1、 第第 7 7 讲讲 一一、不等式的概念不等式的概念 1 1不等式不等式：用不等号连接的式子，叫做不等式 【注】【注】不等号包括“” 、 “” 、 “” 、 “” 、 “” 【例】例】52 ，a ，x ，|x ，aa ， 都是不等式 2 2不等式的不等式的性质：性质： （1）若ab，则acbc；若ab，则acbc 不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子） ，不等号方向不变 （2）若ab，c ，则acbc， ab cc ；若ab，c ，则acbc， ab cc 不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变 （3）若ab，c ，则acbc， ab cc ；若ab，c ，则acbc， a
2、b cc 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变 （4）互逆性: 若ab，则ba；若ab，则ba （5）传递性: 若ab，bc，则ac 【注】注】在不等式两边都乘以 0，不等式变为等式 二、一元一次不等式的概念和解法二、一元一次不等式的概念和解法 1 1基本概念：基本概念： （1）一元一次不等式一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式 【例】例】yy ，340m ，25x 等都是一元一次不等式 （2）最简形式最简形式：形如axb、axb、axb、axb的式子叫一元一次不等式的最简形式，其中a 【例】例】x ，x ，25x ， 3
3、3 2 y等都是一元一次不等式的最简形式 （3）不等式的不等式的解解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，通常有无数个 【例】例】、0、1、2 都是不等式x 的解， （4）不等式的不等式的解集解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集一般解集是一个范围，其 中每一个值都是不等式的解当然不等式也可能无解，此时它的解集为空集 【例】【例】x 是260 x 的解集，x 是x 的解集 2 2一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法 （1）解一元一次不等式的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项（化成最简形式） ； 系数化为 1（化成 b x a 或 b x a 的形式） 【例】【
4、例】解不等式 xx ， 解：去分母，()()xx 去括号，xx ， 移项，xx ， 合并同类项，得x ，解得x ， 原不等式的解集是x （2）在数轴上表示不等式的解集 不等式的解集 在数轴上表示的示意图 不等式的解集 在数轴上表示的示意图 xa xa xa xa 三三、一元一次不等式组的概念和解法一元一次不等式组的概念和解法 1 1一元一次不等式组：一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式 组 【例】【例】 1 2 x y ， 32 10 x 不是一元一次不等式组， x xx ， x x x 是一元一次不等式组 2 2一元一次不等式组的解集一元一
5、次不等式组的解集：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集当 没有公共部分时，不等式无解。 3 3解一元一次不等式组的一般步骤：解一元一次不等式组的一般步骤： （1）求出这个不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为这个不等式组的解集 【例】【例】解不等式组 x xx ，并把它的解集在数轴上表示出来 解：由x ，得x ， 由 xx ，得()xx ，xx ，解得x ， 不等式组的解集为x 在数轴上表示如下： 4 4在数轴上表示不等式组的解集在数轴上表示不等式组的解集 由两个一元一次不等式组成的不等式组，可归纳为以下的 4 种类型： 不等式
6、 图示 解集 xa xb xa （同大取大） xa xb xb （同小取小） xa xb bxa （大小交叉中间找） xa xb 无解 （大大小小无解了） a a a a ba ba ba ba 012345-1 （1）在；y ；a ；xy ；yy ；a 中，是不等式的有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 （2）用不等式表示数量的不等关系 a是非负数 x与y的差是负数 q的相反数与q的一半的差不是正数 a不比 0 大 x的 3 倍不小于x的 x的相反数不大于 1 【解析】【解析】（1）C； （2）a ；xy ；qq ；a ；xx ；a （1）若ab，则下列不等式成立的是（ ） Ab
7、a B a b Cba Dacbc （2）如果ab，那么下列各式中正确的是（ ） Aab B ab Cab Dab （3）下列各命题中正确的有（ ） 若ab， 则ab ； 若ab， 则a cb c ； 若acbc， 则ab； 若acbc ， 则ab； 若ab， 则ab ；若ab，则ab A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 （4） 如果x ， 那么下列四个式子中： xx ； x yy ； xx ； x 正确的式子有_ 【解析】【解析】（1）C； （2）D； （3）C； （4） 【提示】【提示】期中高频考点 模块一 不等式的概念 例题1 例题2 1 2 3210-1-2-3 （1）下列说法中，
