1、正方形存在性问题巩固练习正方形存在性问题巩固练习(提优提优) 1 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，B90，AB8，AD24，BC32，点 P 从 A 点出发，以 1cm/s 的速度向 D 运动， 点 Q 从 C 点同时出发， 以 3cm/s 的速度向 B 运动， 规定其中一个动点到达端点时， 另一个动点，也随之停止运动 (1)从运动开始，两点运动多长时间时，PQCD？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形 ABQP 恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存 在，说明理由 【解答】(1)t10；(2)t8 时，四边形 ABQP 是正方形 【解析】(1)分两种情况： 当 P、
2、Q 运动到 P1DQ1C，P1D 平行且等于 Q1C，如图所示： 此时四边形 P1DCQ1是平行四边形，此时 P1Q1CD 设运动时间为 t 秒，则 AP1t，P1D24t，CQ13t，BQ1323t， P1DCQ1， 24t3t， 解得 t6， 即 t6 时，P1Q1CD； 当 P、Q 运动到 P2，Q2时，过 D，P2分别作 DHBC 于 H，P2GBC 于 G，如图所示： 当 Q2GHC8 时，P2Q2GDCH，此时 P2Q2CD CQ2CH+HG+GQ2CH+DP2+GQ2， 3t8+(24t)+8， 解得 t10 综上所述，从运动开始，两点运动 6 秒或 10 秒时，PQCD； (2
3、)假设存在某个时间，使得四边形 ABQP 恰好为正方形 如图B90，ADBC， 当 APBQ 时，四边形 ABQP 为矩形， 即 t323t，解得 t8， 此时 APAB8， 矩形 ABQP 为正方形， 所以当 t8 时，四边形 ABQP 是正方形 2 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x、y 轴于点 A、B，直线 BC 分别交 x、y 轴于点 C、B， 点 A 的坐标为(2，0)，ABO30，且 ABBC (1)求直线 BC 和 AB 的解析式； (2)将点 B 沿某条直线折叠到点 O，折痕分别交 BC、BA 于点 E、D，在 x 轴上是否存在点 F，使得点 D、E、 F 为顶点
4、的三角形是以 DE 为斜边的直角三角形？若存在，请求出 F 点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与 B、C 两点构成的四边形是正方形？若存在，请 直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】 (1)直线 AB 的解析式为， 直线 BC 的解析式为； (2)F 坐标为( 2，0)或(0，0)；(3)M(3，3+)，N(3，3) 【解析】(1)在 RtAOB 中，OA2，ABO30， OB， 在 RtOBC 中，BCO30，OB， OC6， B(0，)，C(6，0)， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b，则有， 解得， 直线 AB 的解析式
5、为， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b则有， 解得， 直线 BC 的解析式为 (2)如图，根据对称性可知，当点 F 与 O 重合时，EFDEBD90，此时 F(0，0)， 设 DE 交 OB 于 K，作 FHDE 于 H当EFDDFE 时，EFDDFE90， 易证 DKEH1，DEAC4， KHOF422， F(2，0)， 综上所述，满足条件的点 F 坐标为(2，0)或(0，0) (3)如图 2 中， B(0，)，C(6，0)， BC4， 当 BC 为正方形 BCMN 的边时， M(62， 6)， N(2， 2+6)或 M(26， 6)， N(2， 26) 当 BC 为正方形的对角线时，M
6、(3，3+)，N(3，3) 3 已知：如图，在ABC 中，ABAC5cm，BC6cm点 P 从点 B 出发，沿 BC 方向匀速运动，速度 为 1cm/s； 同时，点 Q 从点 A 出发， 沿 AC 方向匀速运动， 速度为 1cm/s 过点 P 作 PMBC 交 AB 于点 M， 过点 Q 作 QNBC，垂足为点 N，连接 MQ，设运动时间为 t(s)(0t3)解答下列问题： (1)当 t 为何值时，点 M 是边 AB 中点？ (2)设四边形 PNQM 的面积为 y(cm2)，求 y 与 t 的函数关系式； (3)是否存在某一时刻 t，使 S四边形PNQM：SABC4：9？若存在，求出 t 的值
