1、 第第 6 6 讲讲 一一、二元一次方程的概念二元一次方程的概念 1 1 二元一次方程： 二元一次方程： 含有两个未知数， 并且含未知数的项的最高次数是 1 的整式方程， 叫做二元一次方程 二 元一次方程的一般形式一般形式为：axbyc(,)ab 【例例】xy ，xy ，xy ，xy 等都是二元一次方程 2 2二元一次方程的判定：二元一次方程的判定： 必须同时满足四个条件： （1）含有两个未知数“二元” ； （2）未知数项的最高次数为 1“一次” ； （3）方程两边都是整式整式方程； （4）未知数的系数不能为 0 【例例】xy，()yx ，xy ，xy 等都是二元一次方程； y x ，xyz
2、，xy ，xx 等都不是二元一次方程 3 3二元一次方程的解：二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 【注注】任何一个二元一次方程都有无数个解 【例例】 x y 和 x y 是方程xy 的解，可以看出xy 有无数个解 二二、二元一次方程组的概念和解法二元一次方程组的概念和解法 1 1二元一次方程组二元一次方程组：由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组 【注意注意】 （1）二元一次方程组不一定由几个二元一次方程合在一起 （2）方程可以超过两个 【例例】 x xy ， x xy ， x y xy 等都是二元一次方程组 2 2
3、二元一次方程组的解：二元一次方程组的解：使二元一次方程组的几个方程左、右两边都相等的两个未知数的值（即几个方 程的公共解） ，叫做二元一次方程组的解 【例例】 x xy 的解是 x y 3 3二元一次方程组解的情况：二元一次方程组解的情况： 一般情况下，一个二元一次方程组只有唯一一组解；但在特殊情况下，二元一次方程组也可能无解或有无 数组解 【例】【例】方程组 xy xy 有无数组解，方程组 xy xy 和 x y xy 无解 4 4二元一次方程组的基本解法二元一次方程组的基本解法 （1）代入消元法： 从方程组中选一个系数比较简单的方程， 将该方程中的一个未知数用含另一未知数的式子 表示出来，
4、例如yaxb； 把yaxb代入另一个方程中，消去y， 得到一个关于x的一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出x的值； 把求得的x的值代回yaxb中，求出y 的值，从而得出方程组的解； 把这个方程组的解写成 xm yn 的形式 解方程组： 19,xy xy 解： 19,xy xy 由，得xy ， 把代入，()yy ， yy ，得y 把y 代入， 得x 方程组的解为 5x y ， （2）加减消元法： 把一个方程或者两个方程的两边都乘以适 当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数相 反或相等； 把两个方程的两边分别相加或相减，消去 一个未知数，得到一个一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出一个未
5、知数的 值； 把求得的未知数的值代入原方程组中，求 出另一个未知数的值，从而得出方程组的解； 把这个方程组的解写成 xm yn 的形式 解方程组： xy xy 解： xy xy ，得x ， 解得：x 将x 代入，得y ， 解得y 方程组的解是 x y 5 5解方程组的三大解题思想解方程组的三大解题思想 （1）消元思想； （2）整体思想； （3）换元思想 （1）在下列方程中，x ；xy ；x y ；xyy；xy；()yx ，其 中是二元一次方程的是_ （填序号） （2）已知方程 |nm xym 是关于x、y的二元一次方程，则m _，n _ （3）若已知方程()()()kxkxkyk ，当k _时
6、，方程为一元一次方程，当k _ 时，方程为二元一次方程 【解析】【解析】（1）； （2）m 或 2，n （3），1 模块一 二元一次方程的概念 例题1 （1）已知 x y 是方程xay 的一个解，那么a的值是_ （2）若 xk yk 是二元一次方程xy 的解，则k的值是_ 【解析】【解析】（1）1； （2）2 （1）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A xy y B x xy C xy yz D x y （2）已知 x y 是方程组 axy xby 的解，则()ab _ （3）已知 x y 是二元一次方程组 axby bxay 的解，则ab的值为_ 【解析】【解析】（1）D； （2）由
7、题意得a ，b ，ab，()ab （3）把解代入方程组得 ab ba ，得ab （1）用代入消元法解方程组： xy xy （2）用加减消元法解方程组： xy xy 【解析】【解析】（1）由题意得， xy xy 例题2 模块二 二元一次方程组的概念和解法 例题3 例题4 由，得yx ， 把代入，得()xx ， xx ，得x ，解得x 把x 代入，得y 方程组的解为 x y （2）由题意得， xy xy 2+3，得xx ，x ，解得x 将x 代入，得y ，解得y 方程组的解为 x y 【提示】【提示】展示解二元一次方程组的基本解法 用合适的方法解下列二元一次方程组： （1） () ()() xy
