1、直角三角形存在性问题直角三角形存在性问题巩固练习巩固练习(基础基础) 1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax22xc 与 x 轴交于 A(1，0)B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点 (1)求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式； (2)请在 y 轴上找一点 M，使BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标； (3)试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若 存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)抛物线解析式为 yx22x3；直线 AC 的解析式为 y3x3；(2)点
2、M 的坐标为(0，3)；(3) 符合条件的点 P 的坐标为( 7 3 ， 20 9 )或(10 3 ，13 9 )， 【解析】(1)设抛物线解析式为 ya(x1)(x3)，即 yax22ax3a， 2a2，解得 a1，抛物线解析式为 yx22x3； 当 x0 时，yx22x33，则 C(0，3)， 设直线 AC 的解析式为 ypxq， 把 A(1，0)，C(0，3)代入得 0 3 pq q ，解得 3 3 p q ，直线 AC 的解析式为 y3x3； (2)yx22x3(x1)24，顶点 D 的坐标为(1，4)， 作 B 点关于 y 轴的对称点 B，连接 DB交 y 轴于 M，如图 1，则 B
3、(3，0)， MBMB，MBMDMBMDDB，此时 MBMD 的值最小， 而 BD 的值不变，此时BDM 的周长最小， 易得直线 DB的解析式为 yx3， 当 x0 时，yx33，点 M 的坐标为(0，3)； (3)存在 过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，如图 2， 直线 AC 的解析式为 y3x3，直线 PC 的解析式可设为 y 1 3 xb， 把 C(0，3)代入得 b3，直线 PC 的解析式为 y 1 3 x3， 解方程组 2 23 1 3 3 yxx yx ，解得 0 3 x y 或 7 3 20 9 x y ，则此时 P 点坐标为( 7 3 ， 20 9 )； 过点 A
4、 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，直线 PC 的解析式可设为 yxb， 把 A(1，0)代入得 1 3 b0，解得 b 1 3 ，直线 PC 的解析式为 y 1 3 x 1 3 ， 解方程组 2 23 11 33 yxx yx ，解得 1 0 x y 或 10 3 13 9 x y ，则此时 P 点坐标为(10 3 ，13 9 ). 综上所述，符合条件的点 P 的坐标为( 7 3 ， 20 9 )或(10 3 ，13 9 ). 2. 如图，抛物线 ymx2nx3(m0)与 x 轴交于 A(3，0)，B(1，0)两点，与 y 轴交于点 C，直线 yx 与该抛物线交于 E，F 两点 (1)求
5、点 C 坐标及抛物线的解析式 (2)P 是直线 EF 下方抛物线上的一个动点，作 PHEF 于点 H，求 PH 的最大值 (3)以点 C 为圆心，1 为半径作圆，C 上是否存在点 D，使得BCD 是以 CD 为直角边的直角三角形？若存 在，直接写出 D 点坐标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)yx22x3；(2)；(3)点 D 的坐标为：( ，3)、(，3)、 (1，3) 【解析】(1)抛物线与 x 轴交于 A(3，0)，B(1，0)两点， 抛物线的表达式为：， 即3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x3； (2)过点 P 作 PMy 轴交直线 EF 于点 M， 21 2 8
6、3 10 10 10 10 3 10 10 10 10 22 (3)(1)23 =23ya xxa xxaxaxa 设点 P(x，x22x3)、点 M(x，x)， 则 PHPM， 当 x时，PH 的最大值为； (3)当BCD90 时，如图 2 左侧图， 当点 D 在 BC 右侧时， 过点 D 作 DMy 轴于点 M，则 CD1，OB1，OC3， tanBCOtanCDMtan，则 sin ，cos； xDCDcos，同理 yD3，故点 D(，3)； 同理当点 D(D)在 BC 的左侧时，同理可得点 D(，3)； 当CDB90 时， 2 2 2 2 22321 2 23 = 2228 xxxx
