1、2020 年福建省福州市鼓楼区中考数学适应性试卷年福建省福州市鼓楼区中考数学适应性试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）若等式（5）50 成立，则内的运算符号为（ ） A+ B C D 2 （4 分）2019 年被称为中国的 5G 元年，如果运用 5G 技术下载一个 4.8M 的短视频，大约只需要 0.000096 秒，将数字 0.000096 用科学记数法表示应为（ ） A0.9610 4 B9.610 3 C9.610 5 D9610 6 3 （4 分）下列式子运算正确的是（ ） At+tt2 B （3x2）39x5 Cm8m4m2 D
2、2 （a5）2a+10 4 （4 分）如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图） ，这个几何体的表面能展开成下面的哪个 平面图形？（ ） A B C D 5 （4 分） “微信运动“是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号，用户通过该公众号 可查看自己某时间段的运动情况某人根据 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程（单位：十 公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图下列结论错误的是（ ） A1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小 B月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数 C月跑步里程最大值出现在 10 月 D月跑
3、步里程逐月增加 6 （4 分） 九章算术中的方程问题： “五只雀、六只燕，共重 1 斤（等于 16 两） ，雀重燕轻互换其中一 只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为 x 两，y 两，列方程组 为（ ） A B C D 7 （4 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 ECDB30，O 的半径为 6cm则弦 CD 的 长为（ ） A3cm B6cm C3cm D6cm 8 （4 分）如图，数轴上 O、A、B、C 四点，若数轴上有一点 M，点 M 所表示的数为 m且|m+5|mc|， 则关于 M 点的位置，下列叙述正确的是（ ） A在 A 点左侧 B在线
4、段 AC 上 C在线段 OC 上 D在线段 OB 上 9 （4 分）如图，将四边形纸片 ABCD 沿 MN 折叠，若1+2130，则B+C（ ） A115 B130 C135 D150 10 （4 分）已知抛物线 yx2mx+c（m0）过两点 A（x0，y0）和 B（x1，y1） ，若 x01x1，且 x0+x1 3则 y0与 y1的大小关系为（ ） Ay0y1 By0y1 Cy0y1 D不能确定 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 11 （4 分）因式分解：5y35y 12 （4 分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线” ，是根据斐
5、波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在 许多斐波那契螺旋线图案，下列四张分别画有斐波那契螺旋线图案的卡片，它们的背面完全相同现将 它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图案恰好是中心对称图形的概率是 13 （4 分）解方程 5（x2）6（） 有以下四个步骤，其中第步的依据是 解：去括号，得 5x103x2 移项，得 5x3x102 合并同类项，得 2x8 系数化为 1，得 x4 14（4分） 圆锥的母线长为9cm， 底面圆的直径为6cm， 那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 15 （4 分）在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 O，A 的坐标分别是（0，0） ， （3，4） ，顶点
6、 C 在 y 轴正半轴上，则顶点 B 的坐标是 16 （4 分） 如图， 四边形 ABCD 内接于O， 延长 AD 交 BC 延长线于点 E 延长 BA 交 CD 延长线于点 F 连 接 EF，BD若点 A、C 分别为 BF、BE 的中点，且 BD2则 EF 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8 分）计算： （） 3+| 2|2sin45 18 （8 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形AEBCAFCD垂足分别为 E，F且 BEDF 求证：四边形 ABCD 是菱形 19 （8 分）先化简，再求值：+1a，其中 atan601 20 （8 分）学校为