8、yx （2） () ()() xy xy （3） ()()xyy xy （4） mnnm n m （5） xy xy （6） . xy xy 【解析】【解析】（1）由题意得， xy xy ，得y ，解得y 将y 代入，得x ，解得x 方程组的解为 x y （2）由题意得， xy xy ，得y ，解得y 将y 代入，得x ，解得x 方程组的解为 x y （3） x y （4） m n （5） x y （6） x y 【提示】【提示】练习解二元一次方程组的一般步骤： （1）去分母，去括号，最好转化为各项系数为整数的二元一次方程组； （2）多观察，系数为1时优先使用代入消元法，其次才是加减消元法 例
9、题5 解方程组： （1） xy xy （2） xy xy 【解析】【解析】（1）两方程相加，得：xy ，即xy 两方程相减，得：xy ，即xy +得：x ，解得x ，得：y ，解得y ， 方程组的解为： x y （2） x y 【提示】【提示】系数对称的二元一次方程组的特殊解法 （1）若方程组 . ab ab 的解是 . . a b ，则方程组 ()() ()(). xy xy 的解是（ ） A . . x y B . . x y C . . x y D . . x y （2）用适当的方法解下列方程组： ()()xyxy xyxy 【解析】【解析】（1）A比较两个方程组可知 . . xa yb
10、 ，解得 . . x y （2）令xyu，xyv，则 uv uv ，解得 u v ， 即 xy xy ，解得 x y 【提示】【提示】整体换元法 例题6 例题7 解方程组： （1） xyz xyz xyz （2） xyz xyz xyz 【解析】【解析】（1）由题意得， xyz xyz xyz 由，得yzx， 把代入和， 得 xz xz ，解得 x z 把 x z 代入得，y 方程组的解为 x y z （2）由题意得， xyz xyz xyz 得，xy ， 2得，xy ， 得y，y ， 将y 代入得，x ，x ， 将x ，y 代入得，()z ， 方程组的解为 x y z 【提示】【提示】三元一
11、次方程组的基本解法： （1）通过消元把三元一次方程组转化为二元一次方程组； （2）解二元一次方程组 模块三 多元一次方程组的解法 例题8 （1） xyz xyz （2） xyz xyz xyz 【解析】【解析】（1）令 xyz k ，即xk ，yk，zk ， 代入可求得k ，所以 x y z （2）得xyz ， 用、分别减去此式得 x y z 【提示】【提示】三元一次方程组的特殊解法： （1）连比设k型； （2）对称轮换型，整体相加 解方程组： （1） pq pq pq pq （2） xy xy yz yz zx zx 【解析】【解析】（1）原方程组可化为 pq qp ，解得 q p ， q
12、p （2）原方程组可化为，解得， 【提示】【提示】均为可以转化为二元一次方程组或者三元一次方程组的分式方程 11 1 111 2 111 3 xy yz zx 15 12 17 12 11 12 x y z 12 5 12 7 12 x y z 例题9 非常挑战 （1）已知二元一次方程 xy ，下列用含x的代数式表示y正确的是（ ）. Ayx Byx Cyx Dyx （2）下列方程属于二元一次方程的是（ ） Axy Bxy Cyx Dx y （3）已知方程 | | | ()() ab axby 是关于x、y的二元一次方程，则a _，b _ 【解析】【解析】（1）C； （2）A； （3）根据题意
13、可得：a ，b ，|a ，|b ， 所以a ，b （1）下列不是二元一次方程组的是（ ） A x y B mn nm C xy yz D ()） a abab （2）二元一次方程axby 有两组解是 x y 与 x y ，求a、b的值 【解析】【解析】（1）C （2）将两组解分别代入axby ，可得 ab ab ，解得 a b 复习巩固 演练1 演练2 解方程组： （1） mn mn （2） ()() ()() yx xy （3） ()() y x xyyx （4） xy xy 【解析】【解析】（1） m n （2） x y （3） x y （4） x y 解下列方程组： （1） xy xy
14、（2） xy xy （3） xyxy xyxy 【解析】【解析】（1） x y （2） x y （3）设xya ，xyb ， 则原方程组可变为 , , ab ab 整理，得 , , ab ab 解得 , . a b , , xy xy 解得 , , x y 原方程组的解为 , . x y 演练3 演练4 解方程组： （1） xz zy xyz （2） : : : :x y z u xyzu （3） xyz yzx zxy （4） mn mn mn mn 【解析】【解析】（1） x y z （2）设xk，yk ，zk ，uk ，所以有kkkk ， 即k ，故 x y z u （3）得：xyz， 分别去减、式可得： x y z （4） m n 演练5