1、三角形综合练习题三角形综合练习题 1 如图，ABC 中，ABAC，点 F 为 AC 的中点，D 为 BF 的延长线上一点，且BDCBAC，E 为 CD 的延长线上一点，且 ADAE，下列结论：AD 平分BDE；CD2DF；BFDF+DE；SABC 2S四边形AEDF其中结论正确的个数是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】D 【解析】BDCBAC，A、B、C、D 四点共圆， ADBACB，ADEABC， ABAC， ABCACB， ADBADE， AD 平分BDE，正确； 点 F 为 AC 的中点， ABAC， AFCFACAB， BAFCDF，ABFDCF， ABFDCF，
2、 2， CD2DF，正确； ADAE， ADEE， ADBADE， ADBE， 在ABD 和ACE 中， ABDACE(AAS)， BDCE， BDBF+DF，CECD+DE2DF+DE， BF+DF2DF+DE， BFDF+DE，正确； 作 AGDE 于 G，AHDF 于 H，如图所示： AD 平分BDE， AGAH， S四边形AEDFSADE+SADFDEAG+DFAHAH(DE+DF) AHBFSABF， AFCF， SABC2SABF， SABC2S四边形AEDF正确； 结论正确的个数是 4 个， 故选：D 2 如图，矩形 ABCD 中，CE 平分BCD 交 AD 于 F，AECE 于
3、 E，连 BE 交 AD 于 N，连 BD 交 CE 于 M，若 CECB，则下列结论：AEFCDF；N 为 BE 的黄金分割点；SMBC(3+2)SNEA； BDBE；其中正确结论个数是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】C 【解析】如图， 四边形 ABCD 是矩形， ABCB，ADBC，CBDABCADCBAD90，ADBC CE 平分BCD 交 AD 于 F， DCFBCF45， AFECFDBCF45， AECF， AEFCDF90， CECB， CBECEB(18045)67.5， AEBABE， AEABCD， 在AEF 和CDF 中，AEFCDF，所以正确；
4、AEFCDF， EAF45， 过点 E 作 EGAD， 设 EGx， AGx，AEABDFCDx，AF2x EGAB， ， N 不是 BE 的黄金分割点； 所以错误； EGAB， ， AGx， AN(2)x， SNEAANEGx2， CFAFx，EFx， BCCE(+2)x， 过点 M 作 MPCD， ， CDPC+PDx， PCx， SBMCBCPCx2， SMBC(3+2)SNEA； 所以正确； 过点 E 作 EHAB 交 BA 延长线于 H，四边形 AGEH 是正方形， AHHEEGx， 在 RtBHE 中，BHAB+AH(+1)x，EHx， BE2BH2+HE2(4+2)x22(2+)
5、x2， 在 RtBCD 中，CDx，BC(2+)x， BD2BC2+CD2(8+4)x24(2+)x22BE2， BDBE； 所以正确， 即：正确的有共 3 个， 故选：C 3 等边三角形 ABC 中，AB3，点 D 在直线 BC 上，点 E 在直线 AC 上，且BADCBE，当 BD1 时，则 AE 的长为 【解答】2 或 4 或或 【解析】分四种情形： 如图 1 中，当点 D 在边 BC 上，点 E 在边 AC 上时 ABC 是等边三角形， ABBCAC3，ABDBCE60， BADCBE， ABDBCE(ASA)， BDEC1， AEACEC2 如图 2 中，当点 D 在边 BC 上，点
6、 E 在 AC 的延长线上时作 EFAB 交 BC 的延长线于 F CEFCAB60，ECFACB60， ECF 是等边三角形，设 ECCFEFx， ABDBFE60，BADFBE， ABDBFE， ， ， ， AEAC+CE， 如图 3 中，当点 D 在 CB 的延长线上，点 E 在 AC 的延长线上时 ABDBCE120，ABBC，BADFBE， ABDBCE(ASA)， ECBD1， AEAC+EC4 如图 4 中，当点 D 在 CB 的延长线上，点 E 在边 AC 上时作 EFAB 交 BC 于 F，则EFC 是等边三角 形 设 ECEFCFm， 由ABDBFE，可得， ， ， AEA
7、CEC， 综上所述，满足条件的 AE 的值为 2 或 4 或或 4 如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD12，E 为边 AB 上一点，AE2，P、Q 分别为边 AD、BC 上的 两点，且PEQ45，若EPQ 为等腰三角形，则 AP 的长为 【解答】AP6 或 AP10 或 【解析】(1)如图 1，当 PEPQ 时，作 QFAD，则四边形 ABQF 是矩形，可得 QFAB6 APFQEPQ90， APE+QPF90，APE+AEP90， AEPQPF， PEPQ， AEPFPQ(AAS)， APFQ6； (2)如图 2，当 QEQP 时，作 PFBC，则四边形 ABFP 是矩形，可得 PFA
