1、 第 1 页（共 22 页） 2021 年新疆高考数学第二次适应性检测试卷（文科）年新疆高考数学第二次适应性检测试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。题目要求的。 1 （5 分）已知集合 1A ，0，1， |1|By yx，xA，则(AB ) A 1，0 B0，1 C 1，1 D 1，0，1 2 （5 分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为 1，两点A，B对应 的复数分别为 1 z， 2 z，则 12 (zz ) A47i B
2、87i C8i D4i 3 （5 分）若关于x的不等式 2 cos2 0 x xmxn 的解集为( 2,3)，则(mn ) A5 B5 C6 D6 4 （5 分）已知a，b，c为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法 正确的是( ) A若/ /ab，b，则/ /a B若a，b，c，/ /ab，则/ /bc C若b，c，ab，ac，则a D若a，b，/ /ab，则/ / 5 （5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（四川省安岳县）人，他在所著的数书 九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图 给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入n，x的值
3、分别为 3，3，输出v时 循环体被执行的次数为( ) 第 2 页（共 22 页） A2 B3 C4 D5 6 （5 分）以直角三角形两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三 个半圆所围成的两个月牙（希波克拉蒂月牙）面积的和等于该直角三角形的面积，这个定理 叫作希波克拉蒂的“月牙定理” 如图所示，在直角三角形ABC中，1BC ，30CAB， 将整个图形记为区域M，若向区域M内随机投一点P，则点P落入“希波克拉蒂月牙”的 概率为( ) A 3 2 3 B 3 2 C 3 D 3 3 7 （5 分）函数( )cos()(f xx ，常数，0，|) 2 的部分图象如图所示，为得 到函
4、数sinyx的图象，只需将函数( )f x的图象( ) 第 3 页（共 22 页） A向右平移 2 3 个长度单位 B向右平移 3 个长度单位 C向左平移 6 个长度单位 D向左平移 3 个长度单位 8 （5 分）已知向量a，b满足| 2a ，| 2 3b ，a与ab夹角的大小为 3 ，则(a b ) A0 B2 C2 D1 9 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx，直线1(0)xmym与C交于A，B两点，若k表示直 线AB的斜率，则|kAB的最小值为( ) A6 B7 C8 D9 10 （5 分） 设，(,) 2 2 ，sin，sin是方程 2 5210 xx 的两根， 则coscos(
5、) A 3 2 5 B 2 3 5 C 3 2 5 D 2 3 5 11 （5 分）已知 1( 5,0) F ， 2(5,0) F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个焦点，过 1 F的直 线l与圆 222 :O xya切于点T，且与双曲线右支交于点P，M是线段 1 PF的中点，若 | 1OMTM，则双曲线的方程为( ) A 22 1 916 xy B 22 1 169 xy C 22 1 1213 xy D 22 1 1312 xy 12 （5 分）若 2 112 12 2 1 xlnxx yy ，则 22 1212 ()()xxyy的最小值是( ) A 1 2 B 2
6、 2 C2 D2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 第 4 页（共 22 页） 13 （5 分）若变量x，y满足 1 1 0 1 0 x xy xy ，则目标函数2zxy的取值范围是 14 （5 分）计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字0 9和字母AF共 16 个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表： 十六 进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进 制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：1EDB，则ED等于 15 （
7、5 分）在ABC中，已知9AB ，7BC ， 19 cos() 21 CA，则cosB 16 （5 分）南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖 暅原理： “幂势既同，则积不容异” 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平 行于这两个平行平面的任意平面所截， 如果截得两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体 的体积相等已知曲线 2 :4C xy，直线l为曲线C在点(2,1)的切线如图所示，阴影部分 为曲线C，直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体 为U过点(0，)(01)yy剟作U的水平截面，所得截面面积是 （用y表示） ，试