7、3 2 21 2 8 1 3 1 10 3 10 3 10 10 10 10 3 10 10 10 10 3 10 10 10 10 如右侧图，CDOB1，则点 D(1，3)； 综上，点 D 的坐标为：(，3)、(，3)、(1，3) 3. 如图，顶点为的二次函数图象与 x 轴交于点，点 B 在该图象上，交其对称轴 l 于点 M，点 M、N 关于点 P 对称，连接、 (1)求该二次函数的关系式 (2)若点 B 在对称轴 l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： 连接，当时，请判断的形状，并求出此时点 B 的坐标 求证： 【解答】(1)二次函数的关系式为；(2)是等腰直角三角形，此时 点 B
8、 坐标为；见解析 【解析】(1)二次函数顶点为，设顶点式， 二次函数图象过点，解得：， 二次函数的关系式为， (2)设 ，直线解析式为：， 交对称轴 l 于点 M，当时， 点 M、N 关于点 P 对称，即， 3 10 10 10 10 3 10 10 10 10 (3,3)P(6,0)A OB BNON OP 1 2 OPMNNOB BNMONM 22 11 y(x3)3x2x 33 NOB (33 2, 3) (3,3)P 2 (3)3ya x (6,0)A 2 (63)30a 1 3 a 22 11 y(x3)3x2x 33 2 1 ( ,2 )(3) 3 B bbb bOB 1 (2)
9、3 ybx OB3 M x 1 (2)36 3 M ybb (3,6)Mb 3(6)3NPMPbb 33 N ybb(3, )Nb ，解得：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，此时点 B 坐标为 证明：如图，设直线与 x 轴交于点 D， 、， 设直线解析式为， 解得：， 直线：， 当时，解得：， ，轴，垂直平分， ，. 1 2 OPMNOPMP 22 333b33 2b 22 11 2(33 2)2(33 2)3 33 bb (33 2, 3)B(3,33 2)N 222 (33 2)( 3)3618 2OB 222 3(33 2)3618 2ON 222 (33 23)( 333 2)
10、7236 2BN OBON 222 OBONBN NOB(33 2, 3) BN 2 1 ( ,2 ) 3 B bbb(3, )Nb BN ykxd 2 1 2 3 3 kbdbb kdb 1 kb 3 d2b BN 1 2 3 ybxb 0y 1 20 3 bxb6x(6,0)D (3,0)C NCxNCOD NDNOBNMONM 4. 如图， 已知抛物线的对称轴为直线， 且抛物线与轴交于、两点， 与轴交于点，其中，. (1)若直线经过、两点，求直线 和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点 的 坐标； (3)设点为抛物线的对称轴 上的一
11、个动点，求使为直角三角形的点的坐标. 【解答】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为.(2)；(3)的坐标为 或或或. 【解析】(1)依题意得：，解得：， 抛物线的解析式为. 对称轴为，且抛物线经过，把、分别代入直线， 得，解之得：，直线的解析式为. 2 (0)yaxbxc a1x x AB y C (1,0)A(0,3)C ymxn BCBC 1xMMACM P1xBPCP 2 23yxx 3yx=+( 1,2)M P ( 1, 2) ( 1,4) 317 ( 1,) 2 317 ( 1,) 2 1 2 0 3 b a abc c 1 2 3 a b c 2 23yxx 1x1,0A3,0B
12、 0,3C ymxn 30 3 mn n 1 3 m n ymxn3yx (2)直线与对称轴的交点为 ，则此时的值最小，把代入直线得 ，.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为； (3)设，又 ， ， 若点为直角顶点，则，即：解得：， 若点为直角顶点，则，即：解得：， 若点为直角顶点，则，即：解得：， ，综上所述的坐标为或或或. 5. 如图，已知抛物线 yax2bxc(a0)的对称轴为直线 x1，且抛物线经过 A(1，0)，C(0，3)两点， 抛物线与 x 轴的另一交点为 B (1)若直线 ymxn 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； (2)设点 P 为抛物线的对称轴
13、 x1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标 【解答】(1)yx3， yx22x3；(2)(1，2)或(1，4)或(1，) 或(1，) 【解析】(1)抛物线 yax2bxc(a0)的对称轴为直线 x1，且抛物线经过 A(1，0)，抛物线与 x 轴的 另一交点为 B，B 的坐标为：(3，0)， 设抛物线的解析式为：ya(x1)(x3)， 把 C(0，3)代入，3a3，解得：a1， 抛物线的解析式为：y(x1)(x3)x22x3； BC1xMMAMC1x 3yx 2y 1,2M MACM1,2 1,Pt3,0B 0,3C 2 18BC 2 222 1 34PBtt 22 22 1