7、了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和学习机经投标，购买 1 台平板电脑 比购买 2 台学习机便宜 600 元，购买 3 台平板电脑和 2 台学习机共需 4600 元 （1）求购买 1 台平板电脑和 1 台学习机各需多少元？ （2） “6.18”品牌特卖，每台平板电脑在原价基础上打 9 折：学校根据实际情况，决定购买平板电脑和 学习机共 100 台，其中平板电脑至少购买 20 台且不超过学习机的数量若学校购买的总费用少于 8.23 万元请通过计算帮学校决策可以购买的方案有哪几种？ 21 （8 分）如图，AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点 E （1）若点 D 在 AC 上
8、，连接 DE，且 ADDE，求证：DE 是O 的切线； （2）若 CE1BE3，求ACB 的度数 22 （10 分）如图，已知ABC 中，ABC30，ACB15，AC+1 （1）请用尺规作出ABC 关于直线 AB 对称图形ABD（保留作图痕迹，不写作法） ： （2）在（1）的条件下，连接 CD，将ACD 绕点 D 顺时针方向旋转 60得到DEF（点 A、C 的对应 点分别为点 E、F） ，连接 AE交 BD 于点 M请补全图形，并求出 EM 的长 23 （10 分）某商家为了解店里进价均为每个 18 元的某商品的盈利情况，对这一商品 40 天的销售情况进行 统计 售价（单位：元） 26 24
9、23 日销量（单位：个） 10 15 20 （1）若日销售量不低于 15 件则称当日为“畅销日” 认为“畅销日”天数占总天数的比例不低于 70% 是否合理？请说明理由 （2）若商家每晚 19：0021：00 雇佣一名大学生做兼职客服预计日销量可提高 30%，但需支付客服 每晚 30 元，那么增加客服后是否会提高日平均利润？请说明理由 24 （12 分）如用，两个大小不同的矩形放在同一平面内，这两个矩形的长与宽之比均为且有一个公 共顶点 B，矩形 BEFG 的顶点 E 在矩形 ABCD 的对角线 AC 上，ADAB，EFEB，连接 CGEG，交 BC 于点 H （1）当点 E 为 AC 中点时，
10、求证：BCG 为等边三角形； （2）若 AE3，CE7求的值 25 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（m，n）为反比例函数 y（k1，x0）图象上一动点， 连接 OP将 OP 绕点 O 顺时针旋转，点 P 的对应点 Q 恰好落在该函数图象上连接 PQ，直线 PQ 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点 （1）OAB 的度数为 ， 当 m1，且BOPOABAOQ 时，求 OP 在旋转过程中扫过的面积 （2）当m2 时，点 P 始终不在直线 l：y（k+1）x+7 的下方，求 k 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分
11、，共 40 分）分） 1 （4 分）若等式（5）50 成立，则内的运算符号为（ ） A+ B C D 【分析】利用运算法则判断即可 【解答】解：根据题意得：5+50， 故选：A 2 （4 分）2019 年被称为中国的 5G 元年，如果运用 5G 技术下载一个 4.8M 的短视频，大约只需要 0.000096 秒，将数字 0.000096 用科学记数法表示应为（ ） A0.9610 4 B9.610 3 C9.610 5 D9610 6 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负整数指数幂， 指数由原数左边起第一个
12、不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.0000969.610 5， 故选：C 3 （4 分）下列式子运算正确的是（ ） At+tt2 B （3x2）39x5 Cm8m4m2 D2 （a5）2a+10 【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及去括号法 则逐一判断即可 【解答】解：At+t2t，故本选项不合题意； B （3x2）327x6，故本选项不合题意； Cm8m4m4，故本选项不合题意； D2 （a5）2a+10，故本选项符合题意 故选：D 4 （4 分）如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图） ，这个几何体的表面能展开成下面
