1、2021 年广东省惠州市中考数学一模试卷年广东省惠州市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只分）在每小题列出的四个选项中，只 有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。 1 （3 分）四个实数 0、3.14、2 中，最小的数是（ ） A0 B C3.14 D2 2 （3 分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A B C D 3 （3 分）某市在“扫黑除恶”专项斗争宣传活动中，共 16000 人参与，
2、将 16000 用科学记 数法表示为（ ）人 A1.6105 B1.6104 C0.16105 D16103 4 （3 分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+2a3a3 B （2a3）24a5 C （a+2） （a1）a2+a2 D （a+b）2a2+b2 6 （3 分）在一次数学测试中，某学校小组 6 名同学的成绩（单位：分）分别为 65，82，86， 82，76，95，关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A众数是 82 B中位数是 82 C方差 8.4 D平均数是 81 7 （3 分）在六张卡片上分别写有
3、，1.5，5，0，六个数，从中任意抽取一张，卡片 上的数为无理数的概率是（ ） A B C D 8 （3 分）如图，ab，点 B 在直线 b 上，且 ABBC，136，那么2（ ） A54 B56 C44 D46 9 （3 分）如图，在ABC 中，DEBC，DE4，则 BC 的长（ ） A8 B10 C12 D16 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 M、N 同时从 A 点出发，点 M 沿 AB 以 每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动，点 N 沿折线 ADC 以每秒 2 个单位长度的速度 向终点 C 运动， 设运动时间为 t 秒， 则CMN 的面积为 S 关于
4、t 函数的图象大致是 （ ） A B C D 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）因式分解：2a38a 12 （4 分）若|a2|+0，则 a22b 13 （4 分）不等式组的解集是 14 （4 分）如图，从甲楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30，从甲楼顶部 B 处测得 乙楼底部 D 处的俯角是 45， 已知乙楼的高 CD 是 45m， 则甲楼的高 AB 是 m （结 果保留根号） ； 15 （4 分）关于 x 的方程 x2+3x+k10 有两个相等的实数根，则 k 的值为 16 （4 分）若圆锥
5、的侧面积是 15，母线长是 5，则该圆锥底面圆的半径是 17 （4 分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成， 第（1）个图案有 4 个三角形，第（2）个图案有 7 个三角形，第（3）个图案有 10 个三 角形，依此规律，第 n 个图案有 个三角形（用含 n 的代数式表示） 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算： 19 （6 分）先化简，再求值：，其中 20 （6 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形； （1）请用尺规作图法，作B 的平分线，交 AD 于点
6、 E； （不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若平行四边形 ABCD 的周长为 10，CD2，求 DE 的长 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）某厂准备生产甲、乙两种商品共 8 万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已 知 2 件甲种商品与 3 件乙种商品的销售额相同， 3 件甲种商品比 2 件乙种商品的销售额多 1500 元 （1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？ （2）若甲、乙两种商品的销售总额不低于 5400 万元，则至少销售甲种商品多少万件？ 22 （8 分）为迎接 2011 年高中
7、招生考试，某中学对全校九年级学生进行了一次数学摸底考 试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的 统计图，请根据图中所给信息，解答下列问题： （1）请将表示成绩类别为“中”的条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角是 度； （3）学校九年级共有 1000 人参加了这次数学考试，估算该校九年级共有多少名学生的 数学成绩可以达到优秀？ 23 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1ax+b 的图象与反比例函数 y2的 图象交于点 A（1，2）和 B（2，m） （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接
