1、等腰三角形存在性问题巩固练习等腰三角形存在性问题巩固练习(基础基础) 1平面直角坐标系中，已知 A(1，2)、B(3，0)若在坐标轴上取点 C，使ABC 为等腰三角形，则满足条 件的点 C 的个数是( ) A5 B6 C7 D8 【解答】C 【解析】点 A、B 的坐标分别为(1，2)、B(3，0)，AB， 若 ACAB，以 A 为圆心，AB 为半径画弧与坐标轴有 3 个交点(B 点除外)，即(1，0)、(0，)、 (0，)，即满足ABC 是等腰三角形的 C 点有 3 个； 若 BCAB，以 B 为圆心，BA 为半径画弧与坐标轴有 2 个交点，即满足ABC 是等腰三角形的 C 点有 2 个； 若
2、 CACB，作 AB 的垂直平分线与坐标轴有 2 个交点，即满足ABC 是等腰三角形的 C 点有 2 个 综上所述：点 C 在坐标轴上，ABC 是等腰三角形，符合条件的点 C 共有 7 个 2在ABC 中，与A 相邻的外角是 130，要使ABC 为等腰三角形，则B 的度数是( ) A50 B65 C50或 65 D50或 65或 80 【解答】D 【解析】A18013050 当 ABAC 时，BC(18050)65； 当 BCBA 时，AC70，则B180505080； 当 CACB 时，AB50 B 的度数为 50或 65或 80， 3如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 分别在 y 轴和
3、x 轴上，ABO60，在 y 轴上找一点 P，使PAB 是等腰三角形，则符合条件的 P 点共有 个 【解答】4 【解析】当 ABAP 时，在 y 轴上有 2 点满足条件的点 P 当 ABBP 时，在 y 轴上有 1 点满足条件的点 P 当 APBP 时，在 y 轴上有一点满足条件的点 P 综上所述：符合条件的点 P 共有 4 个 4 如图， 在xOy中， ABO60， 在坐标轴上找一点C， 使ABC为等腰三角形， 则这样的C点有 个 【解答】6 【解析】当 ABAC 时，在 y 轴上有 2 点满足条件的点 C，在 x 轴上有 1 点满足条件的点 C 当 ABBC 时，在 y 轴上有 1 点满足
4、条件的点 C，在 x 轴上有 2 点满足条件的点 C，有 1 点与 ABAC 时的 x 轴负半轴的点 C 重合 当 ACBC 时， 在 x 轴、 y 轴上各有一点满足条件的点 C， 有 1 点与 ABAC 时的 x 轴负半轴的点 C 重合 综上所述：符合条件的点 C 共有 6 个 5如图，ABC 中，C90，AC4cm，BC3cm，若动点 P 从点 C 开始，沿 CABC 的路径运 动一周，且速度为每秒 2cm，设运动时间为 t 秒，当 t 时，点 P 与ABC 的某两个顶点构成等腰 三角形 【解答】当 4 或或或或 3 或时点 P 与ABC 的某两个顶点构成等腰三角形 【解析】ABC 中，C
5、90，AC4cm，BC3cm， ， 当点 P 在边 AC 上时，当 PAPB 时，如图， 作 AB 边上的高 PE，则 AEBE， 易证得APEABC， ，即， AP， 此时(4)2(秒)； 当 CPCB 时， CP3cm，此时 t32(秒)； 当点 P 在边 AB 上时， 当 ACAP，此时(4+4)24(秒)； 当 APPC 时，如图， 点 P 在 AC 的垂直平分线与 AB 的交点处，即在 AB 的中点， 则 APAB，此时(4+2.5)2(秒) 当 CPCB 时，如图， 作 AB 边上的高 CD， ACBCABCD CD， 在 RtCDP 中，根据勾股定理得，DP1.8， BP2DP3
6、.6， AP1.4， t(AC+AP)2(4+1.4)2(秒) 当 BCBP 时， BP3cm，CA+AP4+536(cm)， t623(秒)； 当 PBPC， 点 P 在 BC 的垂直平分线与 AB 的交点处，即在 AB 的中点， 此时 CA+AP4+2.56.5(cm)， t6.52(秒)； 综上可知，当 4 或或或或 3 或时点 P 与ABC 的某两个顶点构成等腰三角形。 6如图，在直角坐标系中，O 是坐标原点，且点 A 坐标为(4，4)，P 是 y 轴上的一点，若以 O，A，P 三点 组成的三角形为等腰三角形，求 P 点的坐标 【解答】(0，8)或(0，)或(0，)或(0，4) 【解析