8、借助一 个圆锥，并利用祖暅原理，得出U的体积是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （12 分）依托碳减排，中国发现了新的经济增长点，并实现经济增长引擎的转换，让中 国成为全球最具潜力的“碳减排”市场据统计，2019 年全球某 100 个国家的碳排放减少 量（单位：亿吨）数据分组如表： 第 5 页（共 22 页） 减少量：亿吨 国家个数 频率 1.30，1.34) n 1.34，1.38) 0.16 1.38，1.42) 32 1.42，1.46) m 0.24 1.46，1.50) 16 1.50
9、，1.54) 0.08 合计 100 1 （1）求m，n的值，并求碳排放减少量不小于 1.42 亿吨的概率； （2）在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表据此估计这 100 个国家 碳排放减少量的平均值（结果精确到0.01) （参考数据：1.36 0.161.44 0.241.52 0.080.6848) 18 （12 分）记数列 n a的前n项和为 n S，已知 2 23(*) n Snn nN （1）求证：数列 n a为等差数列； （2）若数列 1 1 (1)(1) nn aa 的前n项和为 n T，求满足 3 19 n T 的最小正整数n 19 （12 分）设P是ABC所在
10、平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，PDAB于点D， PAB，PBC，PAC，ABC的面积分别是 1 S， 2 S， 3 S，S （1）证明：平面PDC 平面ABC； （2）若10S ，求 222 123 SSS的值 20 （12 分）已知椭圆 2 2 2 :1(0) x Eya a 的两个焦点为 1 F， 2 F，过右焦点 2 F作斜率为 1 的直线交椭圆于A，B两点，且 1 ABF的面积为 4 3 （1）求a的值； 第 6 页（共 22 页） （2）过椭圆E上异于其顶点的任意一点P作圆 22 1 2 xy的两条切线，切点分别为C， D若直线CD在x轴、y轴上的截距分别是m，n，问 22
11、11 2mn 是否为定值，若是，求出 这个定值；若不是，说明理由 21 （12 分）已知函数( ) x lnx f xe （1）求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （2）证明：当0 x 时， 23 1 ( ) 2 f xxxx； （3）若1x时，( ) a f xae恒成立，求实数a的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程
12、 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 1 C的极坐标方程为 2 2 4 13sin ，曲线 2 C的极坐标方程为1若正方形 ABCD的顶点都在 2 C上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(1,) 6 （1）求点A，B，C，D的直角坐标； （2）设P为 1 C上任意一点，求 22 |PAPC的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|f xx （1）求不等式( )(2 ) 4f xfx的解集M； （2）记集合M中的最大元素为m，若不等式 2( )()fmxf axm在1，)上有解
13、，求实 数a的取值范围 第 7 页（共 22 页） 2021 年新疆高考数学第二次适应性检测试卷（文科）年新疆高考数学第二次适应性检测试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。题目要求的。 1 （5 分）已知集合 1A ，0，1， |1|By yx，xA，则(AB ) A 1，0 B0，1 C 1，1 D 1，0，1 【解答】解： 1A ，0，1，0B ，1，2， 0AB，1 故选：B 2 （5 分）如图所示，
14、在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为 1，两点A，B对应 的复数分别为 1 z， 2 z，则 12 (zz ) A47i B87i C8i D4i 【解答】解：由图可知： 1 32zi， 2 2zi ， 则 12 (32 )( 2)623447zziiiii ， 故选：A 3 （5 分）若关于x的不等式 2 cos2 0 x xmxn 的解集为( 2,3)，则(mn ) A5 B5 C6 D6 【解答】解：因为cos20 x ， 又 2 cos2 0 x xmxn 的解集为( 2,3)， 所以 2 0 xmxn的解集为( 2,3)， 第 8 页（共 22 页） 故23m ，23n ， 所
15、以1m ，6n ，则6mn 故选：C 4 （5 分）已知a，b，c为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法 正确的是( ) A若/ /ab，b，则/ /a B若a，b，c，/ /ab，则/ /bc C若b，c，ab，ac，则a D若a，b，/ /ab，则/ / 【解答】解：若/ /ab，b，则/ /a或a，故A错误； 若a，b，c，/ /ab，则/ /bc，正确， 证明如下： / /ab，a，b，/ /a， 又a，且c，/ /ac，则/ /bc，故B正确； 若b，c，ab，ac，且b与c相交，则a，当b与c平行时，a与可能 有三种位置关系， 即a或/ /a或a与相交，相交也不一定垂直，故