8、写出 y1y2时，x 的取值范围； （3）过点 B 作 BEx 轴，ADBE 于点 D，点 C 是直线 BE 上一点，若 AC2CD，求 点 C 的坐标 五、解答题（三） （本大题共五、解答题（三） （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分分） 24 （10 分）如图，O 是ABC 的外接圆，点 O 在 BC 边上，BAC 的平分线交O 于点 D，连接 BD、CD，过点 D 作 BC 的平行线与 AC 的延长线相交于点 P （1）求证：PD 是O 的切线； （2）求证：ABDDCP； （3）当 AB5cm，AC12cm 时，求线段 PC 的长 25 （10 分）
9、如图， ABC 中， ACB90， ACCB2， 以 BC 为边向外作正方形 BCDE， 动点 M 从 A 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 ACD 的路线向 D 点匀速运动（M 不与 A、D 重合） ；过点 M 作直线 lAD，l 与路线 ABD 相交于 N，设运动时间为 t 秒： （1）填空：当点 M 在 AC 上时，BN （用含 t 的代数式表示） ； （2）当点 M 在 CD 上时（含点 C） ，是否存在点 M，使DEN 为等腰三角形？若存在， 直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由； （3）过点 N 作 NFED，垂足为 F，矩形 MDFN 与ABD 重叠部分的面积为 S，求
10、S 的最大值 2021 年广东省惠州市中考数学一模试卷年广东省惠州市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只分）在每小题列出的四个选项中，只 有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。选的选项涂黑。 1 （3 分）四个实数 0、3.14、2 中，最小的数是（ ） A0 B C3.14 D2 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值 大的反而小，据此判断即可 【解
11、答】解：根据实数比较大小的方法，可得 3.1402， 所以最小的数是3.14 故选：C 2 （3 分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A B C D 【分析】俯视图有 3 列，从左到右正方形个数分别是 2，1，2 【解答】解：俯视图从左到右分别是 2，1，2 个正方形，如图所示： 故选：B 3 （3 分）某市在“扫黑除恶”专项斗争宣传活动中，共 16000 人参与，将 16000 用科学记 数法表示为（ ）人 A1.6105 B1.6104 C0.16105 D16103 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时
12、，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是非负数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：160001.6104， 故选：B 4 （3 分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：C 5 （3 分）下
13、列运算正确的是（ ） Aa2+2a3a3 B （2a3）24a5 C （a+2） （a1）a2+a2 D （a+b）2a2+b2 【分析】利用合并同类项对 A 进行判断；根据积的乘方和幂的乘方对 B 进行判断；根据 多项式乘多项式可对 C 进行判断；根据完全平方公式对 D 进行判断 【解答】解：Aa2与 2a 不能合并，所以 A 选项的计算错误； B原式4a6，所以 B 选项的计算错误； C原式a2+a2，所以 C 选项的计算正确； D （a+b）2a2+2ab+b2，所以 D 选项的计算错误 故选：C 6 （3 分）在一次数学测试中，某学校小组 6 名同学的成绩（单位：分）分别为 65，82
14、，86， 82，76，95，关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A众数是 82 B中位数是 82 C方差 8.4 D平均数是 81 【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可 【解答】解：将数据重新排列为 65、76、82、82、86、95， A、数据的众数为 82，此选项正确； B、数据的中位数为82，此选项正确； C、数据的平均数为81， 所以方差为（6581）2+（7681）2+2（8281）2+（8681）2+（9581）2 84，此选项错误； D、由 C 选项知此选项正确； 故选：C 7 （3 分）在六张卡片上分别写有，1.5，5，0，六个数，从中任意抽取一
