1、 第 1 页（共 18 页） 2021 年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科）年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）设集合 |1Ax lgx， |3Bx x，则(AB ) A(0,) B(3,10) C(,) D(3,) 2 （5 分）若复数(1)(2)zii，则复数z的虚部为( ) 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 A3 B3 C1
2、 Di 3 （5 分）命题“0 x ，使得 2 10 xx ”的否定是( ) A 0 0 x ，使得 2 00 1 0 xx B 0 0 x，使得 2 00 1 0 xx C0 x ，使得 2 10 xx D0 x ，使得 2 10 xx 4 （5 分）袋子中有 5 个大小质地完全相同的球，其中 3 个红球和 2 个白球，从中不放回地 依次随机摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为( ) A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 5 （5 分）已知 2 sin() 3 ， 1 sin() 3 ，则 tan tan 的值为( ) A 1 3 B 1 3 C3 D3 6（5 分） 在AB
3、C中， 已知ABAC，D为BC边中点， 点O在直线AD上， 且3BC BO， 则BC边的长度为( ) A6 B2 3 C2 6 D6 7 （5 分）已知圆柱的两个底面的圆周在体积为 32 3 的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的 最大值为( ) A4 B8 C12 D16 8 （5 分）已知P是曲线sin (0, )yx x 上的动点，点Q在直线260 xy上运动， 则当|PQ取最小值时，点P的横坐标为( ) A 4 B 2 C 2 3 D 5 6 9 （5 分）已知数列 n a的前n项和 n S满足 2 n Sn，记数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T， 第 2 页（共 18 页）
4、 *nN则 20 T的值为( ) A 19 39 B 38 39 C 20 41 D 40 41 10 （5 分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量(/)P mg L与 时间( )t h之间的关系为 0 . kt PPe如果前 2 小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大 约需要的时间为( )（参考数据：20.69ln ，31.10ln ，51.61)ln A4h B6h C8h D10h 11（5 分） 已知F为抛物线 2 2yx的焦点，A为抛物线上的动点， 点 1 ( 2 B ，0) 则当 | | AB AF 取最大值时，|AB的值为( ) A2 B3 C2
5、D1 12 （5 分）已知四面体ABCD的所有棱长均为2，M，N分别为棱AD，BC的中点，F 为棱AB上异于A，B的动点有下列结论： 线段MN的长度为 1； 存在点F，满足CD 平面FMN； MFN的余弦值的取值范围为0， 5) 5 ； FMN周长的最小值为21 其中正确结论的编号为( ) A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡上分把答案填在答题卡上 13 （5 分）已知函数 2 ,1, ( ) 21,1. x xx x f x x 若f（a）2，则a的值为 14 （5 分）正项等比数列 n a满足 5
6、 1 9 a ， 24 1a a ，则该数列的公比值为 15 （5 分）设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，以 12 F F为直径的 圆与双曲线在第一象限内的交点为P，直线 1 PF与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为 Q若点Q恰好为线段 1 PF的中点，则直线 1 PF的斜率的值为 16 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且在0，)上单调递减若 0.2 (log0.3)af， 3 (log 0.1)bf， 0.7 (2 )cf， 则a，b，c的大小关系为 （用符号 “” 第 3 页（共 18 页） 连接） 三、解答题：
7、本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知( 2)coscosbaCcA （1）求角C的大小； （2）若2a ， 2 ( coscos )c aBbAb，求ABC的面积 18 （12 分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减 少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费” 某种机械设备的 使用年限x（单位：年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如表所示： 使用年限x（单位：年）
8、 1 2 3 4 5 6 7 失效费y（单位：万元） 2.90 3.30 3.60 4.40 4.80 5.20 5.90 （1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明； （精 确到0.01) （2）求出y关于x的线性回归方程，并估算该种机械设备使用 10 年的失效费 参考公式：相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 线性回归方程 ybxa中斜率和截距最小二乘估计计算公式： 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 参考数据： 7 1 ()()14.00