16、C错误； 若a，b，/ /ab，则/ /或与相交，故D错误 故选：B 5 （5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（四川省安岳县）人，他在所著的数书 九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图 给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入n，x的值分别为 3，3，输出v时 循环体被执行的次数为( ) 第 9 页（共 22 页） A2 B3 C4 D5 【解答】解：若输入n，x的值分别为 3，3，执行程序有1v ，2i ， 第一次执行循环体，是，5v ，1i ，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体，是，16v ，0i ，不满足退出循环的条件； 第三
17、次执行循环体，是，48v ，1i ，满足退出循环的条件； 故输出v时循环体被执行的次数为 3 次， 故选：B 6 （5 分）以直角三角形两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三 个半圆所围成的两个月牙（希波克拉蒂月牙）面积的和等于该直角三角形的面积，这个定理 叫作希波克拉蒂的“月牙定理” 如图所示，在直角三角形ABC中，1BC ，30CAB， 将整个图形记为区域M，若向区域M内随机投一点P，则点P落入“希波克拉蒂月牙”的 概率为( ) A 3 2 3 B 3 2 C 3 D 3 3 【解答】解：直角三角形ABC中，1BC ，30CAB， 第 10 页（共 22 页） 所以3A
18、C ，2AB ， 3 2 R ， 1 2 r ， 2 1 13 28 SR ， 2 2 1 28 Sr ， 31 3 22 ABC SS 阴影 ， 故 向 区 域M内 随 机 投 一 点P， 点P落 入 “ 希 波 克 拉 蒂 月 牙 ” 的 概 率 133 2333 288 P 故选：D 7 （5 分）函数( )cos()(f xx ，常数，0，|) 2 的部分图象如图所示，为得 到函数sinyx的图象，只需将函数( )f x的图象( ) A向右平移 2 3 个长度单位 B向右平移 3 个长度单位 C向左平移 6 个长度单位 D向左平移 3 个长度单位 【解答】解：根据函数( )cos()(
19、f xx ，常数，0，|) 2 的部分图象， 可得1A， 1 225 4312 ，2 再根据五点法作图，可得 5 2 12 ，故 6 ，函数( )cos(2) 6 f xx 为得到函数sinsin2cos(2) 2 yxxx 的图象， 只需将函数( )f x的图象向右平移 3 个长 度单位即可， 故选：B 8 （5 分）已知向量a，b满足| 2a ，| 2 3b ，a与ab夹角的大小为 3 ，则(a b ) A0 B2 C2 D1 【解答】解：因为| 2a ，| 2 3b ， 第 11 页（共 22 页） 所以 22 |2162abaa bba b， 因为a与ab夹角的大小为 3 ， 所以()
20、 |cos162 3 aabaaba b ， 又 2 ()4aabaa ba b， 所以1624a ba b， 两边平方整理可得 2 ()60a ba b， 所以6a b或0a b， 当6a b时，| 2ab， cosa， 2 ()461 222| aabaa b ab a ba ab ， 此时a与ab夹角的大小为 2 3 ，与已知矛盾，舍去； 当0a b，| 4ab， cosa， 2 ()401 242| aabaa b ab a ba ab ， 此时a与ab夹角的大小为 3 ，符合条件， 综上可得，0a b 故选：A 9 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx，直线1(0)xmym与C交于
21、A，B两点，若k表示直 线AB的斜率，则|kAB的最小值为( ) A6 B7 C8 D9 【解答】解：由抛物线的方程 2 :4C yx，可得2p ， 所以抛物线的焦点为(1,0)F， 所以直线AB的方程为1xmy经过点F， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 由 2 1 4 xmy yx ，得 2 440ymy， 第 12 页（共 22 页） 2 16160m成立， 所以 12 4yym， 所以 2 121212 (1)(1)()242xxmymym yym， 所以 2 12 |44ABxxpm， 因为直线AB的斜率 1 (0)km m ， 所以 2 1 | 44kAB
22、m m ， 令 2 1 ( )44f mm m ，(0,)m， 则 3 22 181 ( )8 m f mm mm ， 当 1 0 2 m时，( )0f m，( )f m单调递减， 当 1 2 m 时，( )0f m，( )f m单调递增， 所以 2 11 ( )( )4( )247 22 min f mf 所以|kAB的最小值为 7， 故选：B 10 （5 分） 设，(,) 2 2 ，sin，sin是方程 2 5210 xx 的两根， 则coscos( ) A 3 2 5 B 2 3 5 C 3 2 5 D 2 3 5 【解答】解：因为sin，sin是方程 2 5210 xx 的两根， 所以