15、张，卡片 上的数为无理数的概率是（ ） A B C D 【分析】先找出无理数，再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：六张卡片上分别写有，1.5，5，0，六个数，无理数的是 ， 从中任意抽取一张卡片上的数为无理数的概率是： 故选：B 8 （3 分）如图，ab，点 B 在直线 b 上，且 ABBC，136，那么2（ ） A54 B56 C44 D46 【分析】先根据 ABBC，即可得到390154再根据 ab，即可得出3 254 【解答】解：ABBC，136， 390154 ab， 3254 故选：A 9 （3 分）如图，在ABC 中，DEBC，DE4，则 BC 的长（ ） A8 B10 C
16、12 D16 【分析】根据 DEBC，于是得到ADEABC，求得比例式，代入数据即可 得到结果 【解答】解：DEBC， ADEABC， ， ， ， ， DE4， BC12 故选：C 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 M、N 同时从 A 点出发，点 M 沿 AB 以 每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动，点 N 沿折线 ADC 以每秒 2 个单位长度的速度 向终点 C 运动， 设运动时间为 t 秒， 则CMN 的面积为 S 关于 t 函数的图象大致是 （ ） A B C D 【分析】当 0t2 时，AMt，AN2t，利用 SS正方形ABCDSAMNSBCMSCDN
17、 可得到 St2+6t；当 2t4 时，CN82t，利用三角形面积公式可得 S4t+16， 于是可判断当 0t2 时，S 关于 t 函数的图象为开口向上的抛物线的一部分，当 2t 4 时，S 关于 t 函数的图象为一次函数图象的一部分，然后利用此特征对四个选项进行判 断 【解答】解：当 0t2 时，AMt，AN2t， 所以 SS正方形ABCDSAMNSBCMSCDN44t2t4 （4t）4 （4 2t）t2+6t； 当 2t4 时，CN82t，S （82t） 44t+16， 即当 0t2 时，S 关于 t 函数的图象为开口向下的抛物线的一部分，当 2t4 时，S 关于 t 函数的图象为一次函数
18、图象的一部分 故选：D 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）因式分解：2a38a 2a（a+2） （a2） 【分析】观察原式，找到公因式 2a，提出公因式后发现 a24 符合平方差公式的形式， 利用平方差公式继续分解即可得求得答案 【解答】解：2a38a， 2a（a24） ， 2a（a+2） （a2） 12 （4 分）若|a2|+0，则 a22b 2 【分析】首先根据非负数的性质，得|a2|0，0，由此即可求出 a、b 的值，再 代入所求代数式中解答即可 【解答】解：|a2|+0， a20，b30， a2，b
19、3， a22b2 故结果为：2 13 （4 分）不等式组的解集是 x3 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 62x0，得：x3， 解不等式 2x+40，得：x2， 则不等式组的解集为 x3， 故答案为：x3 14 （4 分）如图，从甲楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30，从甲楼顶部 B 处测得 乙楼底部 D 处的俯角是 45，已知乙楼的高 CD 是 45m，则甲楼的高 AB 是 45 m （结果保留根号） ； 【分析】利用等腰直角三角形的性质得出 ABAD，再利用锐角三角函数关系
20、得出答案 【解答】解：由题意可得：BDA45， 则 ABAD， 又CAD30， 在 RtADC 中，CD45m tanCDAtan30，即， 解得：AD45（m） ， AB45m 故答案为：45 15 （4 分）关于 x 的方程 x2+3x+k10 有两个相等的实数根，则 k 的值为 【分析】根据判别式的意义得到324（k1）0，然后解关于 k 的方程即可 【解答】解：根据题意得3241（k1）0， 解得 k 故答案为 16 （4 分）若圆锥的侧面积是 15，母线长是 5，则该圆锥底面圆的半径是 3 【分析】设该圆锥底面圆的半径是为 r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧 长等于圆锥底
21、面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到2r 515，然后解关于 r 的方程即可 【解答】解：设该圆锥底面圆的半径是为 r， 根据题意得2r515，解得 r3 即该圆锥底面圆的半径是 3 故答案为 3 17 （4 分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成， 第（1）个图案有 4 个三角形，第（2）个图案有 7 个三角形，第（3）个图案有 10 个三 角形，依此规律，第 n 个图案有 （3n+1） 个三角形（用含 n 的代数式表示） 【分析】由题意可知：第（1）个图案有 3+14 个三角形，第（2）个图案有 32+17 个三角形，第（3）个图案有 33