9、 ii i xxyy ， 7 2 1 ()7.08 i i yy ，198.2414.10 19 （12 分）如图，在等腰三角形PBC中，3 5PBPC，6BC ，D，E满足 2,2BDDP CEEP将PDE沿直线DE折起到ADE的位置，连接AB，AC，得到如 图所示的四棱锥ABCED，点F满足2BFAF，. 第 4 页（共 18 页） （1）证明：/ /DF平面ACE； （2）当29AB 时，求三棱锥ADEF体积 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过点 3 (1,) 2 A，其长半轴长为 2 （1）求椭圆C的方程； （2）设经过点( 1,0)B 的直线
10、l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F， 直线DF与x轴相交于点G， 记BEG与BDG的面积分别为 1 S， 2 S， 求 12 |SS的最大值 21 （12 分）已知函数( )(1)2 a f xxalnx x ，其中aR （1）若( )f x存在唯一极值点，且极值为 0，求a的值； （2）讨论( )f x在区间1， e上的零点个数 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。选修选
11、修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为 1cos ( sin x y 为参数） ，直 线l的方程为360 xy以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线C和直线l的极坐标方程； （2） 若点( , )P x y在直线l上且0y ， 射线OP与曲线C相交于异于O点的点Q， 求 | | OP OQ 的 最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数( )3|1|21|f xxx的最小值为m （1）求m的值； （2）若a，(0,)b，证明： 22 2 11 (1)(1) ba m aabb 第
12、 5 页（共 18 页） 2021 年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科）年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）设集合 |1Ax lgx， |3Bx x，则(AB ) A(0,) B(3,10) C(,) D(3,) 【解答】解：集合 |1 |010Ax lgxxx， |3Bx x， |0(0,)ABx x 故选：A 2 （5 分
13、）若复数(1)(2)zii，则复数z的虚部为( ) 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 A3 B3 C1 Di 【解答】解： 2 (1)(2)223ziiiiii ， 复数z的虚部为 1 故选：C 3 （5 分）命题“0 x ，使得 2 10 xx ”的否定是( ) A 0 0 x ，使得 2 00 1 0 xx B 0 0 x，使得 2 00 1 0 xx C0 x ，使得 2 10 xx D0 x ，使得 2 10 xx 【解答】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即 0 0 x，使得 2 00 1 0 xx ， 故选：B 4 （5 分）袋子中有 5 个大
14、小质地完全相同的球，其中 3 个红球和 2 个白球，从中不放回地 依次随机摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为( ) A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 【解答】解：袋子中有 5 个大小质地完全相同的球，其中 3 个红球和 2 个白球， 从中不放回地依次随机摸出两个球， 基本事件总数5420n ， 摸出的两个球颜色相同包含的基本事件个数322 18m ， 则摸出的两个球颜色相同的概率为： 第 6 页（共 18 页） 82 205 m P n 故选：B 5 （5 分）已知 2 sin() 3 ， 1 sin() 3 ，则 tan tan 的值为( ) A 1 3 B 1 3 C
15、3 D3 【解答】 解： 2 sin()sincoscossin 3 ， 1 sin()sincoscossin 3 ， 1 sincos 2 ， 1 cossin 6 ， 则 tansincos 3 tancossin ， 故选：D 6（5 分） 在ABC中， 已知ABAC，D为BC边中点， 点O在直线AD上， 且3BC BO， 则BC边的长度为( ) A6 B2 3 C2 6 D6 【解答】 解： 在ABC中， 由ABAC，D为BC边中点， 点O在直线AD上， 且3BC BO， 结合图象可得| |cos,3BCBOBC BO， 即 21 3 2 BC ，所以|6BC 故选：A 7 （5 分
16、）已知圆柱的两个底面的圆周在体积为 32 3 的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的 最大值为( ) A4 B8 C12 D16 【解答】解：圆柱的两个底面的圆周在体积为 32 3 的球O的球面上， 所以球的半径为： 3 432 33 R ，解得2R ， 第 7 页（共 18 页） 设圆柱的底面半径为r，所以圆柱的高为： 2 2 4r， 所以圆柱的侧面积为： 22 222 4 22 44(4) 48 2 rr Srrrr 当且仅当2r 时，取得最大值8 故选：B 8 （5 分）已知P是曲线sin (0, )yx x 上的动点，点Q在直线260 xy上运动， 则当|PQ取最小值时，点P的横坐标为(
