1、 第 1 页（共 17 页） 2021 年上海市松江区高考数学二模试卷年上海市松江区高考数学二模试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1 （4 分）已知集合 |1| 1Ax x ，1B ，2，3，则AB 2 （4 分）若复数z满足(1)2(zii为虚数单位） ，则z 3 （4 分）已知向量(4, 2)a ，( ,2)bk，若ab，则实数k 4 （4 分）在 6 (2)x的二项展开式中， 3 x项的系数为 （结果用数值表示） 5 （ 4 分 ） 如 图 所 示 ， 在 平 行 六 面 体
2、1111 A B C DA B C D中 ， 1111 A CB DF， 若 1 A Fx A By A Dz A A，则xyz 6 （4 分）若函数( )f xxa的反函数的图象经过点(2,1)，则a 7 （5 分）已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之 比为 8 （5 分）因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从 5 名男医生和 4 名女医生中选派 3 人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有 1 名女医生的概率为 9 （5 分）已知函数tan() 6 yx 的图象关于点( 3 ，0)对称，且| 1，则实数的值 为 10 （5 分） 如图， 已
3、知AB是边长为 1 的正六边形的一条边， 点P在正六边形内 （含边界） ， 则AP BP的取值范围是 11 （5 分）已知曲线:2(12)C xyx剟，若对于曲线C上的任意一点( , )P x y，都有 第 2 页（共 17 页） 12 ()() 0 xycxyc，则 12 |cc的最小值为 12 （5 分） 在数列 n a中， 1 3a ， 1123 1 nn aaaaa ， 记 n T为数列 1 n a 的前n项和， 则lim n n T 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）经过点(1,1)，且方向向量为(1,2
4、)的直线方程是( ) A210 xy B230 xy C210 xy D230 xy 14 （5 分）设、表示两个不同的平面，l表示一条直线，且l，则/ /l是/ /的 ( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 15 （5 分）已知实数a、b满足(2)(1)8ab，有结论： 存在0a ，0b ，使得ab取到最大值； 存在0a ，0b ，使得ab取到最小值； 正确的判断是( ) A成立，成立 B不成立，不成立 C成立，不成立 D不成立，成立 16（5分） 已知函数 1 ( )|2|f xxa x ， 若存在相异的实数 1 x，2(,0)x ， 使得 12 (
5、)()f xf x 成立，则实数a的取值范围为( ) A 2 (,) 2 B(,2) C 2 ( 2 ，) D( 2，) 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分）分） 17 （14 分）如图，S是圆锥的顶点，O是底面圆的圆心，AB、CD是底面圆的两条直径， 且ABCD，4SO ，2OB ，P为SB的中点 （1）求异面直线SA与PD所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ； （2）求点S到平面PCD的距离 第 3 页（共 17 页） 18 （14 分）已知函数( )22 ( xx f xaa 为常数，)aR （1）讨论函数( )f x的奇
6、偶性； （2）当( )f x为偶函数时，若方程(2 )( )3fxk f x在0 x，1上有实根，求实数k的取 值范围 19 （14 分）为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分 隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半径为 100 米， 圆心角为 2 3 ，点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且/ /PQOA （1）当Q是OB的中点时，求PQ的长； （精确到米） （2） 已知种植玫瑰花、 郁金香和菊花的成本分别为 30 元/平方米、 50 元/平方米、 20 元/平 方米，要使郁金香种植区OPQ的面积尽可能的大，求OPQ面积的最大值，并求此
7、时扇 形区域AOB种植花卉的总成本 （精确到元） 20 （16 分）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A、B两点 （1）若直线l的方程为1yx，求线段AB的长； （2）若直线l经过点( 1,0)P ，点A关于x轴的对称点为A，求证：A、F、B三点共线； （3）若直线l经过点(8, 4)M，抛物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过 点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由 21 （18 分）对于至少有三项的实数列 n a，若对任意的(*,3)n nNn，都存在s、t（其 中st，s，*tN，sn，)tn，使得 nst aaa成立，则称数列 n a具有性