7、】由题可知 OA4，分两种情况进行讨论： (1)当 OA 为腰时，以 O 为圆心，OA 为半径画弧交 y 轴于两点，即(0，)，(0，)；以 A 圆心， OA 为半径画弧交 y 轴于一点，即(0，8) (2)当 OA 为底时，作线段 OA 的垂直平分线交 y 轴于一点，即(0，4) 符合条件的点 P 有 4 个，坐标为(0，8)或(0，)或(0，)或(0，4) 7如图：已知在ABC 中，ADBC 于 D，E 是 AB 的中点， (1)求证：E 点一定在 AD 的垂直平分线上； (2)如果 CD9cm， AC15cm， F 点在 AC 边上从 A 点向 C 点运动速度是 3cm/s， 求当运动几
8、秒钟时 ADF 是等腰三角形？ 【解答】(1)见解析；(2)当点 F 运动 4s 或s 时，ADF 是等腰三角形 (1)证明：ADBC， ADB90， E 是 AB 的中点， AEDE， E 点一定在 AD 的垂直平分线上； (2)解：ADBC， AD12(cm)， 当 FAAD12cm 时，4s， 当 FAFD 时，则FADADF， 又FAD+CADF+FDC90， CFDC， FDFC， FAFCACcm， s， 当 DFAD 时，点 F 不存在， 综上所述，当点 F 运动 4s 或s 时，ADF 是等腰三角形 8已知：如图，锐角ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O，且 OBOC试说
9、明ABC 是等腰三角形 【解答】见解析 【解析】证明：OBOC， OBCOCB， 锐角ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O， BECBDC90， 又BOECOD， EBODCO， ABCACB， ABAC， ABC 是等腰三角形 9如图，已知ABC 中，ABAC，BD、CD 分别平分EBA、ECA，BD 交 AC 于 F，连接 AD (1)解答下列问题： 若BAC40，则BDC 求出BDC 与BAC 之间的关系式 (2)求证：ABD 为等腰三角形 (3)当EBA 的大小满足什么条件时，以 A、B、F 为顶点的三角形为等腰三角形？ 【解答】(1)BDC20，BDCBAC；(2)见解析；(3
10、)EBA 的值为 72或 【解析】(1)解：ABAC，BAC40， ABCACB(18040)70， ACE110， BD，CD 分别平分EBA，ECA， DBCABC35，ECDACE55， BDCECDDBC20； BDCBAC BD、CD 分别平分EBA、ECA，BD 交 AC 于 F， BDC+ABCACE，BAC+ABCACE， BDC+ABCBAC+ABC， BDCBAC (2)证明：作 DMBG 于 M，DNAC 于 N，DHBE 于 H，如图所示： BD、CD 分别平分EBA、ECA， DMDH，DNDH， DMDN， AD 平分CAG，即GADCAD， GAD+CAD+BAC
11、180，BAC+ABC+ACB180， GAD+CADABC+ACB， ABAC， ABCACB， GADABC， ADBC， ADBDBC， 又ABDDBC， ABDADB， ABAD， ABD 为等腰三角形； (3)解：ABAF 不可能舍去 AFBF 时，EBA72，理由如下： ABF 是等腰三角形，BAF 只能为底角， AFBF， BAFABFABC， BAF+ABC+ACB180，ABCACB， ABC180， ABC72， 即EBA72； ABBF 时，设ABFFBCx， 则ABCACB2x， BAFBFA3x， 2x+2x+3x180， x， EBA2x， 综上所述，满足条件的EBA 的值为 72或