1、2020 年广东省广州越秀区中考数学一模试卷年广东省广州越秀区中考数学一模试卷(解析版解析版) 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分分.在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目 要求的）要求的） 1四个数 0，1，中，无理数的是（ ） A1 B C0 D 2自新冠肺炎疫情发生以来，全国广大共产党员积极响应党中央的号召，为支持新冠肺炎疫情防控工作踊 跃捐款据统计，截至 3 月 26 日，全国已有 7901 万多名党员自愿捐款共捐款 82.6 亿元将 82.6 亿元 用科学记数法表示为（
2、 ）元 A82.6108 B8.26109 C0.8261010 D8.261010 3下列运算正确的是（ ） A2 Ba3a2a Cm2m3m6 D （2x2）36x6 4如图，由 5 个相同正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（ ） A B C D 5已知点 A（1，3）关于 y 轴的对称点 A在反比例函数 y的图象上，则实数 k 的值为（ ） A3 B C3 D 6已知直线 ab，将一块含 45角的直角三角板（C90）按如图所示的位置摆放，若155， 则2 的度数为（ ） A80 B70 C85 D75 7AB 为O 的直径，延长 AB 到点 P，过点 P 作O 的切线，切点为 C，连接
3、 AC，P40，D 为圆上 一点，则D 的度数为（ ） A25 B30 C35 D40 8如图，在 RtABC 中，BAC90，ADBC 于点 D，AD6，tanB，则 BC 的值为（ ） A B8 C D14 9在下列函数图象上任取不同两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，一定能使0 成立的是（ ） Ay3x1（x0） Byx2+2x1（x0） Cy（x0） Dyx24x1（x0） 10关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+k220 的两根为 x1和 x2，且（x12） （x1x2）0，则 k 的值是（ ） A2 B C2 或 D2 或 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6
4、 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11分解因式：a34a 12在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 13如图，OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，OCD90，COCD， 若 B（1，0） ，则点 C 的坐标为 14当x2 时，函数 y的图象为曲线段 CD，y2xb 的图象分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点， 若曲线段 CD 在AOB 的内部（且与三条边无交点） ，则 b 的取值范围为 15如图，已知圆锥的高为 2，高所在直线与母线的夹角为 30，则圆锥的全面积为 16如图，四边形 ABCD 内接于O，ABAC，ACBD，
5、垂足为 E，点 F 在 BD 的延长线上，且 DFDC， 连接 AF，CF，AF10，BC4则下列结论： BAC2DAC； CA 垂直平分 BF； DE； tanBAD 其中正确的结论是 （写出所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （9 分）解方程组： 18 （9 分）如图，在ABCD 中，AEBC，AFCD，垂足分别为 E，F，且 BEDF （1）求证：ABCD 是菱形； （2）若 AB10，AC12，求ABCD 的面积 19 （10 分
6、）已知代数式 A 满足 A （1）化简 A； （2）若 x23x4，求代数式 A 的值 20 （10 分）某市将开展以“玩转数学”为主题的数学展示活动，我校对 100 名参加选拔赛的同学的成绩按 A，B，C，D 四个等级进行统计，绘制成不完整的统计表和扇形统计图： 成绩等级 频数（人数） 频率 A 4 0.04 B m 0.51 C n D 合计 100 1 （1）求 m ，n ； （2）在扇形统计图中，求“C 等级”所对应扇形的圆心角的度数； （3）成绩等级为 A 的 4 名同学中有 2 名男生和 2 名女生，现从中随机挑选 2 名同学代表学校参加全市 比赛，请用画树状图或列表的方法，求“选
7、出的两名同学中至少有一名是女生”的概率 21 （12 分）2020 年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，全社会积极参 与疫情防控工作，广州市某企业临时增加甲、乙两个厂房参与生产一批口罩，先由甲厂房生产 600 箱口 罩，再由乙厂房完成剩下的生产任务，已知乙厂房生产口罩箱数是甲厂房生产口罩箱数的倍甲厂房 比乙厂房少生产 4 天 （1）求乙厂房生产口罩总箱数； （2）若甲、乙两厂房平均每天生产口罩箱数之比为 5：4，求乙厂房平均每天生产口罩多少箱 22 （12 分）直线 ykx+b 与反比例函数（x0）的图象分别交于点 A（m，4）和点 B（8，n） ，与坐 标轴分别交