8、质P （1）分别判断数列 1，2，3，4 和数列1，0，1，2 是否具有性质P，请说明理由； 第 4 页（共 17 页） （2）已知数列 n a是公差为(0)d d 的等差数列，若sin nn ba，且数列 n a和 n b都具有 性质P，求公差d的最小值； （3）已知数列| n cnab（其中ab，a，*)bN，试探求数列 n c具有性质P的充 要条件 第 5 页（共 17 页） 2021 年上海市松江区高考数学二模试卷年上海市松江区高考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题
9、 5 分，共分，共 54 分）分） 1 （4 分）已知集合 |1| 1Ax x ，1B ，2，3，则AB 1 【解答】解：集合 |1| 1 | 11 1 |02Ax xxxxx ， 1B ，2，3， 1AB 故答案为：1 2 （4 分）若复数z满足(1)2(zii为虚数单位） ，则z 1i 【解答】解：因为(1)2zi， 所以 22(1)22 1 1(1)(1)2 ii zi iii 故答案为：1i 3 （4 分）已知向量(4, 2)a ，( ,2)bk，若ab，则实数k 1 【解答】解：(4, 2)a ，( ,2)bk，且ab， 440a bk，解得1k 故答案为：1 4 （4 分）在 6
10、(2)x的二项展开式中， 3 x项的系数为 160 （结果用数值表示） 【解答】解：展开式中含 3 x的项为 33333 6 220 8160C xxx， 所以 3 x项的系数为 160， 故答案为：160 5 （ 4 分 ） 如 图 所 示 ， 在 平 行 六 面 体 1111 A B C DA B C D中 ， 1111 A CB DF， 若 1 A Fx A By A Dz A A，则xyz 2 第 6 页（共 17 页） 【解答】解：因为 11111 1 2 AFABBBB FABBBB D 11111 1 () 2 ABBBADAB 1 11 22 ABBBADAB 1 11 22
11、ABADAA， 又 1 AFxAByADzAA， 所以 1 ,1 2 xyz， 则2xyz 故答案为：2 6 （4 分）若函数( )f xxa的反函数的图象经过点(2,1)，则a 3 【解答】解：根据反函数的定义可知，函数( )f xxa的反函数的图象经过点(2,1)， 则函数( )f x经过点(1,2)， 所以21a，解得3a 故答案为：3 7 （5 分）已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之 比为 :4 【解答】解：设正方体的棱长为a，圆柱的底面半径为r， 由圆柱和正方体的侧面积公式可知， 圆柱侧面积2 ra，正方体的侧面积 2 4a， 它们的侧面积相等，
12、2 24raa， 2a r ； 正方体与圆柱的体积比是： 33 2 2 :4 2 () aa a ra a 故答案为：:4 8 （5 分）因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从 5 名男医生和 4 名女医生中选派 3人前往隔离点进行核酸检测采样工作， 选派的三人中至少有1名女医生的概率为 37 42 【解答】 解： 某医院呼吸科准备从 5 名男医生和 4 名女医生中选派 3 人前往隔离点进行核酸 检测采样工作， 第 7 页（共 17 页） 基本事件总数 3 9 84nC， 选派的三人中至少有 1 名女医生包含的基本事件总数 33 95 74mCC， 选派的三人中至少有 1 名女医生的概率
13、7437 8442 m P n 故答案为： 37 42 9 （5 分）已知函数tan() 6 yx 的图象关于点( 3 ，0)对称，且| 1，则实数的值 为 1 2 或 1 【解答】解：函数tan() 6 yx 的图象关于点( 3 ，0)对称，且| 1， 36 k ，kZ，或 362 k ，kZ 则令0k ，可得实数 1 2 或1， 故答案为： 1 2 或 1 10 （5 分） 如图， 已知AB是边长为 1 的正六边形的一条边， 点P在正六边形内 （含边界） ， 则AP BP的取值范围是 1 ,3 4 【解答】解：如图，取AB的中点O，由已知得 1 2 OAOB， 则PAPOOA，PBPOOB
14、POOA 故 2221 4 AP BPPA PBPOOAPO 如图，以O为圆心，(OT T为边AB的对边NM的中点）为半径作圆，由正六边形的性质可 知， 该 圆 与 边NM相 切 于 点T， 且 故P点 为M或N点 时 ，PO最 大 ， 且 此 时 2 1 sin603OT 所以 222 113 3( ) 24 max OPOMOTTM， 第 8 页（共 17 页） 当P与O重合时，0PO 最小 故 211 3 44 PO剟 故答案为： 1 ,3 4 11 （5 分）已知曲线:2(12)C xyx剟，若对于曲线C上的任意一点( , )P x y，都有 12 ()() 0 xycxyc，则 12