13、的哪个 平面图形？（ ） A B C D 【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱，进一步由 展开图的特征选择答案即可 【解答】解：主视图和左视图都是长方形， 此几何体为柱体， 俯视图是一个圆， 此几何体为圆柱， 因此图 A 是圆柱的展开图 故选：A 5 （4 分） “微信运动“是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号，用户通过该公众号 可查看自己某时间段的运动情况某人根据 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程（单位：十 公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图下列结论错误的是（ ） A1 月至 5 月的月跑
14、步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小 B月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数 C月跑步里程最大值出现在 10 月 D月跑步里程逐月增加 【分析】根据题意，依次分析选项，即可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 在 A 中，1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小，故 A 选项正确； 在 B 中，月跑步里程高峰期大致在 9 月、10 月，从小到大排列为： 2 月，8 月，3 月，4 月，1 月，5 月，7 月，6 月，11 月，9 月，10 月， 所以月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数， 故 B 选项正确； 在 C 中，月跑步里程最大值出现在
15、10 月，故 C 选项正确； 在 D 中，2 月跑步里程比 1 月小，8 月跑步里程比 7 月小，11 月跑步里程比 10 月小，故 D 选项错误 故选：D 6 （4 分） 九章算术中的方程问题： “五只雀、六只燕，共重 1 斤（等于 16 两） ，雀重燕轻互换其中一 只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为 x 两，y 两，列方程组 为（ ） A B C D 【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， ， 故选：C 7 （4 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 ECDB30，O 的半径为 6cm则弦 C
16、D 的 长为（ ） A3cm B6cm C3cm D6cm 【分析】由圆周角定理得出COB60，由垂径定理得出 CEDE，由含 30角的直角三角形的性质 得 OEOC3cm，CEOE3cm，即可得出 CD 的长 【解答】解：CDB30， COB2CDB60， CDAB，O 的半径为 6cm， CEDE，OCE906030，OC6cm， OEOC3cm，CEOE3cm， CD2CE6cm； 故选：D 8 （4 分）如图，数轴上 O、A、B、C 四点，若数轴上有一点 M，点 M 所表示的数为 m且|m+5|mc|， 则关于 M 点的位置，下列叙述正确的是（ ） A在 A 点左侧 B在线段 AC 上
17、 C在线段 OC 上 D在线段 OB 上 【分析】根据 A、C、O、B 四点在数轴上的位置以及绝对值的定义即可得出答案 【解答】 |m+5|表示点 M 与5 表示的点 A 之间的距离， |mc|表示点 M 与数 c 表示的点 C 之间的距离， |m+5|mc|， MAMC 点 M 在线段 AC 上 故选：B 9 （4 分）如图，将四边形纸片 ABCD 沿 MN 折叠，若1+2130，则B+C（ ） A115 B130 C135 D150 【分析】先根据1+2130得出AMN+DNM 的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论 【解答】解：1+2130， AMN+DNM115 A+D+（AMN+D
18、NM）360，A+D+（B+C）360， B+CAMN+DNM115 故选：A 10 （4 分）已知抛物线 yx2mx+c（m0）过两点 A（x0，y0）和 B（x1，y1） ，若 x01x1，且 x0+x1 3则 y0与 y1的大小关系为（ ） Ay0y1 By0y1 Cy0y1 D不能确定 【分析】由抛物线解析式可知开口向上，对称轴为直线 x1，然后根据二次函数的性质判断即可 【解答】解：抛物线 yx2mx+c（m0）中，m0， 抛物线开口向上，对称轴为 x1， x01x1， A 点在对称轴的左侧，B 点在对称轴的右侧， 若 y0y1，则 x111x0，此时 x0+x12，不合题意； 若