8、于点 C 和点 D （1）求直线 AB 的解析式； （2）观察图象，当 x0 时，直接写出的解集； （3）若点 P 是 x 轴上一动点，当COD 与ADP 相似时，求点 P 的坐标 23 （12 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 是上一点，AB13，AC5 （1）尺规作图：作出的中点 D； （保留作图痕迹，不写作法） （2）连接 AD，求 AD 的长； （3）若点 G 为ABC 的内心，连接 DG，求 DG 的长 24 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 在抛物线 yx2+bx+c（b0）上，且 A（1，1） （1）求 b，c 满足的关系式； （2）若该抛物线与 y 轴交
9、于点 B，其对称轴与 x 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，若直线 BC 分四边形 OBDC 的面积的比为 2：3，求二次函数的解析式； （3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，1） ，点 A 的对应点为 A（1m，2b1） ，当 m 1 时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标 25 （14 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 BC 边上一点，以 AE 为直角边作等腰直角AEF，EF 交 DC 于点 G，AF 交 DC 于点 H，连接 EH （1）求证：AHEAHD； （2）若 tanHEG，求的值； （3）若正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在运动过程中，AE
10、H 的面积是否为定值？如果是，请求出定 值；如果不是，请求出AEH 面积的最小值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分分.在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目 要求的）要求的） 1四个数 0，1，中，无理数的是（ ） A1 B C0 D 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整 数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选 择项 【解答】解：0 和 1
11、是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无理数 故选：B 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等；开方开不尽的数； 以及像 0.5757757775（相邻两个 5 之间的 7 的个数逐次加 1）等有这样规律的数 2自新冠肺炎疫情发生以来，全国广大共产党员积极响应党中央的号召，为支持新冠肺炎疫情防控工作踊 跃捐款据统计，截至 3 月 26 日，全国已有 7901 万多名党员自愿捐款共捐款 82.6 亿元将 82.6 亿元 用科学记数法表示为（ ）元 A82.6108 B8.26109 C0.8261010 D8.261010 【分析】科学记数法的表示形式
12、为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：82.6 亿82600000008.26109 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3下列运算正确的是（ ） A2 Ba3a2a Cm2m3m6 D （2x2）36x6 【分析】分别根据算术平方根的定义，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法
13、则以及积的乘方运算法 则逐一判断即可 【解答】解：A.，故本选项不合题意； Ba3a2a，运算正确； Cm2m3m5，故本选项不合题意； D （2x2）38x6，故本选项不合题意 故选：B 【点评】本题主要考查了算术平方根，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则 是解答本题的关键 4如图，由 5 个相同正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据俯视图的意义进行判断即可 【解答】解：选项 A 中的图形比较符合该组合体的俯视图， 故选：A 【点评】本题考查计算组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提 5已知点 A（1，3）关于 y 轴的对称点
14、A在反比例函数 y的图象上，则实数 k 的值为（ ） A3 B C3 D 【分析】根据对称性求出点 A的坐标，把点 A的坐标代入反比例函数 y可求出 k 的值 【解答】解：点 A与点 A（1，3）关于 y 轴的对称， 点 A（1，3） ， 点 A（1，3）在反比例函数 y（k0）的图象上， k（1）（3）3， 故选：A 【点评】本题考查了轴对称的坐标变化、反比例函数图象上点的坐标特征等知识；求出点 A的坐标是 解决问题的关键 6已知直线 ab，将一块含 45角的直角三角板（C90）按如图所示的位置摆放，若155， 则2 的度数为（ ） A80 B70 C85 D75 【分析】想办法求出5 即可
15、解决问题； 【解答】解： 1355，B45， 43+B100， ab， 54100， 2180580， 故选：A 【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活 运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 7AB 为O 的直径，延长 AB 到点 P，过点 P 作O 的切线，切点为 C，连接 AC，P40，D 为圆上 一点，则D 的度数为（ ） A25 B30 C35 D40 【分析】连接 OC，根据切线的性质得到OCP90，证明OCAOACCOP，再根据圆周角 定理得出答案 【解答】证明：连接 OC， PC 为O 的切线， OCP90，即COP+P90，