23、可取 16 sin 5 ， 16 sin 5 ， 又，(,) 2 2 ， 所以 2 182 6 cos1 5 sin ， 2 182 6 cos1 5 sin ， 所以 182 6182 62 3 coscos 555 故选：D 第 13 页（共 22 页） 11 （5 分）已知 1( 5,0) F ， 2(5,0) F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个焦点，过 1 F的直 线l与圆 222 :O xya切于点T，且与双曲线右支交于点P，M是线段 1 PF的中点，若 | 1OMTM，则双曲线的方程为( ) A 22 1 916 xy B 22 1 169 xy C 2
24、2 1 1213 xy D 22 1 1312 xy 【解答】解：由题意可得 22 5cab，即 22 25ab， 连接OT，在直角三角形OTM中，可得 222 |OMTMa， 又| 1OMTM，可得 2 |OMTMa， 则 2 1 |(1) 2 OMa， 2 1 |(1) 2 TMa， 又在直角三角形 1 OTF中， 22 1 |TFcab， 所以 22 11 11 | 2| 2()21 22 PFMFbaba， 由OM为 12 PFF的中位线，可得 2 2 | 2| 1PFOMa ， 由双曲线的定义可得 12 | 2PFPFa，即1ba ， 由解得3a ，4b ， 所以双曲线的方程为 22
25、 1 916 xy 故选：A 12 （5 分）若 2 112 12 2 1 xlnxx yy ，则 22 1212 ()()xxyy的最小值是( ) 第 14 页（共 22 页） A 1 2 B 2 2 C2 D2 【解答】解：由已知可得 2 111 yxlnx， 22 2yx，则 22 1212 ()()xxyy的最小值即为曲 线 2 yxlnx的点到直线20 xy的距离最小值的平方， 设 2 ( )(0)f xxlnx x， 则 1 ( )2fxx x ，令 1 21x x ，解得1x ，f（1）1， 曲线 2 yxlnx与20 xy平行的切线相切于(1,1)， 则所求距离的最小值为点(1
26、,1)到直线20 xy的距离的平方， 即 2 2 ()2 1 1 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分） 若变量x，y满足 1 1 0 1 0 x xy xy ， 则目标函数2zxy的取值范围是 1，5 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 由图可知，(1,0)A， 联立 1 10 x xy ，解得(1,2)B， 作出直线20 xy，由图可知，平移直线20 xy至A时， 2zxy有最小值为 1，至B时，2zxy有最大值为 5 2zxy 的取值范围是1，5 故答案为：1，5 第 15 页（共 22 页） 14 （5 分）计
27、算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字0 9和字母AF共 16 个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表： 十六 进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进 制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：1EDB，则ED等于 6B 【解答】解：14 13182ED， 1821611余 6， 11 160余 11， 用十六进制表示为6B 故答案为：6B 15 （5 分）在ABC中，已知9AB ，7BC ， 19 cos() 21 CA，则cosB 11 21 【解答】解：9AB ，7
28、BC ，ABBC，CA， 作CDAD，交AB于D，则DCAA ， BCDCA ，即 19 cos 21 BCD， 设ADCDx，则9BDx， 在BCD中，由余弦定理知， 222 2cosBDCDBCCD BCBCD， 22 19 (9)4927 21 xxx ，解得6x ， 6ADCD，3BD ， 在BCD中，由余弦定理知， 222 9493611 cos 22 3 721 BDBCCD B BD BC 第 16 页（共 22 页） 故答案为： 11 21 16 （5 分）南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖 暅原理： “幂势既同，则积不容异” 其含义是：夹在两
29、个平行平面之间的两个几何体，被平 行于这两个平行平面的任意平面所截， 如果截得两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体 的体积相等已知曲线 2 :4C xy，直线l为曲线C在点(2,1)的切线如图所示，阴影部分 为曲线C，直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体 为U过点(0，)(01)yy剟作U的水平截面，所得截面面积是 2 (1) (01)yy剟 （用y 表示） ，试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出U的体积是 【解答】解：过点(0, )y的直线与抛物线 2 1 : 4 C yx的交点为(2y，)y，01y剟 直线l为曲线C在点(2,1)处的切线，则切线的斜率