19、y0y1，则 x111x0，此时 x0+x12，不合题意； 若 y0y1，则 x111x0，此时 x0+x12，符合题意； 故选：A 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 11 （4 分）因式分解：5y35y 5y（y+1） （y1） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式5y（y21） 5y（y+1） （y1） 故答案为：5y（y+1） （y1） 12 （4 分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线” ，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在 许多斐波那契螺旋线图案，下列四张分别画有斐波那契螺旋线图
20、案的卡片，它们的背面完全相同现将 它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图案恰好是中心对称图形的概率是 【分析】先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可 【解答】解：四张卡片中中心对称图形从左往右数第 2 个是中心对称图形， 卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率为， 故答案为： 13 （4 分）解方程 5（x2）6（） 有以下四个步骤，其中第步的依据是 乘法分配律 解：去括号，得 5x103x2 移项，得 5x3x102 合并同类项，得 2x8 系数化为 1，得 x4 【分析】解决此题应先去括号，再移项，移项时要注意符号的变化 【解答】解：第步去括号的依据是：乘法分配律 故答
21、案是：乘法分配律 14（4分） 圆锥的母线长为9cm， 底面圆的直径为6cm， 那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 120 【分析】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面的周长列式计算即可 【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 n， 根据题意得，6， 解得，n120， 这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 120， 故答案为：120 15 （4 分）在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 O，A 的坐标分别是（0，0） ， （3，4） ，顶点 C 在 y 轴正半轴上，则顶点 B 的坐标是 （3，9） 【分析】延长 BA 交 x 轴于 D，依据菱形的性质，即可得到 BD 和 O
22、D 的长，进而得出点 B 的坐标 【解答】解：如图所示，延长 BA 交 x 轴于 D， 四边形 ABCO 是菱形， ABCO， BDOD， 顶点 O，A 的坐标分别是（0，0） ， （3，4） ， OD3，AD4，AO5， AB5，BD9， 点 B 的坐标为（3，9） ， 故答案为： （3，9） 16 （4 分） 如图， 四边形 ABCD 内接于O， 延长 AD 交 BC 延长线于点 E 延长 BA 交 CD 延长线于点 F 连 接 EF，BD若点 A、C 分别为 BF、BE 的中点，且 BD2则 EF 2 【分析】 连接 AC， 由三角形中位线定理得 ACEF， EF2AC， 再证FDBFA
23、C， 得， 然后证点 D 为BEF 的重心，则 DFCF，得，即可解决问题 【解答】解：连接 AC，如图所示： 点 A、C 分别为 BF、BE 的中点， AFBF，AC 是BEF 的中位线， ACEF，EF2AC， ABDACD，DFBAFC， FDBFAC， ， 点 A、C 分别为 BF、BE的中点， 点 D 为BEF 的重心， DFCF， ， BFCF， ， ， 即， 解得：AC， EF2AC2， 故答案为：2 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8 分）计算： （） 3+| 2|2sin45 【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、特殊
24、角的三角函数值分别化简得出答案 【解答】解：原式8+22 8+2 102 18 （8 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形AEBCAFCD垂足分别为 E，F且 BEDF 求证：四边形 ABCD 是菱形 【分析】证AEBAFD（AAS） ，由全等三角形的性质得出 ABAD，即可解决问题 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BD， AEBC，AFCD， AEBAFD90， 在AEB 和AFD 中， AEBAFD（AAS） ， ABAD， 四边形 ABCD 是菱形； 19 （8 分）先化简，再求值：+1a，其中 atan601 【分析】先将原式按照分式的混合运算的法则化简，再将 at