16、 P40， COP50， OAOC， OCAOACCOP25， DCAO25， 故选：A 【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理，掌握切线的性质定理是解题的关键 8如图，在 RtABC 中，BAC90，ADBC 于点 D，AD6，tanB，则 BC 的值为（ ） A B8 C D14 【分析】解直角三角形分别求出 BD，DC 即可解决问题 【解答】解：BAC90，ADBC， ADB90， B+BAD90，BAD+DAC90， BDAC， tanBtanDAC， ， AD6 BD8，CD， BCBD+CD， 故选：C 【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
17、识，属于中考常 考题型 9在下列函数图象上任取不同两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，一定能使0 成立的是（ ） Ay3x1（x0） Byx2+2x1（x0） Cy（x0） Dyx24x1（x0） 【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可 【解答】解：A、y3x1 中，k30， y 随 x 的增大而增大，即当 x1x2时，必有 y1y2， 当 x0 时，0， 故 A 选项不成立； B、yx2+2x1 的对称轴为直线 x1， 当 0 x1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x1 时 y 随 x 的增大而减小， 当 0 x1 时，当 x1x2时，必有 y1y2， 此时0， 故 B 选项
18、不成立； C、y中，k，则当 x0 时，y 随 x 的增大而增大， 即当 x1x2时，必有 y1y2， 此0， 故 C 选项不成立； D、yx24x1 的对称轴为直线 x2， 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小， 即当 x1x2时，必有 y1y2， 此时0， 故 D 选项成立； 故选：D 【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，需要结合图象去一一分析， 有点难度 10关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+k220 的两根为 x1和 x2，且（x12） （x1x2）0，则 k 的值是（ ） A2 B C2 或 D2 或 【分析】先由（x12） （x1x2）0，得出
19、 x120 或 x1x20，再分两种情况进行讨论：如果 x1 20，将 x2 代入 x2+（2k+1）x+k220，得 4+2（2k+1）+k220，解方程求出 k2；如果 x1x20，那么0，解方程即可求解 【解答】解：（x12） （x1x2）0， x120 或 x1x20 如果 x120，那么 x12， 将 x2 代入 x2+（2k+1）x+k220， 得 4+2（2k+1）+k220， 整理，得 k2+4k+40， 解得 k2； 如果 x1x20， 则（2k+1）24（k22）0 解得：k 所以 k 的值为2 或 故选：D 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意
20、在利用根与系数的关系时，需 用判别式进行检验 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11分解因式：a34a a（a+2） （a2） 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a（a24） a（a+2） （a2） 故答案为：a（a+2） （a2） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 12在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x1 且 x0 【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义， 被开方数大于或等于 0， 分母不等于 0， 可以求出 x 的范围 【解
21、答】解：根据题意得：x+10 且 x0， 解得：x1 且 x0 故答案为：x1 且 x0 【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 13如图，OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，OCD90，COCD， 若 B（1，0） ，则点 C 的坐标为 （1，1） 【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出 A 点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形ABC 和ABC以原点为位似中心，相
