1、平行四边形存在性问题巩固练习平行四边形存在性问题巩固练习(基础基础) 1. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，顶点为 P，如果以点 P、A、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标 【解答】D1(2， 7)、D2(4， 1)、D3(2， 1). 【解析】P、A、C 三点是确定的，过PAC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，就会产 生 3 个符合条件的点 D，如图所示： 由 yx22x3(x1)24，得 A(3，0)，C(0， 3)，P(1， 4) 由于 A(3，0) C(0，
2、3)，所以 P(1， 4) D1(2， 7) 由于 C(0， 3) A(3，0)，所以 P(1， 4) D2(4， 1) 由于 P(1， 4) C(0， 3)，所以 A(3，0) D3(2， 1) 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A、B 两点，点 M 在这条抛物线 上，点 P 在 y 轴上，如果以点 P、M、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标 【解答】M(2，3)、(4，5)、(4，21) 【解析】在 P、M、A、B 四个点中，A、B 是确定的，以 AB 为分类标准 由 yx22x3(x1)(x3)，得 A(1，0)，B(3，0) 如
3、图 1，当 AB 是平行四边形的对角线时，PM 与 AB 互相平分，因此点 M 与点 P 关于 AB 的中点(1，0) 对称，所以点 M 的横坐标为 2此时 M(2，3) 如图 2，图 3，当 AB 是平行四边形的边时，PMAB，PM AB4 所以点 M 的横坐标为 4 或4所以 M (4，5)或(4，21) 3. 如图，已知抛物线与轴的负半轴交于点 C，点 E 的坐标为，点 N 在抛物 线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M、N，使得以点 M、N、C、E 为顶点的四边形是平 行四边形？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解答】或或. 【解析】在抛物线中，当
4、时，解得， 即抛物线与轴交于两点， 点 N 在抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上， 若四边形 CMEN 是平行四边形，则 CE 与 MN 互相平分， M 是抛物线的顶点，即； 若四边形 CEMN 是平行四边形，则， M 的横坐标为 2，当时，即； M 的纵坐标为，当时，即； 不存在满足条件的四边形 CMNE、四边形 CNME、四边形 CNEM 是平行四边形， 满足条件的点 M 的坐标为或或. 4. 若平面内两点，其两点间的距离例如：已知 A(3，1)，B(5，2)，则这两点间的距离已知 A(3，1)，B(5，2)，C(4， 4) (1)聪明的你能判定ABC 的形状吗？并说明理由 (2)若以点
5、 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 D 的坐标 【解答】(1)见解析；(2)点 D 的坐标为(4，1)或(6，5)或(2，3) 【解析】(1)能判定ABC 的形状，ABC 是等腰直角三角形；理由如下： 由题意可得， ， ABBC，ABC 是等腰直角三角形； (2)如图所示： 当 AB 为对角线时，ADBC， A(3，1)，B(5，2)，C(4，4)， 把点 B 向下平移 3 个单位，再向左平移 1 个单位，得到点 D， 二点 D 的坐标为(4，1)； 当 BC 为对角线时，ABCD， A(3，1)，B(5，2)，C(4，4)， 把点 B 向上平移 3 个单位，再向右平
6、移 1 个单位，得到点 D， 点 D的坐标为(6，5)； 当 AC 为对角线时，ADBC， A(3，1)，B(5，2)，C(4，4)， 把点 A 向上平移 2 个单位，再向左平移 1 个单位，得到点 D， 二点 D的坐标为(2，3)； 综上所述，点 D 的坐标为(4，1)或(6，5)或(2，3). 5. 如图，等边ABC 的边长为 8，动点 M 从点 B 出发，沿 BACB 的方向以每秒 3 个单位长度的速 度运动，动点 N 从点 C 出发沿 CABC 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动. (1)若动点 M、N 同时出发，经过几秒第一次相遇？ (2)若动点 M、 N 同时出发， 且其中一点
7、到达终点时， 另一点即停止运动。 在ABC 的边上是否存在一点 D， 使得以点 A、M、N、D 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间 t 及点 D 的具体位置； 若不存在，请说明理由。 【解答】(1)；(2)见解析 【解析】(1)由题意得：3t2t16，解得； (2)当时，点 M、N、D 的位置如图所示： 四边形 ANDM 为平行四边形， DMAN，DMAN， MDCABC60， ABC 为等腰三角形， C60 MDCC， MDMC MCBNANBN8，即：3t2t8， 此时点 D 在 BC 上，且； 当时，此时 A、M、N 三点在同一直线上，不能构成平行四边形； 当时，点 M
8、、N、D 的位置如图所示： 四边形 ANDM 为平行四边形， DNAM，AMDN， MDBACB60， ABC 为等腰三角形，B60， MDBB，MDMB， MBNCANCN8，3t82t88，解得：， 此时点 D 在 BC 上，且； 当时，点 M、N、D 的位置如图所示： 则 BN162t，BM243t， 由题意可知：BNM 为等边三角形， BNBM，即：2t83t16，解得 t8，此时 M、N 重合，不能构成平行四边形. 6. 如图 1，OA2，OB4，以 A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰 RtABC. (1)求 C 点的坐标 (2)如图 2，在平面内是否存在一点 H，使得以 A、
9、C、B、H 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写 出 H 点坐标；若不存在，请说明理由. 【解答】(1)C(6，2)；(2)点 H 的坐标为 【解析】过点 C 作 CDx 轴，如图所示： ABC 是等腰直角三角形， ACAB，CAB90， DACDCA90，DACOAB90， DACOAB，且 ACAB，CDAAOB90， DBAO(AAS)， OACD2，ADOB4， OD6， 点 C(6，2)， (2)设点 H(x，y)， OA2，OB4， A(2，0)，点 B(0，4)， 若四边形 ABHC 是平行四边形， AH 与 BC 互相平分， ， ， 若四边形 CAHB 是平行四边形 AB 与 CH 互相平分， ， ， 综上，点 H 的坐标为.