25、an601 变形后代入，计算即可得出答 案 【解答】解：原式（a+1）+1a + atan601， a+1tan60， 原式 20 （8 分）学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和学习机经投标，购买 1 台平板电脑 比购买 2 台学习机便宜 600 元，购买 3 台平板电脑和 2 台学习机共需 4600 元 （1）求购买 1 台平板电脑和 1 台学习机各需多少元？ （2） “6.18”品牌特卖，每台平板电脑在原价基础上打 9 折：学校根据实际情况，决定购买平板电脑和 学习机共 100 台，其中平板电脑至少购买 20 台且不超过学习机的数量若学校购买的总费用少于 8.23 万元请通过
26、计算帮学校决策可以购买的方案有哪几种？ 【分析】 （1）设购买 1 台平板电脑需 x 元，购买 1 台学习机需 y 元，根据“购买 1 台平板电脑比购买 2 台学习机便宜 600 元，购买 3 台平板电脑和 2 台学习机共需 4600 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方 程组，解之即可得出结论； （2）设学校购买 m 台平板电脑，则购买（100m）台学习机，根据平板电脑至少购买 20 台且不超过学 习机的数量以及购买的总费用少于 8.23 万元，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围，再结合 m 为正整数，即可得出各购买方案 【解答】解： （1）设购买 1
27、台平板电脑需 x 元，购买 1 台学习机需 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：购买 1 台平板电脑需 1000 元，购买 1 台学习机需 800 元 （2）设学校购买 m 台平板电脑，则购买（100m）台学习机， 依题意，得：， 解得：20m23 m 为正整数， m 可以取 20，21，22，23， 学校共有 4 种购买方案，方案 1：购买 20 台平板电脑，80 台学习机；方案 2：购买 21 台平板电脑， 79 台学习机；方案 3：购买 22 台平板电脑，78 台学习机；方案 4：购买 23 台平板电脑，77 台学习机 21 （8 分）如图，AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交
28、O 与点 E （1）若点 D 在 AC 上，连接 DE，且 ADDE，求证：DE 是O 的切线； （2）若 CE1BE3，求ACB 的度数 【分析】 （1）连接 OE，AE，根据切线的性质与判定即可求出答案 （2） 易证CAEABE， 所以 AE2CEBE， 求出 AE， 根据锐角三角函数的定义即可求出答案 【解答】解： （1）连接 OE，AE， ADDE，OAOE， DAEDEA，OAEOEA， AC 是O 的切线， BAC90， DAE+OAEDEA+OEA90， OE 是O 的半径， DE 是O 的切线 （2）AB 是O 的直径， AEB90， C+CAECAE+BAE90， CBAE，
29、 CAEABE， AE2CEBE， AE213， AE， 在 RtACE 中， tanACE， ACE60 22 （10 分）如图，已知ABC 中，ABC30，ACB15，AC+1 （1）请用尺规作出ABC 关于直线 AB 对称图形ABD（保留作图痕迹，不写作法） ： （2）在（1）的条件下，连接 CD，将ACD 绕点 D 顺时针方向旋转 60得到DEF（点 A、C 的对应 点分别为点 E、F） ，连接 AE交 BD 于点 M请补全图形，并求出 EM 的长 【分析】 （1）分别以点 A、B 为圆心，AC、BC 长为半径画弧，两弧交于点 D，连接 AD、BD，即可作出 ABC 关于直线 AB 对
30、称图形ABD； （2） 根据对称性和旋转的性质可得ADC、DEF 是等腰直角三角形， ADE、 BDC 为等边三角形， ABM 和AEB 是顶角是 30的等腰三角形， 所以ABMAEB， 再根据以上条件和相似三角形对应 边成比例可得 AB、AM 的长，进而可得 EM 的长 【解答】解： （1）如图，ABD 为所作； （2）如图，ABC30，ACB15， BAC135， ABC 关于直线 AB 对称图形ABD， ABDABC30，BADBAC135，BDBC，ADAC+1， BCD 为等边三角形， BCDBDC60，DCDB， ADCACD45， ADC 是等腰直角三角形， ACD 绕点 D 顺
31、时针方向旋转 60得到DEF， F 点与 B 点重合，ADE60，DEDA，DBEDCA45，BECA+1， ADE 为等边三角形，DEF 是等腰直角三角形， DAE60， BAE75，EBA75， ABM30， AMB75， ABM 和AEB 是顶角是 30的等腰三角形， ABMAEB， ， DEF 是等腰直角三角形，DE+1， BD（+1）+， DGAGBD（+） ， BGDG（3+） ， ABBGAG（3+）（+）， ， AM1， EMAEAM（+1）（1）2 则 EM 的长为 2 23 （10 分）某商家为了解店里进价均为每个 18 元的某商品的盈利情况，对这一商品 40 天的销售情况