7、；若不存在，请说明理由 (4)是否存在某一时刻 t，使四边形 PNQM 为正方形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 【解答】(1)；(2)yS四边形PNQMt2+6(0t5)；(3)t；(4)不存在 【解析】(1)过点 A 作 ADBC 于 D， ABAC5，BC6， BDCD3，AD4， PMBC， PMAD， ， 点 M 是 AB 的中点， BMAB， BPt， ，； (2)BB，MPBADB90， MBPABD， ， ， ， 同理：QCNACD， ， CQ5t， ， QN(5t)4t，CN3T， PN6t3+ t， yS四边形PNQM(MP+QN)PN(t+4t)(3t)t2
8、+6(0t5)； (3)存在，理由：假设存在 t，使 S四边形PNQM：SABC4：9， ySABC， SABCBCAD12， ， t(舍)或 t， 即：存在时间 t秒时，S四边形PNQM：SABC4：9， (4)不存在，理由：假设存在，使四边形 PNQM 为正方形， PMQN，PMPN， 当 PMQN 时，t4t， t， PMt，PN3t， PMPN， 不存在某一时刻 t，使四边形 PNQM 为正方形 4 在平面直角坐标系中，直线 AB 的解析式为 y2x+12，点 C 是线段 AB 的中点 (1)如图，求直线 OC 的解析式； (2)点 D 从点 O 出发，沿射线 OC 方向运动，速度为每
9、秒个单位，过点 D 作 x 轴的垂线，交直线 AB 于 点 E，设EDC 的面积为 S，点 D 的运动时间为 t，写出 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； (3)在(2)的条件下，当点 D 运动时间恰好为 2 秒时，点 P 为直线 AD 上的动点，在平面内，是否存在点 Q， 使以点 O，A，P，Q 为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)y2x；(2)S2t212t+18(t0 且 t3)；(3)Q1(6，6)，Q2(3，3) 【解析】(1)直线 AB 的解析式为 y2x+12， 当 y0 时，2x+120，解得 x6，即
10、 A(6，0)， 当 x0 时，y12，即 B(0，12)， 点 C 是线段 AB 的中点， 点 C 坐标为(3，6) 设直线 OC 的解析式为 ykx， 则 3k6，解得 k2， 故直线 OC 的解析式为 y2x； (2)，点 D 从点 O 出发，沿射线 OC 方向运动，速度为每秒个单位， 点 D 运动到点 C 所需时间为：(秒) 设 EDx 轴于点 M OC 为直角ABC 斜边 AB 的中线， OCAC， DOMOAB 在直角DOM 中，ODt， OMODcosDOMODcosOAB， DMODsinDOMODsinOAB， D(t，2t)， E(t，2t+12) 如图，分两种情况： 当
11、0t3 时，D 在线段 OC 上， DE2t+122t4t+12，C 到 DE 的距离为：3t， SCDE(4t+12)(3t)2t212t+18， 即 S2t212t+18； 当 t3 时，D 线段 OC 的延长线上， DE2t(2t+12)4t12，C 到 DE 的距离为：t3， SCDE(4t12)(t3)2t212t+18， 即 S2t212t+18； 综上所述，S 与 t 的函数关系式为 S2t212t+18(t0 且 t3)； (3)当点 D 运动时间为 2 秒时，OD，D(2，4) 设直线 AD 的解析式为 ymx+n， A(6，0)，D(2，4)， ，解得， 直线 AD 的解析
12、式为 yx+6， 直线 AD 与 y 轴交点为(0，6) 以点 O，A，P，Q 为顶点的四边形为正方形时，分两种情况： 如果 OA 为正方形的边，如图，作正方形 OP1Q1A，则 P1为直线 AD 与 y 轴交点，如图所示： OAOP16，OAQ190， Q1点的坐标为(6，6)； 如果 OA 为正方形的对角线，设 OA 中点为 N，则 N(3，0)， 当 x3 时，y3+63 作 OA 的垂直平分线 l，交直线 AD 于点 P2，如图所示： 则 P2点的坐标为(3，3)，在 l 上截取 NQ2NP2， 则四边形 OP2AQ2是正方形，此时 Q2点的坐标为(3，3) 综上所述，所求 Q 点的坐
13、标为 Q1(6，6)，Q2(3，3) 5 如图 1，在 RtABC 中，ACBRt，sinB，AB10，点 D 以每秒 5 个单位长度的速度从点 B 处沿沿射线 BC 方向运动， 点 F 以相同的速度从点 A 出发沿边 AB 向点 B 运动， 当 F 运动至点 B 时， 点 D、 E 同时停止运动，设点 D 运动时间为 t 秒 (1)用含 t 的代数式分别表示线段 BD 和 BF 的长度则 BD ，BF (2)设BDF 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数表达式 (3)如图 2，以 DF 为对角线作正方形 DEFG，在运动过程中，是否存在正方形 DEFG 的一边恰好落在 Rt ABC 的一边