22、似比是 k，ABC 上一点的坐标是（x，y） ，则在ABC中， 它的对应点的坐标是（kx，ky）或（kx，ky） ，进而求出即可 【解答】解：OABOCD90，AOAB，COCD，等腰 RtOAB 与等腰 RtOCD 是位似图 形，点 B 的坐标为（1，0） ， BO1，则 AOAB， A（，） ， 等腰 RtOAB 与等腰 RtOCD 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1：2， 点 C 的坐标为： （1，1） 故答案为： （1，1） 【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形 对应点坐标之间的关系是解题的关键 14当x2 时，函数 y的图象
23、为曲线段 CD，y2xb 的图象分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点， 若曲线段 CD 在AOB 的内部（且与三条边无交点） ，则 b 的取值范围为 b 【分析】求出 C、D 两点坐标，再代入一次函数的关系式求出 b 的值，即可确定 b 的取值范围 【解答】解：把 x代入 y得，y2， 把 x2 代入 y得，y， 把（，2）代入 y2xb 得，b3， 把（2，）代入 y2xb 得，b， 因此，b 的取值范围为 b 故答案为：b 【点评】考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法，数形结合则 更直观 15如图，已知圆锥的高为 2，高所在直线与母线的夹角为 30，则
24、圆锥的全面积为 6 【分析】 先利用三角函数计算出 BO， 再利用勾股定理计算出 AB， 然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形， 这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的全面 积 【解答】解：如图，BAO30，AO2， 在 RtABO 中，tanBAO， BO2tan302，即圆锥的底面圆的半径为 2， AB2OB4，即圆锥的母线长为 4， 圆锥的全面积212+226 故答案为 6 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长 16如图，四边形 ABCD 内接于O，ABAC，AC
25、BD，垂足为 E，点 F 在 BD 的延长线上，且 DFDC， 连接 AF，CF，AF10，BC4则下列结论： BAC2DAC； CA 垂直平分 BF； DE； tanBAD 其中正确的结论是 （写出所有正确结论的序号） 【分析】正确，证明ABCADB，ABC （180BAC）90BAC，ADB90 CAD，可得结论 正确，证明 CBCF，可得结论 错误，通过计算可得 DE3 正确，过点 D 作 DHAB 于 H想办法求出 DH，AH，可得结论 【解答】解：ABAC， ，ABCACB， ABCADB，ABC（180BAC）90BAC， BDAC， ADB90CAD， BACCAD， BAC2C
26、AD，故正确， DFDC， DFCDCF， BDC2DFC， BFCBDCBACFBC， CBCF， 又 BDAC， AC 是线段 BF 的中垂线，故正确， ABAF10，AC10 又 BC4， 设 AEx，CE10 x， 由 AB2AE2BC2CE2，得 100 x280（10 x）2， 解得 x6， AE6，BE8，CE4， DE3，故错误， 过点 D 作 DHAB 于 H DBHABE，BHDAEB90， DBHABE， ， ， BH，DH， AHABBH10， tanBAD，故正确 故答案为： 【点评】本题主要考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌
27、握圆周角定理及其推论、勾股定理等知识点 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （9 分）解方程组： 【分析】按照消元法解二元一次方程组的步骤解答即可 【解答】 解：2，得 2x2y2， +，得 5x10， 解得：x2， 把 x2 代入，得 y1， 原方程组的解为 【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法或加减消元法的步骤是解决问题的关 键 18 （9 分）如图，在ABCD 中，AEBC，AFCD，垂足分别为 E，F，且 BEDF （1）求证：A
28、BCD 是菱形； （2）若 AB10，AC12，求ABCD 的面积 【分析】 （1）利用全等三角形的性质证明 ABAD 即可解决问题； （2）连接 BD 交 AC 于 O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BD， AEBC，AFCD， AEBAFD90， 在AEB 和AFD 中， ， AEBAFD（ASA） ， ABAD， 四边形 ABCD 是菱形； （2）解：连接 BD 交 AC 于 O， 四边形 ABCD 是菱形，AC12， ACBD， AOOCAC126， AB10，AO6， BO8， BD2BO16， S平行四边形ABCDA
29、CBD96 【点评】本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据 全等三角形的判定证得AEBAFD 19 （10 分）已知代数式 A 满足 A （1）化简 A； （2）若 x23x4，求代数式 A 的值 【分析】 （1）先对的分子和分母因式分解后进行约分，然后先算括号里，最后把括号外的除法 运算转化为乘法运算即可； （2）先解方程 x23x4 求出 x 的值，再判断 x 的取值是否使原分式有意义，代入使原分式有意义的 x 的值计算即可 【解答】解： （1）原式 ； （2）解方程 x23x4 得： x14，x21， 当 x1 时，原分式没有意义， 当 x4