32、进行 统计 售价（单位：元） 26 24 23 日销量（单位：个） 10 15 20 （1）若日销售量不低于 15 件则称当日为“畅销日” 认为“畅销日”天数占总天数的比例不低于 70% 是否合理？请说明理由 （2）若商家每晚 19：0021：00 雇佣一名大学生做兼职客服预计日销量可提高 30%，但需支付客服 每晚 30 元，那么增加客服后是否会提高日平均利润？请说明理由 【分析】 （1）根据题意列式计算即可； （2）计算出雇佣大学生做兼职客服前日平均利润为 89（元） ；雇佣大学生做兼职客服后平均利润为 85.7 （元） ，于是得到结论 【解答】解： （1）合理， 理由：畅销日”天数占总天
33、数的比例70%， 故合理； （2）雇佣大学生做兼职客服前日利润情况为：10（2618）80，15（2418）90，20（23 18）100， 日平均利润为：89（元） ； 雇佣大学生做兼职客服后日利润情况为：10（1+30%）（2618）3074， 15（1+30%）（2418）3087， 20（1+30%）（2318）30100， 日平均利润为：85.7（元） ， 即增加客服后不会提高日平均利润 24 （12 分）如用，两个大小不同的矩形放在同一平面内，这两个矩形的长与宽之比均为且有一个公 共顶点 B，矩形 BEFG 的顶点 E 在矩形 ABCD 的对角线 AC 上，ADAB，EFEB，连接
34、 CGEG，交 BC 于点 H （1）当点 E 为 AC 中点时，求证：BCG 为等边三角形； （2）若 AE3，CE7求的值 【分析】 （1）由锐角三角函数可求A60，由直角三角形的性质可得 AEBE，可得ABE 是等边三 角形，可得ABE60，BABE，即可得结论； （2）通过证明BHEGHC，可得，由相似三角形的性质和勾股定理分别求出 BE，GC 的 长，即可求解 【解答】解： （1）由题意可得 BCAB，BGBE， tanA， A60， 同理可得GEB60， 点 E 为 AC 中点，ABC90， AEBE， ABE 是等边三角形， ABE60，BABE， BGBC， ABCEBG90，
35、 ABECBG60， BCG 是等边三角形； （2）ABEG60， BCEBGE30， 点 E，点 B，点 G，点 C 四点共圆， BCGBEG60，EBHCGH， BHEGHC， ， BCGA60，ABECBG， ABECBG， ， ， CG3， ECGBCE+BCG90， EG2， EGB30， BE， 25 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（m，n）为反比例函数 y（k1，x0）图象上一动点， 连接 OP将 OP 绕点 O 顺时针旋转，点 P 的对应点 Q 恰好落在该函数图象上连接 PQ，直线 PQ 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点 （1）OAB 的度数为 45
36、， 当 m1，且BOPOABAOQ 时，求 OP 在旋转过程中扫过的面积 （2）当m2 时，点 P 始终不在直线 l：y（k+1）x+7 的下方，求 k 的取值范围 【分析】 （1）过点 P 作 PMOB 于 M，过点 Q 作 QNOA 于 N，由“SAS”可证PMOQNO， 可得POMQON，由“ASA”可证OPBOQA，可得 OBOA，即可求解； 先求出 OP2的值，再由扇形的面积公式可求解； （2）先求出直线与反比例函数图象只有一个交点时，k 的值，即可解 【解答】解： （1）过点 P 作 PMOB 于 M，过点 Q 作 QNOA 于 N， 由双曲线的对称性质知，P、Q 两点关于直线 y
37、x 对称， P（m，n） ， Q（n，m） ， PMQNm，OMONn， PMOQNO90， PMOQNO（SAS） ， POMQON， OPOQ， OPQOQP， OPBOQA， OPBOQA（ASA） ， OBOA， OAB45 故答案为 45； 过点 O 作 OHPQ 于 H 当 m1 时，P（1，n） ，Q（n，1） ， PMQN1， OABOBA45， PBM，QNA 都是等腰直角三角形， PMBMQNAN1，PBAQ， BOPOABAOQ， BOP+AOQ45， POBAOQ， POBAOQ22.5， OPOQ，OHPQ， POHQOH22.5，PHHQ， POMPOH22.5，PMOB，HOPH， PMPH1， PQ2， ONOMn， OAOB1+n ABOA， 2+2（n+1） ， n+1， OMON+1， OP2PM2+OM24+2， OP 在旋转过程中扫过的面积 （2）当 m时，则 3k（k+1）+7， k2， 当 m2 时，则2（k+1）+7， k2， 当 k2 时，直线 l：y（k+1）x+7 与反比例函数的两个交点的横坐标为和 2， 当直线 l：y（k+1）x+7 与反比例函数只有一个交点时， （k+1）x+7， （k+1）x27x+k0， 494k （k+1）0， k1，k2（舍去） ， 当 k时，点 P 始终不在直线 l：y（k+1）x+7 的下方