30、为 2 |1 x y ， 切线方程为1yx 过点(0, )y的直线与切线1yx的交点为(1, )yy， 用平行于底面的平面截几何体所得截面为圆环， 截面面积为 22 (21 4 )(1)yyyy ； 取底面直径为 2，高为 1 的圆锥，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到截面为圆， 圆的半径为(1)y，截面面积为 2 (1) y，符合题意 则U体积等于圆锥的体积等于 2 1 11 33 故答案为： 2 (1)y； 3 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （12 分）依托碳减排，中国发现了新的经济增长点
31、，并实现经济增长引擎的转换，让中 第 17 页（共 22 页） 国成为全球最具潜力的“碳减排”市场据统计，2019 年全球某 100 个国家的碳排放减少 量（单位：亿吨）数据分组如表： 减少量：亿吨 国家个数 频率 1.30，1.34) n 1.34，1.38) 0.16 1.38，1.42) 32 1.42，1.46) m 0.24 1.46，1.50) 16 1.50，1.54) 0.08 合计 100 1 （1）求m，n的值，并求碳排放减少量不小于 1.42 亿吨的概率； （2）在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表据此估计这 100 个国家 碳排放减少量的平均值（结果精确
32、到0.01) （参考数据：1.36 0.161.44 0.241.52 0.080.6848) 【解答】 解：（1） 由题意可知，1000.2424m ，10.160.320.240.160.080.04n ， 碳排放减少量不小于 1.42 亿吨的概率为0.240.10.080.48； （2）由 1.320.041.360.161.400.321.440.241.480.161.520.081.42241.42， 估计这 100 个国家碳排放减少量的平均值为 1.42 亿吨 18 （12 分）记数列 n a的前n项和为 n S，已知 2 23(*) n Snn nN （1）求证：数列 n a为
33、等差数列； （2）若数列 1 1 (1)(1) nn aa 的前n项和为 n T，求满足 3 19 n T 的最小正整数n 【解答】证明： （1）数列 n a的前n项和为 n S，已知 2 23(*) n Snn nN 当1n 时，解得 1 1a ， 当2n时， 2 1 23(1)(1) n Snn ， 所以得：264 n an， 故32 n an 第 18 页（共 22 页） 所以 1 3 nn aa （常数） ， 故数列 n a为等差数列 解： （2）由于 1 11111 () (1)(1)(31)(32)3 3132 n nn b aannnn ， 所以 1 1111111 11 ()(
34、) 3 255831323 23264 n n T nnnn ， 3 6419 n n T n ， 解得12n ， 故n的最小值为 13 19 （12 分）设P是ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，PDAB于点D， PAB，PBC，PAC，ABC的面积分别是 1 S， 2 S， 3 S，S （1）证明：平面PDC 平面ABC； （2）若10S ，求 222 123 SSS的值 【解答】解： （1）证明：PA，PB，PC两两垂直， PCPA，PCPB， PAPBP，PA、PB 平面PAB， PC平面PAB， AB 平面ABC，平面PDC 平面ABC （2）过P作PO 平面ABC于O，
35、PDAB于点D，平面PDC 平面ABC，C，O， D共线，设PDC，则ABC的面积 1 11 22coscos SPD SABDCAB ， 1 11 coscos 22 AOB SABODABPDS ， 2 1AOB S SS ， 同理， 2 2BOC S SS ， 2 3AOC S SS ， 三式相加，得： 第 19 页（共 22 页） 2222 123 () AOBBOCAOC SSSSSSSS ， 2222 123 100SSSS 20 （12 分）已知椭圆 2 2 2 :1(0) x Eya a 的两个焦点为 1 F， 2 F，过右焦点 2 F作斜率为 1 的直线交椭圆于A，B两点，且
36、 1 ABF的面积为 4 3 （1）求a的值； （2）过椭圆E上异于其顶点的任意一点P作圆 22 1 2 xy的两条切线，切点分别为C， D若直线CD在x轴、y轴上的截距分别是m，n，问 22 11 2mn 是否为定值，若是，求出 这个定值；若不是，说明理由 【解答】解： （1）设椭圆的焦距为2c，则 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 过右焦点 2 F作斜率为 1 的直线为：yxc，显然 22 1ac， 故椭圆方程为 2 2 2 1 1 x y c ， 联立方程 2 2 2 1 1 yxc x y c ，整理可得： 22 (2)210cycy ，设 1 (A x， 1) y， 2 (
37、B x， 2) y， 则 1212 22 21 , 22 c yyy y cc ，因为三角形 1 ABF的面积 1212 14 2(|)| 23 Scyycyy ， 且 2 22 121212 22 88 |()4 (2) c yyyyy y c ，则 2 22 884 (2)3 c c c ，解得1c ， 所以 22 12ac ，又0a ，所以2a ； （2）设点 0 (P x， 0) y，由P是椭圆 2 2 1 2 x y上的一点， 2 |1 2 min OP ， 可知点P在圆 22 1 2 xy外， 第 20 页（共 22 页） 过P作圆的切线有两条，设切点 1 (C x， 1) y，