17、) A 4 B 2 C 2 3 D 5 6 【解答】解：P是曲线sin (0, )yx x 上的动点， 点Q在直线260 xy上运动，直线的斜率为 1 2 ， 则当|PQ取最小值时，曲线sinyx 的切线斜率 1 cos 2 yx ， 即 1 cos 2 x ，结合所给的选项，可得 2 3 x ， 即点P的横坐标为 2 3 ， 故选：C 9 （5 分）已知数列 n a的前n项和 n S满足 2 n Sn，记数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T， *nN则 20 T的值为( ) A 19 39 B 38 39 C 20 41 D 40 41 【解答】解： 2 n Sn， 当2n时，有
18、 22 1 (1)21 nnn aSSnnn ， 又当1n 时， 11 1aS也适合上式， 21 n an， 1 11111 () (21)(21)2 2121 nn a annnn ， 第 8 页（共 18 页） 20 1111111120 (1)(1) 2335394124141 T， 故选：C 10 （5 分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量(/)P mg L与 时间( )t h之间的关系为 0 . kt PPe如果前 2 小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大 约需要的时间为( )（参考数据：20.69ln ，31.10ln ，51.61)ln A4h
19、 B6h C8h D10h 【解答】解：前 2 个小时消除了20%的污染物， 2 00 (1 20%) k PPe，即 0.8 2 ln k ， 当污染物减少50%时， 00 (150%)0.5PPP， 0.8 2 00 0.5 ln t PPe， 2 0.52 220.69 6 0.83 2103 0.692.30 lnln t lnlnln 故选：B 11（5 分） 已知F为抛物线 2 2yx的焦点，A为抛物线上的动点， 点 1 ( 2 B ，0) 则当 | | AB AF 取最大值时，|AB的值为( ) A2 B3 C2 D1 【解答】解：由抛物线的方程可得焦点 1 (2F，0)， 所以
20、 1 ( 2 B ，0)为抛物线的准线与x轴的交点，设 AA 垂直于准线于 A 点， 由抛物线的性质可得 |1 |cos ABAB AFAAABF ，当其值最大时，即ABF最大， 所以当准线AB与抛物线相切时，ABF最大， 设直线AB的方程为： 1 2 xmy， 与抛物线联立可得 2 1 2 2 xmy yx ，整理可得 2 210ymy ， 2 440m，可得1m ， 不妨取1m ，则 2 210yy ，解得1y ， 代入抛物线的方程可得 1 2 x ，即 1 ( 2 A，1)， 第 9 页（共 18 页） 所以 22 11 |()12 22 AB ， 故选：C 12 （5 分）已知四面体A
21、BCD的所有棱长均为2，M，N分别为棱AD，BC的中点，F 为棱AB上异于A，B的动点有下列结论： 线段MN的长度为 1； 存在点F，满足CD 平面FMN； MFN的余弦值的取值范围为0， 5) 5 ； FMN周长的最小值为21 其中正确结论的编号为( ) A B C D 【解答】解：在棱长为 1 的正方体上取如图所示的四个顶点，依次连接可得四面体ABCD， 则四面体ABCD的所有棱长均为2，又M，N分别为棱AD，BC的中点， 线段MN的长度为正方体的棱长为 1，故正确； 假设CD 平面FMN，由于MN 平面FMN，则CDMN， 事实上，由可知，MN与CD所成角为 4 ，故错误； 由已知可得，
22、 12 22 BNBC， 22 16 2 22 BMBDMD， 第 10 页（共 18 页） 又1MN ， 13 1 35 22 cos 3526 2 22 MBN ，故F点无限接近B点时，cosMFN无 限接近 3 3 ， 故MFN的余弦值的取值范围为0， 5) 5 错误； 如图将等边三角形ABC与ABD铺平，放置在同一平面上，故有2N FFMM N ， 当且仅当F为AB的中点时取最小值，故在正方体中，2NFFM，即三角形FMN的最 小值为21， 故正确 其中正确结论的编号为 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填
23、在答题卡上分把答案填在答题卡上 13 （5 分）已知函数 2 ,1, ( ) 21,1. x xx x f x x 若f（a）2，则a的值为 1 【解答】解：根据题意，函数 2 ,1, ( ) 21,1. x xx x f x x 当1a 时，f（a） 2 aa，则有 2 2aa，解可得1a 或 2（舍)， 当1a时，f（a）21 a ，则有212 a ，解可得0a （舍)， 综合可得：1a ， 故答案为：1 14 （5 分）正项等比数列 n a满足 5 1 9 a ， 24 1a a ，则该数列的公比值为 1 3 第 11 页（共 18 页） 【解答】解：设正项等比数列 n a的公比为0q
24、， 5 1 9 a ， 24 1a a ， 3 11 99 1 qq ，解得 1 3 q ， 故答案为： 1 3 15 （5 分）设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，以 12 F F为直径的 圆与双曲线在第一象限内的交点为P，直线 1 PF与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为 Q若点Q恰好为线段 1 PF的中点，则直线 1 PF的斜率的值为 1 2 【解答】解：以 12 F F为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为P， 直径所对的圆周角为 2 ，所以 12 2 FPF ， 又因为点Q为 1 PF的中点，O为 12 F F的中点， 所以 2
