1、几何最值之胡不归巩固练习几何最值之胡不归巩固练习(基础基础) 1 如图，ABC 在直角坐标系中，ABAC，C(1，0)，D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 ADC，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的 3 倍，要使整个运动时间最少，则 点 D 的坐标应为( ) A(0，) B(0，) C(0，) D(0，) 【解答】D 【解析】假设 P 在 AD 的速度为 3，在 CD 的速度为 1， 设 D 坐标为(0，y)，则， 设， 等式变形为：，则 t 的最小值时考虑 y 的取值即可， ， ， ， t 的最小值为， 点 D 的坐标为(0，)， 故选 D 解法二：假
2、设 P 在 AD 的速度为 3V，在 CD 的速度为 1V， 总时间，要使 t 最小，就要CD 最小， 因为ABAC3， 过点B作BHAC交AC于点H， 交OA于D， 易证ADHACO， 所以， 所以，因为ABC 是等腰三角形，所以 BDCD，所以要最小，就是要 DHBD 最小，就要 B、D、H 三点共线就行了因为AOCBOD，所以，即，所以 ， 所以点 D 的坐标应为. 2如图，一条笔直的公路 穿过草原，公路边有一消防站 A，距离公路 5千米的地方有一居民点 B，A、 B 的直线距离是 10千米一天，居民点 B 着火，消防员受命欲前往救火若消防车在公路上的最快速 度是 80 千米/小时，而在
3、草地上的最快速度是 40 千米/小时，则消防车在出发后最快经过 小时可到达居 民点 B(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶) 【解答】 【解析】如图所示，公路上行驶的路线是 AD，草地上行驶的路线是 DB，设 AD 的路程为 x 千米， 由已知条件 AB10千米，BC5千米，BCAC，知 AC15 千米 则 CDACAD(15x)千米， ， 设走的行驶时间为 y，则 整理为关于 x 的一元二次方程得 3x2(160y120)x6400y212000 因为 x 必定存在，所以0即 (160y120)243(12006400y2)0 化简得 102400y238400y0 解得 y，
4、即消防车在出发后最快经过小时可到达居民点 B 3. 如图，在ABC 中，ABAC10，tanA2，BEAC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 的最小值是 . 【解答】 【解析】如图，作 DHAB 于 H，CMAB 于 M BEAC，AEB90 ， 设 AEa，BE2a， 则有：100a24a2，a220， ABAC，BEAC，CMAB， DBHABE，BHDBEA， CDDHCM， . 3. 如图， 平行四边形 ABCD 中， DAB60 ， AB6， BC2， P 为边 CD 上的一动点， 则 的最小值等于_ 【解答】 过点 P 作 PQAD，垂足为 Q， 四边形 ABCD 是平
5、行四边形， DC/AB， QDPDAB60 ， 当点 B、P、Q 三点共线时，有最小值， 的最小值为. 5 如图， 在平面直角坐标系中， 二次函数 yax2bxc 的图象经过点， C(2， 0)， 其对称轴与 x 轴交于点 D (1)求二次函数的表达式及其顶点坐标； (2)若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则PBPD 的最小值为 ； (3)M(x，t)为抛物线对称轴上一动点 若平面内存在点 N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点 N 共有 个； 连接 MA，MB，若AMB 不小于 60 ，求 t 的取值范围 【解答】(1)，；(2)；(3)5 个，t 的取值范围
6、 t 【解析】(1)由题意解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标 (2)如图，连接 AB，作 DHAB 于 H，交 OB 于 P，此时PBPD 最小 理由：OA1，OB， tanABO， ABO30 ， PHPB， PBPDPHPDDH， 此时PBPD 最短(垂线段最短) 在 RtADH 中，AHD90 ，AD，HAD60 ， sin60 ， DH， PBPD 的最小值为； (3)以 A 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点， 以 B 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴也有两个交点， 线段 AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点， 所以满足条件的点 M 有 5 个，即满足条件的点 N 也有 5 个， 如图，RtAOB 中，tanABO，ABO30 ， 作 AB 的中垂线与 y 轴交于点 E，连接 EA，则AEB120 ， 以 E 为圆心，EB 为半径作圆，与抛物线对称轴交于点 F、G 则AFBAGB60 ，从而线段 FG 上的点满足题意， ， OEOBEB， ，EF2EB2， ， 解得或， 故，G， t 的取值范围t.