38、2 (D x， 2) y，CD是过P作圆的切线产生的切 点弦， 由C，D是切点知OCPC，ODPD， 所以直线 1 00 1 :() x PC yyxx y ，因为 1 (C x， 1) y在PC上， 所以 1 1010 1 () x yyxx y ，即直线 22 1 01011 :PC x xy yxy， 又因为 1 (C x， 1) y在 22 1 2 xy上，则 22 11 1 2 xy， 所以直线 1010 1 : 2 PC x xy y，同理直线 2020 1 : 2 PD x xy y， 所以直线上有两点满足方程 00 1 2 x xy y， 因为两点定唯一一条直线，所以直线CD的
39、方程为： 00 1 2 x xy y， 由直线CD在x轴，y轴的截距分别为m，n，于是 00 11 , 22 mn xy ， 2 2220 000 22 11 244() 22 x xyy mn ，又因为 2 20 0 1 2 x y， 故 22 11 4 2mn 为定值 21 （12 分）已知函数( ) x lnx f xe （1）求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （2）证明：当0 x 时， 23 1 ( ) 2 f xxxx； （3）若1x时，( ) a f xae恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）函数( )f x的定义域是(0,)，且f（1）e，故切点
40、是(1, ) e， 又( )()(1) xx f xxexe，故f（1）2e， 故( )yf x在1x 处的切线方程为：2 (1)yee x， 即20exye； （2）证明：要证 23 1 ( ) 2 f xxxx，只需证明 23 1 2 x xexxx， 又0 x ，故只需证明 2 1 1 2 x exx 成立， 构造函数 2 1 ( )1 2 x h xexx ，(0)x ， 则( )1(0) x h xex x ，( )10 x h xe 成立， 第 21 页（共 22 页） 故( )h x在(0,)递增，从而( )(0)0h xh 成立， 故( )h x在(0,)递增，从而( )(0)
41、0h xh， 即 2 1 10 2 x exx ，故 23 1 ( ) 2 f xxxx成立； （3）由1x时，( ) a f xae恒成立，即 x lnxa eae ， 当0a时，(*)显然成立， 当0a 时，(*) x lnxax lnxa lna eaeeexlnx alna 厖?， 设( )g xxlnx，则 1 ( )10g x x ， 故( )g x在(0,)递增，故(*)可化为( )g xg（a） ，则x a恒成立， 1x，( )1 min ax，又0a ，则01a ， 综上：a的取值范围是(，1 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
42、，作答时请用题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 1 C的极坐标方程为 2 2 4 13sin ，曲线 2 C的极坐标方程为1若正方形 ABCD的顶点都在 2 C上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(1,) 6 （1）求点A，B，C，D的直角坐标； （2）设P为 1 C上任意一点，求 22 |PAPC的取值范围 【解答】 解：
43、 （1） 点A的极坐标为(1,) 6 ， 根据 222 cos sin x y xy 转换为直角坐标为 3 1 (, ) 22 ， 点B的极坐标为(1,) 62 ，根据 222 cos sin x y xy 转换为直角坐标为 13 (,) 22 ， 点C的极坐标为(1,) 6 ，根据 222 cos sin x y xy 转换为直角坐标为 31 (,) 22 ， 点D的极坐标为 3 (1,) 62 ，根据 222 cos sin x y xy 转换为直角坐标为 13 ( ,) 22 ， 第 22 页（共 22 页） （2）曲线 1 C的极坐标方程为 2 2 4 13sin ，根据 222 co
44、s sin x y xy 转换为直角坐标方程为 2 2 1 4 x y， 设(2cos ,sin )P， 则 2222222 3131 |(2cos)(sin)(2cos)(sin)6cos44,10 2222 PAPC 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|f xx （1）求不等式( )(2 ) 4f xfx的解集M； （2）记集合M中的最大元素为m，若不等式 2( )()fmxf axm在1，)上有解，求实 数a的取值范围 【解答】解： （1）由题意可知，( )(2 ) |1|21|4f xfxxx， 当1x时，原不等式可化为32 4x ，解答2x，所以12x剟； 当 1 1 2 x时，原不等式可化为12 1 4xx，解得4x，所以 1 1 2 x； 当 1 2 x时，原不等式可化为11 24xx ，解得 2 3 x，所以 21 32 x剟 综上，不等式的解集 2 |2 3 Mxx剟 （2）由题意，2m ，在不等式等价为 2 |21|1|2xax， 因为1x，所以 22 |1|2(441)441axxxxx， 所以 22 4411441xxaxxx剟， 要使不等式在1，)上有解， 则 2 (44)( 44) minmax xax x 剟， 所以02a剟， 即实数a的取值范围是0，2