14、上，若存在，求出所有符合条件的 t 值；若不存在，请说明理由 【解答】(1)BD5t，BF105t；(2)St2+15t；(3)ts 或s 或s 或s 时，正方形 DEFG 的 一边恰好落在 RtABC 的一边上 【解析】(1)在 RtABC 中，AB10，tanB， AC6，BC8 由题意 BD5t，BF105t， (2)如图 1 中，作 FMBC 于 M FMAC， ， ， FM(105t)63t， SBDFM5t(63t)t2+15t (3)如图 2 中，当 DE 在 BC 边上时，作 FMAC 于 M 易知 FMEC4t，AM3t，CMEFDE63t， BD+DE+EC8， 5t+63
15、t+4t8， ts 如图 3 中，当 FG 在 AB 边上时， 易知 DGFG3t，BG4t， BG+FG+AF10， 4t+3t+5t10， ts 如图 4 中，当 DG 在 BC 边上上时， 易知 FGDG63t，BG84t， BDBG+DG5t， 84t+63t5t， ts 如图 5 中，当 EF 在边 AB 上时， 易知 BE4t，DEEF3t， BEEFBF， 4t3t105t，ts 综上所述，ts 或s 或s 或s 时，正方形 DEFG 的一边恰好落在 RtABC 的一边上 6 如图，直线 L1：yx+1 与直线 L2：yx+5 相交于点 C 直线 L1与 x 轴相交于点 A，直线
16、 L2与 x 轴相 交于点 B (1)求三角形 ABC 的面积； (2)若经过点 C 的一条直线交 x 轴于 D，直线 CD 把三角形 ABC 分成两个三角形，且这两个三角形面积的比 为 1：2，请直接写出点 D 的坐标； (3)假设 G 是直线 yx+1 上的点，在坐标平面上是否存在一点 Q，使以 A，B，Q，G 为顶点的四边形是正 方形，若存在求出点 Q 的坐标，若不存在请说明理由 【解答】(1)SABC9；(2)D(1，0)或 D(3，0)；(3)Q(1，6)或 Q(2，3) 【解析】(1)在 yx+1 中， 当 y0 时，则 x1，A(1，0) 在 yx+5 中 当 y0 时，则 x5
17、，B(5，0) ABOA+OB6， 由，解得， C(2，3) 作 CEx 轴于 E E(2，0)CE3 SABC ABCE639， (2)由题意 A(1，0)，B(5，0)，AD2BD 或 BD2AD， 可得 D(1，0)或 D(3，0) (3)设 yx+1 交 y 轴于 F，则 F(0，1) OFOA，OAF45， 同理ABC45， ACB90，CACB， 在 L1上取点 G(G 异于 A)，且 CGCA， 在 L2上取点 Q(Q 异于 B)，且 CQCB CGCACQCB， 又AGBQ，四边形 ABGQ 为正方形， 又A(1，0)，ABAQ6 Q(1，6) 当 G 与 C 重合时， 以 A
18、B 为对称轴作 G 的对称点 Q，于是四边形 AQBG 为正方形 又G(2，3)， Q(2，3) 综合上述：Q(1，6)或 Q(2，3) 7 如图，边长为 5 的正方形 OABC 的顶点 O 在坐标原点处，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 E 是 OA 边上的点(不与点 A 重合)EFCE，且与正方形外角平分线 AG 交于点 P (1)求证：CEEP (2)若点 E 坐标为(3，0)时 在 y 轴上是否存在点 M 使得四边形 BMEP 是平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理 由 在平面内是否存在点 Q，使四边形 CEPQ 为正方形，若存在，请直接写出 Q 点
19、坐标，若不存在，说明理 由 【解答】(1)见解析；(2)M(0，2)，Q(5，8) 【解析】(1)证明：如图 1，在 OC 上截取 OKOE连接 EK， OCOA，COABAO90，OEKOKE45， AP 为正方形 OCBA 的外角平分线， BAP45， EKCPAE135， CKEA， ECEP， CEFCOE90， CEO+KCE90，CEO+PEA90， KCEPEA， 在CKE 和EAP 中， ， CKEEAP(ASA)， ECEP； (2)y 轴上存在点 M，使得四边形 BMEP 是平行四边形 如图 2，过点 B 作 BMPE 交 y 轴于点 M，连接 BP，EM， 则CQBCEP
20、90， 所以OCECBQ， 在BCM 和COE 中， ， BCMCOE(ASA)， BMCE， CEEP， BMEP BMEP， 四边形 BMEP 是平行四边形， BCMCOE， CMOE3， OMCOCM2 故点 M 的坐标为(0，2) 如图 3，存在点 Q 使四边形 CEPQ 是正方形， 过点 Q 作 QHy 轴于点 Q，则QHCCOE90， HQC+HCQ90， QCE90， HCQ+ECO90， ECOHQC， 四边形 CEPQ 是正方形， CQEC， HCQOEC(AAS)， HCOE3，HQOC5， 则 HO8， 点 Q 的坐标为(5，8) 8 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1