22、+110 个三角形，依此规律，第 n 个图案有（3n+1） 个三角形 【解答】解：第（1）个图案有 3+14 个三角形， 第（2）个图案有 32+17 个三角形， 第（3）个图案有 33+110 个三角形， 第 n 个图案有（3n+1）个三角形 故答案为： （3n+1） 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算： 【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值 是多少即可 【解答】解： 21+42 1+22 1 19 （6 分）先化简，再求值：，其中 【分析】先根
23、据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算即可 【解答】解：原式 ， 当 x+2 时， 原式 20 （6 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形； （1）请用尺规作图法，作B 的平分线，交 AD 于点 E； （不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若平行四边形 ABCD 的周长为 10，CD2，求 DE 的长 【分析】 （1）作 AEAB，作射线 AE 即可 （2）求出 AE，AD，可得结论 【解答】解： （1）如图，射线 AE 即为所求作 （2）平行四边形 ABCD 的周长为 10， AD+CD5， ABCD2， ADBC3， ABAE2， DEADAE1 四、解答题（二
24、） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）某厂准备生产甲、乙两种商品共 8 万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已 知 2 件甲种商品与 3 件乙种商品的销售额相同， 3 件甲种商品比 2 件乙种商品的销售额多 1500 元 （1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？ （2）若甲、乙两种商品的销售总额不低于 5400 万元，则至少销售甲种商品多少万件？ 【分析】 （1）可设甲种商品的销售单价 x 元，乙种商品的销售单价 y 元，根据等量关系： 2 件甲种商品与 3 件乙种商品的销售收入相同，3 件甲种商品比 2 件
25、乙种商品的销 售收入多 1500 元，列出方程组求解即可； （2）可设销售甲种商品 a 万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于 5400 万元， 列出不等式求解即可 【解答】解： （1）设甲种商品的销售单价是 x 元，乙种商品的单价为 y 元 根据题意得： 解得： 答：甲种商品的销售单价是 900 元，乙种商品的单价为 600 元 （2）设销售甲产品 a 万件，则销售乙产品（8a）万件 根据题意得：900a+600（8a）5400 解得：a2 答：至少销售甲产品 2 万件 22 （8 分）为迎接 2011 年高中招生考试，某中学对全校九年级学生进行了一次数学摸底考 试，并随机抽取了部分学生
26、的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的 统计图，请根据图中所给信息，解答下列问题： （1）请将表示成绩类别为“中”的条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角是 72 度； （3）学校九年级共有 1000 人参加了这次数学考试，估算该校九年级共有多少名学生的 数学成绩可以达到优秀？ 【分析】 （1）结合条形统计图和扇形统计图，先用成绩类别为“差”的人数16%，得 被抽取的学生总数，再用被抽取的学生总数成绩类别为“中”的人数所占的百分比求 得成绩类别为“中”的人数，从而补全条形统计图 （2）成绩类别为“优”的扇形所占的百分比成绩类别为“优”
27、的人数被抽取的学生 总数，它所对应的圆心角的度数360成绩类别为“优”的扇形所占的百分比 （3）该校九年级学生的数学成绩达到优秀的人数1000成绩类别为“优”的学生所占 的百分比 【解答】 解： （1）如上图 （2）成绩类别为“优”的扇形所占的百分比105020%， 所以表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角是：36020%72； （3）100020%200（人） ， 答：该校九年级共有 200 名学生的数学成绩可以达到优秀 23 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1ax+b 的图象与反比例函数 y2的 图象交于点 A（1，2）和 B（2，m） （1）求一次函数和反比例函数的表