25、 1 2 OQPF，且 2 / /OQPF， 所以 2 tan b QOF a ， 21 tan b PF F a ， 所以 21 sin b PF F c ， 21 cos a PF F c ， 又 121 | 2| 2FFOFc，得 2 |2F Pa， 1 | 2FPb， 由双曲线的定义了得 12 | 222FPF Pbaa，所以2ba， 所以 1 2 12 1 |21 tan |22 PF PFa kPFF PFb ， 所以直线 1 PF的斜率为 1 2 故答案为： 1 2 16 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且在0，)上单调递减若 0.2 (log0.3)af，
26、3 (log 0.1)bf， 0.7 (2 )cf，则a，b，c的大小关系为 bca （用 符号“”连接） 【解答】解：根据题意，函数( )f x是定义在R上的偶函数， 则 333 (log 0.1)( log 10)(log 10)bfff， ( )f x在0，)单调递减， 又由 33 log 10log 92， 0.20.20.2 0log1log0.3log0.21， 第 12 页（共 18 页） 00.71 12222， 所以 0.7 0.23 log0.32log 10， 因为( )f x在0，)单调递减， 所以 0.7 30.2 (log 10)(2 )(log0.3)fff 所以
27、bca 故答案为：bca 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知( 2)coscosbaCcA （1）求角C的大小； （2）若2a ， 2 ( coscos )c aBbAb，求ABC的面积 【解答】解： （1）因为( 2)coscosbaCcA ， 由正弦定理可得2sincossincossincosBCACCA， 即2sincossincossincossin()sinBCACCAACB， 因为sin0B
28、， 故 2 cos 2 C ， 因为(0, )C， 故 4 C （2）因为2a ， 222222 2 ( coscos ) 22 acbbca c aBbAacbcb acbc ， 整理可得 22 22ab，可得1b ， 又 4 C ， 所以 1121 sin2 1 2222 ABC SabC 18 （12 分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减 少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费” 某种机械设备的 使用年限x（单位：年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如表所示： 使用年限x（单位：年） 1 2 3 4 5 6 7 第 13 页（
29、共 18 页） 失效费y（单位：万元） 2.90 3.30 3.60 4.40 4.80 5.20 5.90 （1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明； （精 确到0.01) （2）求出y关于x的线性回归方程，并估算该种机械设备使用 10 年的失效费 参考公式：相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 线性回归方程 ybxa中斜率和截距最小二乘估计计算公式： 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 参考数据： 7 1 ()()14.00 ii i x
30、xyy ， 7 2 1 ()7.08 i i yy ，198.2414.10 【解答】解： （1）由题意可知， 1234567 4 7 x ， 2.903.303.604.404.805.205.90 4.30 7 y ， 7 22222222 1 ()(14)(24)(34)(44)(54)(64)(74)28 i i xx ， 所以 14.0014.0014.00 0.99 14.1028 7.08198.24 r ， 因为y与x的相关系数近似为 0.99， 所以y与x的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系； （2）因为 7 1 7 2 1 ()() 14 0.5 2
31、8 () ii i i i xxyy b xx ， 所以 4.30.5 42.3aybx， 所以y关于x的线性回归方程为0.52.3yx， 将10 x 代入线性回归方程，可得0.5 102.37.3y ， 所以估算该种机械设备使用 10 年的失效费 7.3 万元 19 （12 分）如图，在等腰三角形PBC中，3 5PBPC，6BC ，D，E满足 2,2BDDP CEEP将PDE沿直线DE折起到ADE的位置，连接AB，AC，得到如 第 14 页（共 18 页） 图所示的四棱锥ABCED，点F满足2BFAF，. （1）证明：/ /DF平面ACE； （2）当29AB 时，求三棱锥ADEF体积 【解答
32、】 （1）证明：在棱AC上取点G，满足2CGAG，连接EG，FG， 2BFAF，/ /FGBC且 1 3 FGBC， 又由题意可得，可得/ /DEBC且 1 3 DEBC， DEFG，且/ /DEFG，则四边形DEGF为平行四边形， 则/ /DFEG，又DF 平面ACE，EG 平面ACE， / /DF平面ACE； （2）解：如图，分别取DE，BC的中点M，N，连接AM，MN，BM，BE， 由题意，知MNBC，2AM ，4MN ，3BN ， 在Rt BMN中， 2222 345BMBNMN， 在ABM中，29AB ， 22222 2529AMBMAB， AMBM，又AMDE，BMDEM， BM、
