1、几何最值之阿氏圆巩固练习几何最值之阿氏圆巩固练习(基础基础) 1. 如图，在 RtABC 中，ACB90 ，CB4，CA6，圆 C 的半径为 2，P 为圆 C 上一动点，连接 AP、BP，则的最小值是 . 【解答】 【解析】连接 CP，在 CB 上取一点 D，使得 CD1，连接 AD，如图所示： 易得， PCDBCP，PCD BCP， ， 当点 A、P、D 在同一条直线上时，的值最小， 在 RtACD 中，CD1，CA6， 的最小值为. 2. 如图，的半径为， MO2， POM90 ， Q 为上一动点， 则 的最小值为 . 【解答】 【解析】取 OM 的中点 G，连接 PG 与圆 O 的交点就
2、是点 Q，连接 OQ、QM，如图所示： MO2， 圆 O 的半径， MOQQOG，MOQ QOG， ， 最小， 最小值为. 3. 如图，在平面直角坐标系中，点 A(4，0)，B(4，4)，点 P 在半径为 2 的圆 O 上运动，则的 最小值是 . 【解答】5 【解析】取点 K(1，0)，连接 OP、PK、BK，如图所示： OP2，OA4，OK1， POKAOP，POK AOP， ， 在PBK 中，的最小值为 BK 的长， B(4，4)，K(1，0)， 的最小值为 5. 4. 如图，在 RtABC 中，A30，AC8，以 C 为圆心，4 为半径作C (1)试判断C 与 AB 的位置关系，并说明理
3、由； (2)点 F 是C 上一动点，点 D 在 AC 上且 CD2，试说明FCD ACF； (3)点 E 是 AB 边上任意一点，在(2)的情况下，试求出 EFFA 的最小值. 【解答】(1)AB 是C 的切线；(2)见解析；(3)3 【解析】(1)结论：相切 理由：作 CMAB 于 M，如图所示： 在 RtACM 中，AMC90，CAM30，AC8， CMAC4， O 的半径为 4， CMr， AB 是C 的切线 (2)证明： CF4，CD2，CA8， CF2CDCA， ，FCDACF， FCDACF (3)解：作 DEAB 于 E，交C 于 F FCDACF， ， DFAC， EFAFEF
4、DF， 欲求 EFAF 的最小值，就是要求 EFDF 的最小值， 当 E 与 E，F 与 F重合时，EFDF 的值最小，最小值DE”AD3 5. 如图，抛物线 yx2bxc 与直线 AB 交于 A(4，4)，B(0，4)两点，直线 AC：yx6 交 y 轴于点 C点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EFx 轴交 AC 于点 F，交抛物线于点 G (1)求抛物线 yx2bxc 的表达式； (2)连接 GB，EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标； (3)在(2)的前提下，y 轴上是否存在一点 H，使AHFAEF？如果存在，求出此时点 H 的坐标，如果 不存在，请说明
5、理由 【解答】(1)yx22x4；(2)G(2，4)；(3)H 点的坐标为(0，1)或(0，4) 【解析】(1)把 A(4，4)，B(0，4)代入 yx2bxc 得，解得， 抛物线的解析式为 yx22x4； (2)设直线 AB 的解析式为 ykxm， 把 A(4，4)，B(0，4)代入得，解得， 直线 AB 的解析式为 y2x4， 设 G(x，x22x4)，则 E(x，2x4)， OBGE， 当 GEOB 时，且点 G 在点 E 的上方，四边形 GEOB 为平行四边形， x22x4(2x4)4，解得 x1x22，此时 G 点坐标为(2，4)； (3)存在 当 x0 时，yx66，则 C(0，6
6、)， AB2428280，AC2422220，BC2102100， AB2AC2BC2， BAC 为直角三角形，BAC90， AHFAEF， 点 H 在以 EF 为直径的圆上， EF 的中点为 M，如图，设 H(0，t)， G(2，4)， E(2，0)，F(2，5)， M(2，)， HMEF， 22(t)252，解得 t11，t24， H 点的坐标为(0，1)或(0，4) 6. 问题提出：如图 1，在等边ABC 中，AB12，C 半径为 6，P 为圆上一动点，连结 AP，BP，求 APBP 的最小值 (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在 CB 上取点
7、 D，使 CD 3，则有，又PCDBCP，PCDBCP， ，PDBP，APBPAPPD 请你完成余下的思考，并直接写出答案：APBP 的最小值为 (2)自主探索：如图 3，矩形 ABCD 中，BC7，AB9，P 为矩形内部一点，且 PB3，APPC 的最 小值为 (3)拓展延伸：如图 4，扇形 COD 中，O 为圆心，COD120，OC4，OA2，OB3，点 P 是 上一点，求 2PAPB 的最小值，画出示意图并写出求解过程 【解答】(1)；(2)；(3) 【解析】(1)如图， 连结 AD，过点 A 作 AFCB 于点 F， APBPAPPD，要使 APBP 最小， APAD 最小，当点 A，
8、P，D 在同一条直线时，APAD 最小， 即：APBP 最小值为 AD， AC12，AFBC，ACB60 CF6，AF， DFCFCD633 ， APBP 的最小值为; (2)如图， 在 AB 上截取 BF1，连接 PF，PC， AB9，PB3，BF1 ，且ABPABP， ABPPBF， ， PFAP APPCPFPC， 当点 F，点 P，点 C 三点共线时，APPC 的值最小， ， APPC 的值最小值为， (3)如图， 延长 OC，使 CF4，连接 BF，OP，PF，过点 F 作 FBOD 于点 M， OC4，FC4， FO8，且 OP4，OA2， ，且AOPAOP AOPPOF ， PF2AP 2PAPBPFPB， 当点 F，点 P，点 B 三点共线时，2APPB 的值最小， COD120， FOM60，且 FO8，FMOM OM4，FM， MBOMOB437 ， 2PAPB 的最小值为