28、达式； （2）请直接写出 y1y2时，x 的取值范围； （3）过点 B 作 BEx 轴，ADBE 于点 D，点 C 是直线 BE 上一点，若 AC2CD，求 点 C 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法求出 k，求出点 B 的坐标，再利用待定系数法求出一次函 数解析式； （2）利用数形结合思想解答； （3）根据直角三角形的性质得到DAC30，根据正切的定义求出 CD，分点 C 在点 D 的左侧、点 C 在点 D 的右侧两种情况解答 【解答】解： （1）点 A（1，2）在反比例函数 y2的图象上， k122， 反比例函数的解析式为 y2， 点 B（2，m）在反比例函数 y2的图象上， m1，
29、则点 B 的坐标为（2，1） ， 由题意得， 解得， 则一次函数解析式为：y1x+1； （2）由函数图象可知，当2x0 或 x1 时，y1y2； （3）ADBE，AC2CD， DAC30， 由题意得，AD2+13， 在 RtADC 中，tanDAC，即， 解得，CD， 当点 C 在点 D 的左侧时，点 C 的坐标为（1，1） ， 当点 C 在点 D 的右侧时，点 C 的坐标为（+1，1） ， 当点 C 的坐标为（1，1）或（+1，1）时，AC2CD 五、解答题（三） （本大题共五、解答题（三） （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图
30、，O 是ABC 的外接圆，点 O 在 BC 边上，BAC 的平分线交O 于点 D，连接 BD、CD，过点 D 作 BC 的平行线与 AC 的延长线相交于点 P （1）求证：PD 是O 的切线； （2）求证：ABDDCP； （3）当 AB5cm，AC12cm 时，求线段 PC 的长 【分析】 （1）先判断出BAC2BAD，进而判断出BODBAC90，得出 PD OD 即可得出结论； （2）先判断出ADBP，再判断出DCPABD，即可得出结论； （3）先求出 BC，再判断出 BDCD，利用勾股定理求出 BDCD，最后用 ABDDCP 得出比例式求解即可得出结论 【解答】解： （1）如图，连接 OD
31、， BC 是O 的直径， BAC90， AD 平分BAC， BAC2BAD， BOD2BAD， BODBAC90， DPBC， ODPBOD90， PDOD， OD 是O 半径， PD 是O 的切线； （2）PDBC， ACBP， ACBADB， ADBP， ABD+ACD180，ACD+DCP180， DCPABD， ABDDCP， （3）BC 是O 的直径， BDCBAC90， 在 RtABC 中，BC13cm， AD 平分BAC， BADCAD， BODCOD， BDCD， 在 RtBCD 中，BD2+CD2BC2， BDCDBC， ABDDCP， ， ， CP16.9cm 25 （10
32、 分） 如图， ABC 中， ACB90， ACCB2， 以 BC 为边向外作正方形 BCDE， 动点 M 从 A 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 ACD 的路线向 D 点匀速运动（M 不与 A、D 重合） ；过点 M 作直线 lAD，l 与路线 ABD 相交于 N，设运动时间为 t 秒： （1）填空：当点 M 在 AC 上时，BN 2t （用含 t 的代数式表示） ； （2）当点 M 在 CD 上时（含点 C） ，是否存在点 M，使DEN 为等腰三角形？若存在， 直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由； （3）过点 N 作 NFED，垂足为 F，矩形 MDFN 与ABD 重叠部分的面
33、积为 S，求 S 的最大值 【分析】 （1）由等腰直角三角形的性质知 AB2，MNAMt，ANAMt， 据此可得； （2）先得出 MNDM4t，BPPNt2，PE4t，由勾股定理得出 NE ，再分 DNDE，DNNE，DENE 三种情况分别求解可得； （3）分 0t2 和 2t4 两种情况，其中 0t2 重合部分为直角梯形，2t4 时重 合部分为等腰直角三角形，根据面积公式得出面积的函数解析式，再利用二次函数的性 质求解可得 【解答】解： （1）如图 1， ACB90，ACBC2， AABC45，AB2， AMt，AMN90， MNAMt，ANAMt， 则 BNABAN2t， 故答案为：2t
34、（2）如图 2， AMt，ACBCCD2，BDCDBE45， DMMNADAM4t， DNDM（4t） ， PMBC2， PN2（4t）t2， BPt2， PEBEBP2（t2）4t， 则 NE， DE2， 若 DNDE，则（4t）2，解得 t4； 若 DNNE，则（4t），解得 t3； 若 DENE， 则 2， 解得 t2 或 t4 （点 N 与点 E 重合， 舍去） ； 综上，当 t4或 t3 或 t2 时，DNE 是等腰三角形 （3）当 0t2 时，如图 3， 由题意知 AMMNt， 则 CMNQACAM2t， DMCM+CD4t， ABCCBD45，NQBGQB90， NQBQQG2t， 则 NG42t， St （42t+4t）（t）2+， 当 t时，S 取得最大值； 当 2t4 时，如图 4， AMt，ADAC+CD4， DMADAM4t， DMN90，CDB45， MNDM4t， S（4t）2（t4）2， 2t4， 当 t2 时，S 取得最大值 2； 综上，当 t时，S 取得最大值