8、正确的是（ ） Ax 是不等式x 的解 Bx 是不等式x 的唯一解 Cx 不是不等式x 的解 Dx 是不等式x 的解集 （2）在数轴上表示出下列不等式的解集： x ； .x ； x （3）如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（ ） Ax 或x Bx 或x Cx Dx 【解析】【解析】（1）A； （2）； （3）D 【提示】【提示】需要注意的地方：大于向右画，小于向左画；包括端点用“实心点” ，不包括端点用“空心点” ；数轴 上没有端点的值，写出端点的值 解不等式，并把解集表示在数轴上： （1）()xx （2） xx （3） x x （4） xx 【解析】【解析】（1）去括号，得：xx
9、移项，得：xx 合并，得：x 系数化为 1，得：x 原不等式的解集为：2x 在数轴上表示如图所示： （2）去分母，得：()()xx 去括号，得：xx (1) 10-1-2-3 1.52 -2-101 (2) (3) 4310-1-22 模块二 一元一次不等式的概念和解法 例题3 例题4 1 0321 -20 移项合并同类项，得：x 系数化为 1，得：x 原不等式的解集为：x 在数轴上表示如图所示： （3）不等式的解集为：x （4）不等式的解集为：x 【提示】【提示】示范过程 （1）不等式xx 的正整数解是_ （2）解不等式 ()xx x ，并写出它的非负整数解 【解析】【解析】（1）x 或 2
10、 或 3； （2）x ，非负整数解为x ，1，2 【提示】【提示】审题问题 （1）当x为何值时，代数式 x 的值不小于 x 的值？ （2）p取哪些正整数时，代数式 p 的值不大于 p 的值？ 【解析】【解析】（1）由题意，得 xx ，解得x （2）由题意，得 pp ，解得p ， p可取 1、2、3、4、5、6 【提示】【提示】解不等式是解不等式组的基础，因此需要反复练习 例题5 例题6 02 解不等式组并在数轴上表示其解集： （1） () xx x x （2） ()xx xx （3） () x x xx （4） xx x x 【解析】【解析】（1）解不等式组： () xx x x ， 由得：x
11、x ，x ，得：x ， 由得：xx ，x ，得：x ， 不等式组的解集是x （2）不等式组的解集是x （3）不等式组的解集是x （4）不等式组无解 【提示】【提示】初一半期、期末和中考的必考题 （1）解不等式组 () x x xx ，并写出该不等式组的整数解 （2）解不等式组 ()xx xx ，并写出该不等式组的非负整数解 【解析】【解析】（1）不等式组的解集为：x 整数解为：x ，0，1 （2）不等式组的解集为：x 非负整数解为：x ，1 模块三 一元一次不等式组的概念和解法 例题7 例题8 解下列不等式组： （1） xx xx xx ； （2）() () x x xx xx 【解析】【解析
12、】（1）x ； （2）x 【提示】【提示】三个不等式或者更多的不等式解出来后找公共部分，可以两个两个的找 （1）设a，b，c都是实数，且满足：用a去乘不等式的两边，不等号方向不变；用b去除不等式的两边，不等 号方向改变；用c去乘不等式的两边，不等号要变成等号则a、b、c的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbca Dcab （2）根据ab，则下面哪个不等式不一定成立（ ） Aacbc Bacbc Cacbc D ab cc （3）若ab ，则下列不等成立的是（ ） A ab Babb Caab D| |ab 【解析】【解析】（1）B （2）C （3）C 解不等式，并把解集在数轴上表示出来：
13、 （1） xx （2） xx （3） x x 例题9 复习巩固 演练1 演练2 【解析】【解析】（1）x ； （2）x ； （3）x （1） （2） （3） （1）求不等式xx 的解集和它的负整数解 （2）求不等式 x 的解集和它的正整数解 （3）求不等式 xxx 的解集和它的非负整数解 【解析】【解析】（1）解不等式组得：x， 不等式的负整数解为：x ， （2）解不等式可得：x ， 不等式的正整数解为：x 、2、3、4. （3）解不等式组得：x ， 不等式的非负整数解为：x ，1，2 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来： （1） ()() () xx xx （2） ()xx x x （3） xx xxx （4） () xx x xx 【解析】【解析】（1）解不等式，得x ；解不等式，得x 故不等式组解集为x （2）解不等式，得x ；解不等式，得x 故不等式组解集为x （3）解不等式，得x ；解不等式，得x 故解集为x 演练3 演练4 （4）解不等式，得x ；解不等式，得x 故不等式无解 （1）不等式组 x x 的非正整数解是_ （2）解不等式组 x xx ，并写出该不等式组的整数解 【解析】【解析】（1）x 或 0 （2）x ，整数解为x 或 0 或 1 演练5