 NB,如图 1 所示: BBMBMNNB,BMBM, BNBN,BMMNBNBB, 又BBBMMNNB

2、,MBMB,NBNB, NBNM BM BMMNBN,NBNMBM 时周长最小; 连接 DB,过点 B作 BHDB于 BD 的延长线于点 H,如图示 2 所示: 在 RtABD 中,AD3,AB, ,230 , 530 ,DBDB, 又ADC1260,130, 730,DBDB, BDB1257120, DBDBDB, 又BDB6180,660,HD,HB3, 在 RtBHB中,由勾股定理得: BB, NBNMBM6,故选 C. 2. 如图,在四边形 ABCD 中,DAAB,DA6,BC150,CD 与 BA 的延长线交于 E 点,A 刚好是 EB 中点,P、Q 分别是线段 CE、BE 上的动

3、点,则 BPPQ 最小值是( ) A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 【解答】D 【解析】如图,作点 B 关于 CE 的对称点 F,连接 BF,EF,则 EBEF, BC150,BEC30, BEF60,BEF 是等边三角形, 连接 BP,PF,PQ,则 BPFP,BPQPFPPQ, 当 F,P,Q 在同一直线上且 FQEB 时,BPPQ 的最小值为 FQ 的长, 此时,Q 为 EB 的中点,故与 A 重合, DAAB.DA6,AE , RtQEF 中,FQAE18, BPPQ 最小值值为 18,故选 D. 3. 如图,等边ABC 中,AD 为 BC 边上的高,点 M、N 分别在

4、AD、AC 上,且 AMCN,连接 BM、 BN,当 BMBN 最小时,MBN 度. 【解答】30 【解析】作 CHBC,使得 CHBC,连接 NH,BH,如图所示: ABC 是等边三角形,ADBC,CHBC, DACDAB30,ADCH, HCNCADBAM30, AMCN,ABBCCH, ABMCHN(SAS), BMHN, BNHNBH, B,N,H 共线时,BMBNNHBN 的值最小, 当 B,N,H 共线时,如图所示: ABMCHN,ABMCHBCBH45, ABD60,DBM15,MBN451530, 当 BMBN 的值最小时,MBN30. 4. 如图,矩形 ABCD 中,AB4,

5、BC6,点 P 是矩形 ABCD 内一动点,且,则 PC PD 的最小值为 . 【解答】 【解析】如图,作 PMAD 于 M,作点 D 关于直线 PM 的对称点 E,连接 PE,EC.设 AM, 四边形 ABC 都是矩形, AB/CD, AB CD4, BCAD6, , ,2, AM2,DMEM4, 在 RtECD 中, PM 垂直平分线段 DE,PDPE, PCPDPCPEEC,PDPC, PDPC 的最小值为. 5. 如图,在ABC 中,ACB90,点 D 是直线 BC 上一点. (1)如图 1,若 ACBC2,点 D 是 BC 边的中点,点 M 是线段 AB 上一动点,求CMD 周长的最

6、小值; (2)如图 2,若 AC4,BC8,是否存在点 D,使以 A,D,B 为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请 直按写出线段 CD 的长度;若不存在,请说明理由. 【解答】(1)CMD 周长的最小值为;(2)存在,详细见解析 【解析】(1)如图,作 C 关于 AB 的对称点 E,连接 DE 交 AB 于 M,此时,CMD 周长的值最小, ACBC,ACB90, BCE45, 连接 BE,BCBE2, CBE 是等腰直角三角形, , CMD 周长的最小值 ; (2)存在, AC4,BC8, , 当 AD1AB 时,AD1B 的等腰三角形, ACBC,CD1BC8 当 BD2AB 时,AD2

7、B 是等腰三角形, , 当 AD3D3B 时,AD3B 的等腰三角形,BD38CD3, 解得 CD23, 当 BD4AB 时,AD4B 的等腰三角形, CD48 , 综上所述,以 A,D,B 为顶点的三角形是等腰三角形,线段 CD 的长度为 8 或8 或 3 或8. 6. 如图,在锐角三角形 ABC 中,BC4 ,ABC45,BD 平分ABC,M、N 分别是 BD、BC 上的动点,试求 CMMN 的最小值. 【解答】4 【解析】如图所示,过点 C 作 CEAB 于点 E,交 BD 于点 M,过点 M作 MNBC 于 N,则 CE 即为 CM MN 的最小值. BC,ABC45,BD 平分ABC

8、, BCE 是等腰直角三角形, , 故 CMMN 的最小值为 4. 7. 如图,在平行四边形 ABCD 中,BD 是对角线,ADB90,E、F 分别为边 AB、CD 的中点. (1)求证:四边形 DEBF 是菱形; (2)若 BE4,DEB120,点 M 为 BF 的中点,当点 P 在 BD 边上运动时,求 PFPM 的最小值. 【解答】(1)见解析;(2) 【解析】(1)证明:平行四边形 ABCD 中,ADBC, DBCADB90, ABD 中,ADB90,E 时 AB 的中点, DEABAEBE, 同理,BFDF, 平行四边形 ABCD 中,ABCD, DEBEBFDF,四边形 DEBF

9、是菱形; (2)连接 BF,如图所示: 菱形 DEBF 中,DEB120,EBF60, BEF 是等边三角形, M 是 BF 的中点,EMBF, 则, 即 PFPM 的最小值是. 8. 已知:矩形 ABCD 中,AD2AB,AB6,E 为 AD 中点,M 为 CD 上一点,PEEM 交 CB 于点 P, EN 平分PEM 交 BC 于点 N. (1)求证:PEEM; (2)用等式表示 BP2、PN2、NC2三者的数量关系,并加以证明; (3)过点 P 作 PGEN 于点 G,K 为 EM 中点,连接 DK、KG,求 DKKGPG 的最小值. 【解答】(1)见解析;(2)BP2NC2PN2;(3

10、) 【解析】(1)证明:过 P 作 PQAD 于 Q,则 PQAB,如图所示: AD2AB,E 为 AD 中点,AD2DE,PQDE, PEEM, PQEDPEM90, QPEPEQPEQDEM90, QPEDEM, PQEEDM(ASA),PEEM; (2)三者的数量关系是:BP2NC2PN2 点 N 与点 C 重合时,P 为 BC 的中点,显然 BP2NC2PN2成立; 点 P 与点 B 重合时,N 为 BC 的中点,显然 BP2NC2PN2成立; 证明:连接 BE、CE,如图所示: 四边形 ABCD 为矩形,AD2AB,E 为 AD 中点, AABC90,ABCDAEDE, AEB45,

11、DEC45, 在ABE 和DCE 中, ABEDCE(SAS),BEC90,BECE, EBCECB45,EBCECD, 又BECPEM90,BEPMEC,EBPECM 在BEP 和CEM 中, BEPCEM(ASA),BPMC,PEME, EN 平分PEM,PENMEN45, 在EPN 和EMN 中, EPNEMN(SAS),PNMN, 在 RtMNC 中有:MC2NC2MN2, BP2NC2PN2; (3)连接 PM,如图所示: 由(2),可得 PN MN, PE ME, EN 垂直平分 PM,PGEN, P、G、M 三点共线,且 G 为 PM 的中点, K 为 EM 中点, 又D90, 由(2),可得PEM 为等腰直角三角形, 根据勾股定理,可得, , 当 ME 取得最小值时,DKGKPG 取得最小值, 即当 MEDE6 时,DKGKPG 有最小值,最小值为.