1、几何最值之阿氏圆巩固练习几何最值之阿氏圆巩固练习(提优提优) 1. 如图，已知 AC6，BC8，AB10，C 的半径为 4，点 D 是C 上的动点，连接 AD，连接 AD、 BD，则的最小值为 . 【解答】 【解析】连接 CD，在 BC 上取点 E，使得 CE2，连接 AE、ED，如图所示： CD4，BC8，CE2， ， BCDBCD，CDECBD， ， BD2DE， ， 根据两点之间，线段最短，当点 D 在 AE 上时，ADDE 最小，最小值就是 AE 的长， ，ACB90 ， 的最小值是. 2. 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，B60，B 的半径为 2，P 为B 上一动点，则 的最
2、小值为 . 【解答】 【解析】在 BC 上取一点 G，使得 BG1，过点 D 作 DFBC 的延长线交于点 F，连接 DG、BP，如图所 示： PBGPBC，PBG CBP， ，当 D、G、P 三点共线时，的值最小，最小值为 DG， 在 RtCDF 中，DCF60 ，CD4， 在 RtGDF 中， 的最小值为. 3. 如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P 是AOB 外部的第一象限内一 动点，且BPA135 ，则 2PDPC 的最小值是 . 【解答】 【解析】依题意可得 OAOB2，BPA135 ，点 P 的轨迹是以原点为圆心，OA 长为半径的圆
3、O 上 的劣弧 AB，构造圆 O，连接 OP，在 OC 上截取 OE1，连接 PE、ED，过点 D 作 DFOC 于点 F，如图 所示： ，POCEOP，POC EOP， ， ， 当 E、P、D 三点共线时，PDPE 的值最小，最小值为 DE 的值， DFOC 于点 F，则 DF2，EF2， 的最小值为 2DE. 4. 如图，点 A、B 在上，且 OAOB6，且 OAOB，点 C 是 OA 的中点，点 D 在 OB 上，且 OD 4，动点 P 在上. (1)求 2PCPD 的最小值； (2)求 2PC3PD 的最小值. 【解答】(1)；(2) 【解析】(1)连接 OP，在射线 OA 上截取 A
4、E6，连接 PE，如图所示： 则 OEOAAE12， C 是 OA 的中点， 又POCEOP，OPC OEP， PE2CP，2PCPDPEPDDE， 当 P、D、E 三点共线时，2PCPD 的值最小， 在 RtODE 中， 2PCPD 的最小值是； (2)在射线 OB 上截取 BF3，连接 CF 交于点 P，连接 OP，如图所示： OFOBBF9， OD4， ， 当 C、P、F 三点共线时，2PC3PD 的值最小， 在 RtOCF 中， 2PC3PD 的最小值为. 5. 如图 1，抛物线 yax2(a3)x3(a0)与 x 轴交于点 A(4，0)，与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E
5、(m，0)(0m4)，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M (1)求 a 的值和直线 AB 的函数表达式； (2)设PMN 的周长为 C1，AEN 的周长为 C2，若，求 m 的值； (3)如图 2， 在(2)条件下， 将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE， 旋转角为 (090)， 连接 E A、EB，求 EAEB 的最小值 【解答】(1)；(2)m2；(3) 【解析】(1)令 y0，则 ax2(a3)x30， (x1)(ax3)0， x1 或， 抛物线 yax2(a3)x3(a0)与 x 轴交于点 A(4，0)， 4，
6、a A(4，0)，B(0，3)， 设直线 AB 解析式为 ykxb，则， 解得， 直线 AB 解析式为 (2)如图 1 中， PMAB，PEOA， PMNAEN，PNMANE， PNMANE， ， NEOB， ， AN(4m)， 抛物线解析式为， PN()， ，解得 m2 (3)如图 2 中，在 y 轴上 取一点 M使得 OM，连接 AM，在 AM上取一点 E使得 OE OE OE2，OMOB34， OE2OMOB， ，BOEMOE， MOEEOB， ， MEBE， AEBEAEEMAM，此时 AEBE最小(两点间线段最短，A、M、E 共线时)， 最小值AM 6. 如图 1，在 RtABC 中
7、，ACB90，CB4，CA6，C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP、BP，求 APBP 的最小值 (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在 CB 上取点 D，使 CD 1，则有，又PCDBCP，PCDBCP，PDBP，AP BPAPPD 请你完成余下的思考，并直接写出答案：APBP 的最小值为 (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，APBP 的最小值为 (3)拓展延伸：已知扇形 COD 中，COD90，OC6，OA3，OB5，点 P 是上一点，求 2PA PB 的最小值 【解答】(1)；(2)；(3)13 【解析】(1)如图 1， 连
8、结 AD， APBPAPPD，要使 APBP 最小， APAD 最小，当点 A，P，D 在同一条直线时，APAD 最小， 即：APBP 最小值为 AD， 在 RtACD 中，CD1，AC6， ， APBP 的最小值为； (2)如图 2， 连接 CP，在 CA 上取点 D，使 CD， ， PCDACP， PCDACP， ， PDAP， APBPBPPD， 同(1)的方法得出APBP 的最小值为； (3)如图 3， 延长 OA 到点 E，使 CE6， OEOCCE12， 连接 PE、OP， OA3， ， AOPAOP， OAPOPE， ， EP2PA， 2PAPBEPPB， 当 E、P、B 三点共线时，取得最小值为：.