14、3610PCttt B 222 BCPBPC 22 184610ttt2t C 222 BCPCPB 22 186104ttt4t P 222 PBPCBC 22 461018ttt 1 317 2 t 2 317 2 t P 1, 2 1,4 317 1, 2 317 1, 2 317 2 317 2 把 B(3，0)，C(0，3)代入 ymxn 得：，解得：， 直线 ymxn 的解析式为：yx3； (2)设 P(1，t)，又B(3，0)，C(0，3)， BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10， 若点 B 为直角顶点，则 BC2PB2PC2，即：184t
15、2t26t10，解之得：t2； 若点 C 为直角顶点，则 BC2PC2PB2，即：18t26t104t2，解之得：t4， 若点 P 为直角顶点，则 PB2PC2BC2，即：4t2t26t1018， 解得：t1，t2 ； 综上所述 P 的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，) 或(1，) 6. 已知：如图，抛物线 yax2bxc 与坐标轴分别交于点 A(0，6)，B(6，0)，C(2，0)，点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点 (1)求抛物线的解析式； (2)过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AB 于点 D，再过点 P 做 PEx 轴交抛物线于点 E，连结 DE，请问是否存 在点 P
16、使PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 30 3 mn n 1 3 m n 317 2 317 2 317 2 317 2 【解答】(1)抛物线解析式为 yx22x6；(2)点 P(4，6) 【解析】(1)抛物线过点 B(6，0)、C(2，0)， 设抛物线解析式为 ya(x6)(x2)， 将点 A(0，6)代入，得：12a6，解得：a， 所以抛物线解析式为 y(x6)(x2)x22x6； (2)PDE 为等腰直角三角形，则 PEPD， 点 P(m，m22m6)， 函数的对称轴为：x2，则点 E 的横坐标为：4m，则 PE|2m4|， 即m22m6m6|2m4
17、|， 解得：m4 或2 或 5或 5(舍去2 和 5) 故点 P 的坐标为：(4，6)或(5，35) 7. 如图，已知直线与抛物线相交于 A，B 两点，且点 A(1，4)为抛物线的顶 点，点 B 在 x 轴上 (1)求抛物线的解析式； (2)若点 Q 是 y 轴上一点，且ABQ 为直角三角形，求点 Q 的坐标 【解答】(1)；(2)Q 点坐标为(0， )或(0，)或(0，1)或(0，3). 【解析】(1)把 A(1，4)代入 ykx6，得 k2，y2x6， 令 y0，解得：x3，B 的坐标是(3，0) A 为顶点，设抛物线的解析为 ya(x1)24， 把 B(3，0)代入得：4a40，解得 a
18、1， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 171717 1717 ykx6 2 yaxbxc 2 yx2x3 7 2 3 2 y(x1)24x22x3 (2)如图，当Q1AB90 时，DAQ1DOB， ，即，DQ1， OQ1，即 Q1(0， )； 如图，当Q2BA90 时，BOQ2DOB， ，即， OQ2，即 Q2 (0，)； 如图，当AQ3B90 时，作 AEy 轴于 E， 则BOQ3Q3EA， ，即 OQ324OQ330，OQ31 或 3， 即 Q3(0，1)，Q4(0，3) 综上，Q 点坐标为(0，)或(0，)或(0，1)或(0，3) 8. 如图，已知直线 AB 经过点(0，
19、4)，与抛物线 yx2交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标是 (1)求这条直线的函数关系式及点 B 的坐标 (2)在 x 轴上是否存在点 C，使得ABC 是直角三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若不存在请说明理由 1 DQAD ODDB 5 6 1 3 5 DQ5 2 7 2 7 2 2 OQOB ODOB 2 3 63 OQ 3 2 3 2 3 3 OQOB Q EAE 3 3 3 41 OQ OQ 7 2 3 2 1 4 2 【解答】(1)直线 yx4，点 B 的坐标为(8，16)；(2)点 C 的坐标为(，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0) 【解析】(1)点 A 是直线与抛