8、B6， 同法可得：BEQFQP(AAS)， BEFQ4，BQFP6， APBF10； (3)如图 3，当 EPEQ 时，作 PMPE 交 EQ 的延长线于点 M，作 MFAD 于点 F，MF 交 BC 于点 H EPEQ，BEMH， ， ， 同法可得AEPFPM(AAS)， 综合(1)、(2)、(3)可知：AP6 或 AP10 或 5 如图三角形 ABC 中，AB3，AC4，以 BC 为边向三角形外作等边三角形 BCD，连 AD，则当BAC 度时，AD 有最大值 【解答】120，7 【解析】如图，在直线 AC 的上方作等边三角形OAC，连接 OD BCD，AOC 都是等边三角形， CACO，C
9、BCD，ACOBCD， ACBOCD， 在ACB 和OCD 中， ， ACBOCD， ODAB3， 点 D 的运动轨迹是以 O 为圆心 OD 长为半径的圆， 当 D、O、A 共线时，AD 的值最大，最大值为 OA+OD4+37 ACBOCD， CABDOC， 当 D、O、A 共线时，DOC18060120， 当BAC120 度时，AD 有最大值为 7 6 如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，CD 是 AB 边上的中线，点 E 为线段 CD 上一点(不与点 C、D 重合)，连接 BE，作 EFBE 与 AC 的延长线交于点 F，与 BC 交于点 G，连接 BF (1)求证：CFGEBG；
10、(2)求EFB 的度数； (3)求的值 【解答】(1)见解析；(2)EFB45；(3) 【解析】(1)证明：ACB90，EFBE， FCGBEG90， 又CGFEGB， CFGEBG； (2)由(1)得CFGEBG， ， ， 又CGEFGB， CGEFGB， EFBECGACB45； (3)过点 F 作 FHCD 交 DC 的延长线于点 H， 由(2)知，BEF 是等腰直角三角形， EFBE， FEH+DEB90，EBD+DEB90， FEHEBD， 在FEH 和EBD 中， ， FEHEBD(AAS)， FHED， FCHACD45，CHF90， CFHCFH45， CHFH， 在 RtCF
11、H 中， CFDE， 7 如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的斜边 AB 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，ACB90，OC、OB 的长分别是一元二次方程 x26x+80 的两个根，且 OCOB (1)求点 A 的坐标； (2)点 D 在线段 AB 上，由点 A 向 B 运动(点 D 不与 A，B 重合)过点 D 的直线 l 与 y 轴平行，直线 l 交边 AC 或边 BC 于点 P，设点 D 的横坐标为 t，线段 DP 的长为 d，求 d 关于 t 的函数解析式； (3)如图，在 x 轴上是否存在点 E 使得ACE 为等腰三角形？若存在，请直接写出 E 点的坐标，若不存在， 请说明理由
12、 【解答】 (1)A(1， 0)； (2)； (3)E 点的坐标为(1， 0)或(1， 0)或(1， 0)或(，0) 【解析】(1)解方程 x26x+80， 得 x12，x24， OC、OB 的长分别是一元二次方程 x26x+80 的两个根，OCOB， OC2，OB4， ACBAOC90， ACO+BCOACO+CAO， CAOBCO，又AOCBOC90， AOCCOB， ，即， 解得，OA1， 点 A 的坐标为(1，0)； (2)由(1)可知，C(0，2)，B(4，0)，A(1，0)， 设直线 AC 解析式为 ykx+b， 则，解得， 直线 AC 解析式为 y2x+2， 同理可求得直线 BC
13、 解析式为 yx+2， 当点 D 在线段 OA 上时，即1t0 时，则点 P 在直线 AC 上， P 点坐标为(t，2t+2)， d2t+2； 当点 D 在线段 OB 上时，即 0t4 时，则点 P 在直线 BC 上， P 点坐标为(t，t+2)， dt+2； 综上可知 d 关于 t 的函数关系式为； (3)由勾股定理得， 当 ACAE，点 E 在点 A 的左侧时，E 点的坐标为(1，0)， 当 ACAE，点 E 在点 A 的右侧时，E 点的坐标为(1，0)， 当 CACE 时，COAE， OEOA1， E 点的坐标为(1，0)， 当 EAEC 时，如图，OEEAOAEC1， 在 RtCOE