21、：yx+4 分别交 x、y 轴于 B、A 两点，将AOB 沿直线 l2： y2x折叠，使点 B 落在点 C 处 (1)点 C 的坐标为 ； (2)若点 D 沿射线 BA 运动，连接 OD，当CDB 与CDO 面积相等时，求直线 OD 的解析式； (3)在(2)的条件下，当点 D 在第一象限时，沿 x 轴平移直线 OD，分别交 x，y 轴于点 E，F，在平面直角坐 标系中，是否存在点 M(m，3)和点 P，使四边形 EFMP 为正方形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在， 说明理由 【解答】(1)(0，3)；(2)y2x或y2x；(3)点 P(3，1) 【解析】(1)直线 l1：分别交 x、y
22、 轴于 B、A 两点，则点 A、B 的坐标分别为：(0，4)、(6，0)， 设直线 l2与 y 轴交于点 H(0，)，则， 则 CHBH，则 OCHCOH， 故答案为：(0，3)； (2)点 D 在第一象限时， CDB 与CDO 面积相等， CDOB， 点 D 的纵坐标为 3， 当 y3 时，x+43， 解得：x， 点 D 的坐标为(，3)， 直线 OD 的解析式为：y2x； 点 D 在第二象限时，AC431 设点 D 到 y 轴的距离为 a， 则 SCDBSCDA+SCAB 1a+16 a+3， CDB 与CDO 面积相等， a+33a， 解得 a3， 点 D 的横坐标为3， 当 x3 时，
23、y(3)+46， 点 D 的坐标为(3，6)， 直线 OD 的解析式为：y2x； (3)存在，理由： 设直线 OD 平移后的解析式为 y2x+b， 令 y0，则 2x+b0，解得 xb， 令 x0，则 yb， 所以 OEb，OFb， 过点 M 作 MNy 轴于 N，过点 P 作 PQx 轴于 Q，如图所示： 四边形 EFMP 为正方形， MNFFOEEQP， MNOFEQ，NFOEPQ， M(m，3)， ONb+b3， 解得 b2， OE1，OF2， OQOE+QE1+23， M(2，3)，P(3，1) 故存在点 M(2，3)和点 P(3，1)，使四边形 EFMP 为正方形 9 如图，对称轴为
24、直线 x的抛物线经过点 A(6，0)和 B(0，4) (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)设点 E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形，求四 边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (3)当四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断 OEAF 是否为菱形？ 是否存在点 E，使四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)，；(2)S4(x)2+25(1x6)；(3)是，不存在 【解析】(1)由题可设抛物线的解析式为 ya(x)2+k， 抛物
25、线经过点 A(6，0)和 B(0，4)， ，解得， 抛物线的解析式为，此时顶点坐标为， (2)过点 E 作 EHOA，垂足为 H，如图 1， 由0 得 x11，x26 点 E(x，y)是抛物线上位于第四象限一动点， 1x6，y0 四边形 OEAF 是平行四边形， OAEAOF S2SOAE2OAEHOAEH 6y 6(x)2 4(x)2+25 四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式为 S4(x)2+25，其中 1x6 (3)当 S24 时，4(x)2+2524，解得 x14，x23 当 x4 时，y(4)24，则点 E(4，4) 过点 E 作 EHx 轴，垂足为 H，如图 2，
26、 则有 OH4，EH4，AH2 EHx 轴， OE，AE OEAE 平行四边形 OEAF 不是菱形 当 x3 时，y(3)24，则点 E(3，4) 过点 E 作 EHx 轴，垂足为 H，如图 3， 则有 OH3，EH4，AH3 EHx 轴， OE5，AE5 OEAE 平行四边形 OEAF 是菱形 综上所述；当点 E 为(4，4)时，平行四边形 OEAF 不是菱形；当点 E 为(3，4)时，平行四边形 OEAF 是 菱形 不存在点 E，使四边形 OEAF 为正方形 理由如下： 当点 E 在线段 OA 的垂直平分线上时，EOEA，则平行四边形 OEAF 是菱形，如图 4， 此时，xE3，yE4，点 E 为(3，4) 则有 OA6，EF8 OAEF， 菱形 OEAF 不是正方形 不存在点 E，使四边形 OEAF 为正方形