30、时，A 【点评】本题考查了分式的化简求值，因式分解是解决化简求值问题的重要方法 20 （10 分）某市将开展以“玩转数学”为主题的数学展示活动，我校对 100 名参加选拔赛的同学的成绩按 A，B，C，D 四个等级进行统计，绘制成不完整的统计表和扇形统计图： 成绩等级 频数（人数） 频率 A 4 0.04 B m 0.51 C n D 合计 100 1 （1）求 m 51 ，n 30 ； （2）在扇形统计图中，求“C 等级”所对应扇形的圆心角的度数； （3）成绩等级为 A 的 4 名同学中有 2 名男生和 2 名女生，现从中随机挑选 2 名同学代表学校参加全市 比赛，请用画树状图或列表的方法，求
31、“选出的两名同学中至少有一名是女生”的概率 【分析】 （1）由 A 的人数和其所占的百分比即可求出总人数，由此即可解决问题； （2）由总人数求出 C 等级人数，根据其占被调查人数的百分比可求出其所对应扇形的圆心角的度数； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好选出的两名同学中至少有一名是女生的情况数，即可求出 所求的概率 【解答】解： （1）参加本次比赛的学生有：40.04100（人） ； m0.5110051（人） ，D 组人数10015%15（人） ， n1004511530（人） ， 故答案为：51，30； （2）B 等级的学生共有：504208216（人） ， 所占的百分比为：16
32、5032%， C 等级所对应扇形的圆心角度数为：36030%108； （3）由题意可得，树状图如下图所示， 选出的两名同学中至少有一名是女生的概率是 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比也考查 了统计图 21 （12 分）2020 年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，全社会积极参 与疫情防控工作，广州市某企业临时增加甲、乙两个厂房参与生产一批口罩，先由甲厂房生产 600 箱口 罩，再由乙厂房完成剩下的生产任务，已知乙厂房生产口罩箱数是甲
33、厂房生产口罩箱数的倍甲厂房 比乙厂房少生产 4 天 （1）求乙厂房生产口罩总箱数； （2）若甲、乙两厂房平均每天生产口罩箱数之比为 5：4，求乙厂房平均每天生产口罩多少箱 【分析】 （1）由乙厂房生产口罩箱数是甲厂房生产口罩箱数的倍，列式计算即可； （2）设甲厂房平均每天生产口罩 5x 箱，则乙厂房平均每天生产口罩 4x 箱，由题意“甲厂房比乙厂房少 生产 4 天”列出方程，解方程即可求解 【解答】解： （1）乙厂房生产口罩总箱数为：600800（箱） ； （2）设甲厂房平均每天生产口罩 5x 箱，则乙厂房平均每天生产口罩 4x 箱， 由题意得：+4， 解得：x20， 经检验，x20 是原方程
34、的解，且符合题意， 则 4x42080（箱） ， 答：乙厂房平均每天生产口罩 80 箱 【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程 22 （12 分）直线 ykx+b 与反比例函数（x0）的图象分别交于点 A（m，4）和点 B（8，n） ，与坐 标轴分别交于点 C 和点 D （1）求直线 AB 的解析式； （2）观察图象，当 x0 时，直接写出的解集； （3）若点 P 是 x 轴上一动点，当COD 与ADP 相似时，求点 P 的坐标 【分析】 （1）将点 A，B 坐标代入双曲线中即可求出 m，n，最后将点 A，B 坐标代入直线解析式中即可 得出结论； （2）根
35、据点 A，B 坐标和图象即可得出结论； （3）先求出点 C，D 坐标，进而求出 CD，AD，设出点 P 坐标，最后分两种情况利用相似三角形得出比 例式建立方程求解即可得出结论 【解答】解： （1）点 A（m，4）和点 B（8，n）在 y图象上， m2，n1， 即 A（2，4） ，B（8，1） 把 A（2，4） ，B（8，1）两点代入 ykx+b 中得 解得：， 所以直线 AB 的解析式为：yx+5； （2）由图象可得，当 x0 时，kx+b的解集为 2x8 （3）由（1）得直线 AB 的解析式为 yx+5， 当 x0 时，y5， C（0，5） ， OC5， 当 y0 时，x10， D 点坐标为
36、（10，0） OD10， CD5 A（2，4） ， AD4 设 P 点坐标为（a，0） ，由题可以，点 P 在点 D 左侧，则 PD10a 由CDOADP 可得 当CODAPD 时， ，解得 a2， 故点 P 坐标为（2，0） 当CODPAD 时， ，解得 a0， 即点 P 的坐标为（0，0） 因此，点 P 的坐标为（2，0）或（0，0）时，COD 与ADP 相似 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，用方程的思想和分类 讨论的思想解决问题是解本题的关键 23 （12 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 是上一点，AB13，AC5 （1）尺规作图：作出的中点
37、 D； （保留作图痕迹，不写作法） （2）连接 AD，求 AD 的长； （3）若点 G 为ABC 的内心，连接 DG，求 DG 的长 【分析】 （1）作线段 AB 的垂直平分线交于 D （2）证明AOD 是等腰直角三角形即可解决问题 （3）求出 GJ，DJ，利用勾股定理求解即可 【解答】解： （1）如图，点 D 即为所求作 （2）ODAB，OAOD， ADO 是等腰直角三角形， ADOA （3）过点 G 作 GTOA 于 G，GJOD 于 J，GKAC 于 K AB 是直径， ACB90， BC12， G 是ABC 的内心， GTGK2， 在AGK 和AGT 中， ， AGKAGT（AAS）