20、物线的交点，且横坐标为2，,A 点的坐标为(2，1)， 设直线的函数关系式为 ykxb，将(0，4)，(2，1)代入得， 解得，yx4， 直线与抛物线相交， 解得：x2 或 x8，当 x8 时，y16，点 B 的坐标为(8，16)； (2)存在由 A(2，1)，B(8，16)可求得 AB2325， .设点 C(m，0)，同理可得 AC2(m2)212m24m5， BC2(m8)2162m216m320， 若BAC90 ，则 AB2AC2BC2，即 325m24m5m216m320，解得 m ； 若ACB90 ，则 AB2AC2BC2，即 325m24m5m216m320，解得 m0 或 m6；
21、 若ABC90 ，则 AB2BC2AC2，即 m24m5m216m320325，解得 m32， 点 C 的坐标为(，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0). 9. 已知如图，抛物线 yx2bxc 过点 A(3，0)，B(1，0)，交 y 轴于点 C，点 P 是该抛物线上一动点，点 P 从 C 点沿抛物线向 A 点运动(点 P 不与点 A 重合)，过点 P 作 PDy 轴交直线 AC 于点 D (1)求抛物线的解析式； (2)求点 P 在运动的过程中线段 PD 长度的最大值； (3)APD 能否构成直角三角形？若能请直接写出点 P 坐标，若不能请说明理由； 3 2 1 2 2 1 ( 2)1
22、 4 y 4 21 b kb 3 2 4 k b 3 2 2 31 4 24 xx 22 (82)(161)+- 1 2 1 2 【解答】(1)yx24x3；(2)；(3)点 P(1，0)或(2，1) 【解析】(1)抛物线 yx2bxc 过点 A(3，0)，B(1，0)， ，解得， 抛物线解析式为 yx24x3； (2)令 x0，则 y3， 点 C(0，3)，则直线 AC 的解析式为 yx3，设点 P(x，x24x3) PDy 轴，点 D(x，x3)， PD(x3)(x24x3)x23x(x)2 a10，当 x时，线段 PD 的长度有最大值； (3)APD 是直角时，点 P 与点 B 重合，此
23、时，点 P(1，0)， yx24x3(x2)21，抛物线的顶点坐标为(2，1) A(3，0)，点 P 为在抛物线顶点时，PAD45 45 90 ，此时，点 P(2，1) 综上所述：点 P(1，0)或(2，1)时，APD 能构成直角三角形. 10. 如图 1，已知抛物线 yx3 与 x 轴交于 A 和 B 两点，(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C (1)求出直线 BC 的解析式 (2)M 为线段 BC 上方抛物线上一动点，过 M 作 x 轴的垂线交 BC 于 H，过 M 作 MQBC 于 Q，求出MHQ 周长最大值并求出此时 M 的坐标；当MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点 R
24、，使|ARMR|最大，求出此 时 R 的坐标 (3)T 为线段 BC 上一动点，将OCT 沿边 OT 翻折得到OCT，是否存在点 T 使OCT 与OBC 的重叠部分 为直角三角形，若存在请求出 BT 的长，若不存在，请说明理由 9 4 930 10 bc bc 4 3 b c 3 2 9 4 3 2 9 4 2 33 84 x 【解答】(1)yx3；(2)R(1，)；(3)BT2 或 BT 【解析】(1)令 y0，即，解得， 点 A 在点 B 的左侧A(2，0)，B(4，0)， 令 x0 解得 y3，C(0，3)， 设 BC 所在直线的解析式为 ykx3，将 B 点坐标代入解得 k，BC 的解
25、析式为 yx3； (2)MQBC，过 M 作 x 轴垂线，QMHCBO， tanQMHtanCBO，QHQM，MHMQ， MHQ 周长MQQHMHQMQMMQ3QM， 则求MHQ 周长的最大值，即为求 QM 的最大值； 设 M(m，)， 过点 M 与 BC 直线垂直的直线解析式为， 直线 BC 与其垂线相交的交点， ， 当 m2 时，MQ 有最大值，MHQ 周长的最大值为，此时 M(2，3)， 函数的对称轴为 x1，作点 M 关于对称轴的对称点 M(0，3)， 连接 AM与对称轴交于点 R，此时|ARMR|ARMR|AM， |ARMR|的最大值为 AM；AM的直线解析式为 yx3，R(1，)；
26、 3 4 9 2 16 5 2 33 30 84 xx 12 2,4xx 3 4 3 4 3 4 3 4 5 4 3 4 5 4 2 33 3 84 mm 2 437 3 3812 yxmm 22 972721 ,3 5025200100 Qmmmm 2 3 =4 10 MQmm 6 5 18 5 3 2 9 2 (3)当 TCOC 时，GOTC， OCTOTC，BT2； 当 OTBC 时，过点 T 作 THx 轴，OT， BOTBCO，OH， BT； 综上所述：BT2 或 BT 3 412 = 55 OG 12 6 55 T ， 12 5 3 = 12 5 5 c O oBOT H s36 25 36 48 25 25 T ， 16 5 16 5