15、 |cc的最小值为 32 2 【解答】解：2(12)xyx剟， 2 y x ，(12)x剟， 则 2 xyx x ， 设 2 ( )f xx x ， 则( )f x在(1，2上递减，则 2，2)上递增， 则当2x 时，( )f x最小为 2 ( )22 2 2 f x ， 当1x 时，( )123f x ，当2x 时，( )213f x ， 即( )f x的最大值为 3，则2 2( ) 3f x剟， 不妨设 12 cc， 则由 12 ()() 0 xycxyc得 1 0 xyc，且 2 0 xyc， 即 1 ()( )cxyf x ，且 2 ( )cxyf x ， 2 2( ) 3f x剟，
16、3( )2 2f x剟， 则 1 3c， 2 2 2c， 第 9 页（共 17 页） 则 12 |cc的最小值为| 3( 2 2)| 32 2 ， 故答案为：32 2 12 （5 分） 在数列 n a中， 1 3a ， 1123 1 nn aaaaa ， 记 n T为数列 1 n a 的前n项和， 则lim n n T 2 3 【解答】解： 1123 1 nn aaaaa ，可得 1231 1 nn aaaaa ，(2)n， 又 1123 1 nn aaaaa ， 1231 1 nn aaaaa ， 两式相除可得 1 1 1 n n n a a a ，即 1 1(1) nnn aa a ， 则
17、 1 1111 1(1)1 nnnnn aa aaa ， 即有 1 111 11 nnn aaa ，2n， 所以 123341 1111111 111111 n nn T aaaaaaa 11 11121 33131 nn aa ， 由 1 1a ， 1123 1 nn aaaaa ，可得1 n a ，且 n a为递增数列， 当n时， n a ，则 1 0 n a ，即有 1 1 0 1 n a ， 所以 1 212 limlim() 313 n nn n T a 故答案为： 2 3 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5
18、分）经过点(1,1)，且方向向量为(1,2)的直线方程是( ) A210 xy B230 xy C210 xy D230 xy 【解答】解：由于直线的方向向量为(1,2)，故直线的斜率为 2 2 1 ， 故直线的方程为12(1)yx ，即210 xy ， 故选：A 14 （5 分）设、表示两个不同的平面，l表示一条直线，且l，则/ /l是/ /的 ( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 第 10 页（共 17 页） 【解答】解：由l，/ / /l， 反之不成立，可能/ /或与相交 / /l是/ /的必要不充分条件， 故选：B 15 （5 分）已知实数a、
19、b满足(2)(1)8ab，有结论： 存在0a ，0b ，使得ab取到最大值； 存在0a ，0b ，使得ab取到最小值； 正确的判断是( ) A成立，成立 B不成立，不成立 C成立，不成立 D不成立，成立 【解答】解：因为(2)(1)8ab， 所以6(2 )abab， 0a ，0b ，2(2)(22)4 2 (2)(22)44ababab，当且22b时取等 号， 所以64ab， 解得2ab，即ab取到最大值 2；正确； 0a ，0b ， 当20a 时， 888 123 2 (2)34 23 222 abaaa aaa ， 当且仅当 8 2 2 a a 时取等号，此时2 22a 不符合0a ，不满
20、足题意； 当20a 时， 888 123 (2)334 2 222 abaaa aaa ， 此时取得最大值，没有最小值，错误 故选：C 16（5分） 已知函数 1 ( )|2|f xxa x ， 若存在相异的实数 1 x，2(,0)x ， 使得 12 ()()f xf x 成立，则实数a的取值范围为( ) A 2 (,) 2 B(,2) C 2 ( 2 ，) D( 2，) 【解答】解：函数 1 2, 1 2 ( )|2| 1 2, 2 a xa x x f xxa ax xa x x ， 第 11 页（共 17 页） 当0a ，0 x 时， 1 ( )2f xx x ， 2 1 ( )20fx
21、 x ，( )f x在(,0)递减，不成立， 舍去； 当0a ，0 x 时，则 1 ( )2f xxa x ， 2 1 ( )20fx x ，( )f x在(,0)递减，不成 立，舍去； 当0a ，0 x 时， 1 2,0 2 ( ) 1 2, 2 a xax x f x a xa x x ，当 2 a x 时， 2 1 ( )20fx x ，( )f x在 (,0)递减； 当0 2 a x 时， 2 1 ( )2fx x ，由( )0fx，可得 2 2 x ， 当2a，即 2 22 a 时， 2 a x，0)，则( ) 0fx恒成立， 当2a ，即 2 22 a 时， 2 a x，0)，则(