14、中，EC2OE2+OC2，即 EC2(EC1)2+22， 解得，EC， OE1， E 点的坐标为(，0)， 综上所述，ACE 为等腰三角形时，E 点的坐标为(1，0)或(1，0)或(1，0)或(，0) 8 如图， ABC 是边长为 2 的等边三角形， 点 D 与点 B 分别位于直线 AC 的两侧， 且 ADAC， 连结 BD、 CD，BD 交直线 AC 于点 E (1)当CAD90时，求线段 AE 的长 (2)过点 A 作 AHCD，垂足为点 H，直线 AH 交 BD 于点 F， 当CAD120时，设 AEx，y(其中 SBCE表示BCE 的面积，SAEF表示AEF 的面积)， 求 y 关于
15、x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 当时，请直接写出线段 AE 的长 【解答】(1)AE；(2)y(0 x2)；AE 的长为 1 或 【解析】(1)ABC 是等边三角形， ABBCAC2，BACABCACB60 ADAC， ADAB， ABDADB， ABD+ADB+BAC+CAD180，CAD90，ABD15， EBC45 过点 E 作 EGBC，垂足为点 G 设 AEx，则 EC2x 在 RtCGE 中，ACB60， EGECsinACB(2x)，CGECcosACB1x， BG2CG1+ x， 在 RtBGE 中，EBC45， ， 解得 x 线段 AE 的长是 (2)设ABD，则
16、BDA，DACBADBAC1202 ADAC，AHCD， CAFDAC60， 又AEF60+， AFE60， AFEACB， 又AEFBEC， AEFBEC， ， 由(1)得在 RtCGE 中，BG， BE2BG2+EG2x22x+4， y(0 x2) 当CAD120时， y，则有， 整理得 3x2+x20， 解得 x或1(舍去)， AE 当 120CAD180时，同法可得 y， 当 y时， 整理得 3x2x20， 解得 x(舍去)或 1， AE1 综合以上可得 AE 的长为 1 或 9 如图，点 O 是等边ABC 内一点，AOB110，BOC以 OC 为一边作等边三角形 OCD，连 接 AC
17、、AD (1)若 120，判断 OB+OD BD；(填“，或”) (2)当 150，试判断AOD 的形状，并说明理由； (3)探究：当 时，AOD 是等腰三角形(请直接写出答案) 【解答】(1)；(2)直角三角形；(3)110或 125或 140 【解析】(1)ODC 是等边三角形， DOC60， BOC120， BOC+COD180， B，O，D 共线， OB+ODBD， 故答案为 (2)结论：ADO 是直角三角形 理由：OCD 是等边三角形， OCCD， 而ABC 是等边三角形， BCAC， ACBOCD60， BCOACD， 在BOC 与ADC 中， ， BOCADC(SAS)， BOC
18、ADC， 而BOC150，ODC60， ADO1506090， ADO 是直角三角形 (3)设CBOCADx，ABOy，BAOz，CAOm， 则 x+y60，y+z18011070，z+m60， ym10， (60 x)m10， x+m50， 即DAO50， 要使 AOAD，需AODADO， 19060， 125； 要使 OAOD，需OADADO， 6050， 110； 要使 ODAD，需OADAOD， 19050， 140 所以当 为 110或 125或 140时，三角形 AOD 是等腰三角形 10定义：如果一个三角形一边上的中线与这条边上的高线之比为，那么称这个三角形为“神奇三角 形” (
19、1)已知：RtABC 中，ACB90 当 ACBC 时，求证：ABC 是“神奇三角形” ； 当 ACBC 时，且ABC 是“神奇三角形” ，求 tanA 的值； (2)如图，在ABC 中， ABAC， CD 是 AB 边上的中线， 若DCB45， 求证：ABC 是 “神奇三角形” 【解答】(1)见解析，；(2)见解析 【解析】(1)证明：如图 1，作 AC 边上的中线 BM， 设 CMAMa，则 BCAC2a， ACB90， ， ， ABC 是“神奇三角形” ； 当 AC 边上的中线与 AC 边上的高的比为时， 设 BMa，BC2a， ACB90， ， AC2a， ACBC，不合题意，舍去；
20、同理，当 BC 边上的中线与 BC 边上的高的比为时，也不符合题意，舍去； 当 AB 边上的中线与 AB 边上的高的比为时， 当 BCAC 时，如图 2，作 AB 边上的中线 CM，作 AB 边上的高线 CD， 设 CMa，CD2a，则 DMa， ACB90， CMABAM， AD(1)a， ， 当 BCAC 时，如图 3，作 AB 边上的中线 CM，作 AB 边上的高线 CD， 同理可得，tanA 综合可得 tanA 的值为或 (2)证明：如图 4，作 CHAB 于点 H，AEBC 于点 E，AE 交 CD 于 K，连接 BK， ABAC， E 是 BC 的中点， CD 是 AB 边上的中线， 点 K 是ABC 的重心， KC2DK， AE 是 BC 的垂直平分线， KCKB， KBCKCB45， CKB90， 即 BKCD， tanCDH2， ， ABC 是“神奇三角形”