33、DE 平面BCED，AM平面BCED， 2BFAF，三棱锥ADEF的体积 11 33 A DEFFADEB ADEA BDE VVVV ， 又 1118 242 3663 A BDEBDE VSAMDE MN AM 三棱锥ADEF的体积 1188 3339 A DEFA BDE VV 第 15 页（共 18 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过点 3 (1,) 2 A，其长半轴长为 2 （1）求椭圆C的方程； （2）设经过点( 1,0)B 的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F， 直线DF与x轴相交于点G， 记BEG与BDG的面
34、积分别为 1 S， 2 S， 求 12 |SS的最大值 【解答】解： （1）由已知可得2a ，且 22 13 1 4ab ， 解得1b ，所以椭圆的方程为： 2 2 1 4 x y； （2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为 0， 则设直线l的方程为：1(0)xtyt， 1 (D x， 1) y， 2 (E x， 2) y， 联立方程 2 2 1 1 4 xty x y ，消去x整理可得： 22 (4)230tyty ， 所以 1212 22 23 , 44 t yyy y tt ， 因为F为点E关于x轴对称点，所以 2 (F x， 2) y， 所以直线DF的方程为： 12 11 12 ()
35、yy yyxx xx ，即 12 11 12 () () yy yyxx t yy ， 令0y ，则 22 112112112 1 1212 (1)()tyty ytyyytyty y xx yyyy 1212 12 2()3 2()14 2 ty yyy t yyt ， 所以点G的坐标为( 4,0)， 所以 121212 2 133| | | | 224 t SSBGyyyy t 333 4 44 | | 2 | | | | | | t t t t ， 当且仅当 4 | | | | t t ，即2t 时取等号， 第 16 页（共 18 页） 此时 12 |SS的最大值为 3 4 21 （12
36、 分）已知函数( )(1)2 a f xxalnx x ，其中aR （1）若( )f x存在唯一极值点，且极值为 0，求a的值； （2）讨论( )f x在区间1， e上的零点个数 【解答】解： （1）( )(1)2 a f xxalnx x ，定义域是(0,)， 22 1(1)() ( )1(0) aaxxa fxx xxx ， 若0a，则当(0,)x时，( )0fx恒成立， 故( )f x在(0,)单调递增，与( )f x存在极值点矛盾， 若0a 时，则由( )0fx解得：xa， 故(0, )xa时，( )0fx，当( ,)xa时，( )0fx， 故( )f x在(0, )a单调递减，在(
37、,)a 单调递增， 故( )f x存在唯一极小值点xa， 故f（a）1(1)2(1)(1)0aalnaalna ， 故1a 或ae； （2）1a时，( ) 0fx在1， e上恒成立， 故( )f x在1， e上单调递增， f（1）1 0a ，f（e）1(1)(1)0 aa eae ee ， 由零点存在性定理，( )f x在1， e上有 1 个零点； 当1ae时，当1x，)a时，( )0fx，(xa， e时，( )0fx， ( )f x在1，)a上单调递减，在(a， e上单调递增， ( )minf xf（a）(1)(1)0alna，此时( )f x在1， e上无零点； 当a e时，( ) 0fx
38、在1， e上恒成立， ( )f x在1， e上单调递减， f（1）10a ，f（e）(1)(1) 0 a e e ， ( )f x在1， e上有 1 个零点； 综上：当1ae时，( )f x在1， e上无零点， 当1a或a e时，( )f x在1， e上有 1 个零点 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 第 17 页（共 18 页） 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22
39、 （10 分）在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为 1cos ( sin x y 为参数） ，直 线l的方程为360 xy以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线C和直线l的极坐标方程； （2） 若点( , )P x y在直线l上且0y ， 射线OP与曲线C相交于异于O点的点Q， 求 | | OP OQ 的 最小值 【解答】解： （1）曲线C的参数方程为 1cos ( sin x y 为参数） ， 由 22 sincos1，可得 22 (1)1xy，即 22 2xyx， 由cosx，siny， 222 xy，可得曲线C的极坐标方程为2cos； 直线l的方程为36
40、0 xy，即有cos3 sin60， 可得直线l的极坐标方程为 6 cos3sin ； （2）由题意可设 1 (P，(0) 2 ， 2 (Q，)， 可得 2 |616 |2coscos3sin22 3sincos OP OQcos 66 cos23sin21 2sin(2)1 6 ， 当sin(2)1 6 ，即(0,) 62 时， | | OP OQ 取得最小值 6 2 21 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数( )3|1|21|f xxx的最小值为m （1）求m的值； （2）若a，(0,)b，证明： 22 2 11 (1)(1) ba m aabb 【解答】解： （1） 52,1 1 ( )4, 1 2 1 52, 2 xx f xxx xx 剟， 第 18 页（共 18 页） 1x 时，(f x的最小值为 3 （2）证明：a，(0,)b， 22 3 2 1 13 bb aaa ， 22 3 2 1 13 aa bbb ， 2222 2 33 22 11 (1)(1) 339 baba m aabbab ，当且仅当1ab 即证