38、， AKAT， GCKGCB45，CKG90， KCGK2， AKAT3， OT3， GTOTOJGJO90， 四边形 OTGJ 是矩形， OJGT2，GTOT， DJ2， DG 【点评】本题考查了作图复杂作图，解直角三角形，三角形的内心，圆周角定理，矩形的判定和性质 等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， 24 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 在抛物线 yx2+bx+c（b0）上，且 A（1，1） （1）求 b，c 满足的关系式； （2）若该抛物线与 y 轴交于点 B，其对称轴与 x 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，若直线 BC 分四边形 OBDC
39、的面积的比为 2：3，求二次函数的解析式； （3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，1） ，点 A 的对应点为 A（1m，2b1） ，当 m 1 时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标 【分析】 （1）把点 A 的坐标代入抛物线的解析式，可得结论 （2）首先证明 c2，推出点 B 在 y 轴的负半轴上，由直线 BC 分四边形 OBDC 的面积的比为 2：3， 推出 CE2DE，推出顶点 D 的纵坐标为c，由此构建方程求出 c，b 即可 （3）因为平移后 A（1，1）的对应点为 A（1m，2b1）可知，抛物线向左平移 m 个单位长度， 向上平移 2b 个单位长度 则平移后的抛物线
40、解析式为 y （x+m） 2 2b+2b， 即 y （x+m） 2 2+b利用待定系数法求出 mb，再利用二次函数的性质件及其他即可 【解答】解： （1）把 A（1，1）代入 yx2+bx+c 得到，11+b+c， b+c2 （2）如图，过点 B 作 BECD 于 E b2c0， c2， 点 B 在 y 轴的负半轴上， 直线 BC 分四边形 OBDC 的面积的比为 2：3， CE2DE， 顶点 D 的纵坐标为c， c， b22c， b2c， 4+4c+c22c， c2+6c+40， c3， c2， c3， b1+， 抛物线的解析式为 yx2+（1+）x3 （3）由平移前的抛物线 yx2+bx+
41、c，可得 y（x+）2+c，即 y（x+）22b 因为平移后 A（1，1）的对应点为 A（1m，2b1） 可知，抛物线向左平移 m 个单位长度，向上平移 2b 个单位长度 则平移后的抛物线解析式为 y（x+m）22b+2b， 即 y（x+m）22+b 把（1，1）代入，得（1+m）22+b1 （1+m）2b+1 （1+m）2（1）2， 所以 1+m（1） 当 1+m1 时，m2（不合题意，舍去） ； 当 1+m（1）时，mb， 因为 m1，所以 b1 所以 0b1， 所以平移后的抛物线解析式为 y（x）22+b 即顶点为（，2+b） ， 设 p2+b，即 p（b2）21 因为0，所以当 b2
42、时，p 随 b 的增大而增大 因为 0b1， 所以当 b1 时，p 取最大值为， 此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为（，） 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利 用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题 25 （14 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 BC 边上一点，以 AE 为直角边作等腰直角AEF，EF 交 DC 于点 G，AF 交 DC 于点 H，连接 EH （1）求证：AHEAHD； （2）若 tanHEG，求的值； （3）若正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在运动过程中，AEH 的面积是否为定值？如果是
43、，请求出定 值；如果不是，请求出AEH 面积的最小值 【分析】 （1）延长 HD 到点 M，使 DMBE，可证AEHAMH，可得AHEAHD； （2）由（1）中全等可得，134，设 BEm，则可得 AB3m，AMAEm，BC2m， CGm，EGm，FGm，3； （3）设 BEm，DHn，则 SAEH2m+2n，EC4m，HC4n，可知当 mn 时，S 有最小值 16 16 【解答】解： （1）如图，延长 HD 到点 M，使 DMBE， 四边形 ABCD 是正方形， ABAD，BBADADM90， ABEADM（SAS） ， 34，AEAM AEF 是等腰直角三角形， EAF45， 4+DAH4
44、5， 3+DAH45，即MAHEAH45， 又 AHAH， AEHAMH（SAS） ， AHEAHD； （2）AEF 是等腰直角三角形， AEF90，即1+290， 由（1）知，AEHAMH， 2M， 3+M90， 134， tanHEG， tan4， 设 BEm，则 AB3m， AMAEEFm，BC3m， BC2m， 又GEC4， tanGEC， CGm，EGm， FGm， 3； （3）设 BEm，DHn， DMBEm，EC4m，HC4n， SAEH2m+2n，且当 mn 时，S 最小， 在 RtECH 中，由勾股定理可知， （4m）2+（4n）2（m+n）2， 解得，m44， 此时，S 取最小值 1616 【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等内容，作出 辅助线，构造全等是本题突破点