22、 )fx在( 2 a ， 2 ) 2 单调递增，在 2 ( 2 ，0)单 调递减 则对于任意 0 ( 2 a x ， 2 ) 2 ， 0 ()( ) 2 a f xf，则满足题意 存在相异的实数 1 x， 2 (,0)x ，使得 12 ()()f xf x成立， 此时2a ， 故选：B 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分）分） 17 （14 分）如图，S是圆锥的顶点，O是底面圆的圆心，AB、CD是底面圆的两条直径， 且ABCD，4SO ，2OB ，P为SB的中点 （1）求异面直线SA与PD所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ；
23、（2）求点S到平面PCD的距离 【解答】解： （1）连接PO，则/ /POSA， 第 12 页（共 17 页） 所以DPO为异面直线SA与PD所成角， 因为CDAB，CDSO，又ABSOO， 所以CD 平面SOB，又PO 平面SOB， 所以CDPO， 在Rt DOP中，2ODOB， 22 11 425 22 OPSA， 22 5 tan 55 OD DPO OP ， 所以异面直线SA与PD所成角大小为 2 5 arctan 5 （2）以O为原点，OA，OD，OS为x，y，z轴，如图所示： 所以(0O，0，0)，(0D，2，0)，(1P，0，2)，(0S，0，4)， (1SP ，0，2)，(0O
24、D ，2，0)，( 1PD ，2，2)， 设平面PCD的法向量为(nx，y，) z， 因为 0 0 n OD n PD ，即 0 220 y xyz ，令1z ，2x ，0y ， 所以( 2n ，0，1)， ( 2n SP ，0，1) (1，0，2)4 ， 所以点S到平面PCD的距离 222 |44 5 |5 ( 2)01 n SP d n 18 （14 分）已知函数( )22 ( xx f xaa 为常数，)aR （1）讨论函数( )f x的奇偶性； 第 13 页（共 17 页） （2）当( )f x为偶函数时，若方程(2 )( )3fxk f x在0 x，1上有实根，求实数k的取 值范围
25、【解答】解： （1）函数( )22 xx f xa 的定义域为xR， 又()22 xx fxa 当()( )fxf x时，即2222 xxxx aa 时，可得1a 即当1a 时，函数( )f x为偶函数； 当()( )fxf x 时，即22(22 )22 xxxxxx aaa 时，可得1a 即当1a 时，函数( )f x为奇函数 （2）由（1）可得，当函数( )f x为偶函数时，1a ， 即( )22 xx f x 时， 222 (2 )22(22 )2 xxxx fx 由题可得， 22 (22 )2(22 )3(22 )(22 )50 xxxxxxxx kk 令22 xx t ，则有 2 2
26、 20 50 2 kk tktt 0 x，1 1 21,2,2 ,1 2 xx 又 1 2222 2 xxx x ，当且仅当 1 20 2 x x x时，等号成立 根据对勾函数的性质可知， 5 222, 2 xx ，即 5 2, 2 t 2 20 2 2 kk 222 1 20420816 2 kkkkkk剟? 2 205 22 kk 222 1 205201025 2 kkkkkk厖? 此时k的取值不存在； 2 20 2 2 kk 222 1 20 420816 2 kkkkkk厖? 2 205 22 kk 222 1 20 5201025 2 kkkkkk剟? 第 14 页（共 17 页）
27、 此时，可得k的取值为 11 22 k剟 综上可得 11 22 k剟 19 （14 分）为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分 隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半径为 100 米， 圆心角为 2 3 ，点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且/ /PQOA （1）当Q是OB的中点时，求PQ的长； （精确到米） （2） 已知种植玫瑰花、 郁金香和菊花的成本分别为 30 元/平方米、 50 元/平方米、 20 元/平 方米，要使郁金香种植区OPQ的面积尽可能的大，求OPQ面积的最大值，并求此时扇 形区域AOB种植花卉的总成本 （精确到元）
28、【解答】解： （1）扇形的半径为 100 米1百米， 当Q时OB的中点时， 1 2 OQ ， 3 PQO ，1OP ， 在OPQ中， 由余弦定理可得， 222 2cos 3 OPOQPQOQ PQ ， 解得 113 1.15 4 PQ ， 所以Q是OB的中点时，PQ的长约为 115 米； （2）在OPQ中，由正弦定理可得， 1 2 sin sin()sin 33 PQOP OQP x ， 所以 2 322 sin(),(0,) 333 PQx x ， 所以OPQ的面积为 13233 sinsin()sinsin(2) 2336612 SPQ OPxxxx ， 故当sin(2)1 6 x ，即
29、3 x 时，OPQ的面积最大为 3 4 （百米 22 )2500 3m， 当 3 x 时，1PQOP，故扇形AOP的面积为 2 1 1 1 2 36 S （百米 22 5000 ) 3 m ， 扇形AOB的面积为 1 2 1 233 S 大 （百米 22 10000 ) 3 m ， 所以区域BQP的面积为 2 21 1000050005000 2500 32500 3 333 SSSSm 大 ， 因为种植玫瑰花、 郁金香和菊花的成本分别为 30 元/平方米、 50 元/平方米、 20 元/平方米， 第 15 页（共 17 页） 所以此时扇形区域AOB种植花卉的总成本为 100005000 30
30、502500 320(2500 3)531403 33 元 20 （16 分）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A、B两点 （1）若直线l的方程为1yx，求线段AB的长； （2）若直线l经过点( 1,0)P ，点A关于x轴的对称点为A，求证：A、F、B三点共线； （3）若直线l经过点(8, 4)M，抛物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过 点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 2 1 4 yx yx ，得 2 610 xx ， 所以 12 6xx， 因为抛物线的
31、方程为 2 4yx， 所以抛物线的焦点(1,0)F， 又直线:1l yx过抛物线的焦点(1,0)F， 所以由抛物线的定义可得 12 | |628ABAFBFxxP （2）证明：设直线l的方程为(1)yk x， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 2 (1) 4 yk x yx ，得 2222 (24)0k xkxk， 所以 12 1x x ，即 2 1 1 x x ， 直线A F的斜率为 11 11 (1) 11 A F yk x k xx ， 直线BF的斜率为 2211 221 1 1 (1) (1)(1) 1 111 1 BF k yk xxkx k xxx x
32、， 所以 A FBF kk ， 所以A、F、B三点共线 （3）假设存在点 2 0 ( 4 y N， 0) y使以弦AB为直径的圆恒过点N， 设过点(8, 4)M直线l的方程为(4)8xm y， 第 16 页（共 17 页） 联立 2 (4)8 4 xm y yx ，得 2 416320ymym， 设 2 1 ( 4 y A， 1) y， 2 2 ( 4 y B， 2) y， 则 12 4yym， 12 1632y ym ， 因为点N总在以弦AB为直径的圆上， 所以90ANB， 所以0NA NB， 又 22 01 ( 44 yy NA ， 10) yy， 22 02 ( 44 yy NB ， 2
33、0) yy， 所以 2222 0012 1020 ()()()()0 4444 yyyy yyyy， 所以 1020 1020 ()() ()()10 16 yyyy yyyy ， 当 10 yy或 20 yy，等式成立， 当 10 y 或 20 yy，有 1020 ()()16yyyy ， 所以 2 120120 ()160y yy yyy， 则 2 00 416160ymym， 即 000 4 (4)(4)(4)0m yyy， 所以当 0 4y 时，无论m取何值等式都成立， 将 0 4y 代入 2 4yx，得 0 4x ， 所以存在点(4,4)N使得以弦AB为直径的圆恒过点N 21 （18
34、 分）对于至少有三项的实数列 n a，若对任意的(*,3)n nNn，都存在s、t（其 中st，s，*tN，sn，)tn，使得 nst aaa成立，则称数列 n a具有性质P （1）分别判断数列 1，2，3，4 和数列1，0，1，2 是否具有性质P，请说明理由； （2）已知数列 n a是公差为(0)d d 的等差数列，若sin nn ba，且数列 n a和 n b都具有 性质P，求公差d的最小值； （3）已知数列| n cnab（其中ab，a，*)bN，试探求数列 n c具有性质P的充 要条件 【解答】解： （1）数列 1，2，3，4 不具有性质P，理由如下： 当4n 时，4 n a ，不存在
35、s、t（其中st，s，*tN，sn，)tn，使得 nst aaa 第 17 页（共 17 页） 成立， 所以数列 1，2，3，4 不具有性质P， 数列1，0，1，2 具有性质P，理由如下： 若1 n a ，0 s a ，1 t a ，则满足 nst aaa， 若2 n a ，1 s a ，1 t a ，则满足 nst aaa， 所以数列1，0，1，2 具有性质P （2） n a的公差为d，sin nn ba， nst nst bbb aaa ， sin() stst bbaa， 要使d最小， sinsinsin()sincoscossin stststtt aaaaaaaa， cos1 cos1 t s a a ， 2 t at，2 s as， 又 22 2 st aast d stst ， 2 min d （3）数列| n cnab且具有性质P， nst ccc， |(|)nabsabtab ， |bnasata （充分性成立） ， 又由|bnasata可得|(|)nabsabtab ， 即 nst ccc（必要性成立） ， 数列 n c具有性质P的充要条件是|bnasata