1、 第 1 页（共 18 页） 2021 年上海市嘉定区高考数学二模试卷年上海市嘉定区高考数学二模试卷 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1 （4 分）已知集合 | 12Axx ，0B ，1，2，3，则AB 2 （4 分）已知复数z满足 1 ( 1 i i z 为虚数单位） ，则|z 3 （4 分）已知等差数列 n a满足 24 38aa，则 5 a 4 （4 分）若实数x、y满足 2 0 23
2、 0 0 xy xy y ，则2zxy的最大值为 5 （4 分）已知函数( )2log (1)(0 a f xxa，且1)a 若( )yf x的反函数的图象经过 点(1,2)，则a 6 （4 分） 九章算术中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑” 已知某“鳖臑” 的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为 7 （5 分）已知正数x、y满足 4 1x y ，则 1 y x 的最小值为 8 （5 分）设数列 n a的前n项和为 n S，且满足4 1 1 nn Sa ，则lim n n S 9（5 分） 将 7 1 ()x x 的二项展开式的各项重新随机排列， 则有理项互不相邻的概率为 10 （5
3、分）已知点A、B是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右顶点，点P是该双曲线 上异于A、B的另外一点，若ABP是顶角为120的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方 程是 第 2 页（共 18 页） 11（5 分） 已知函数 2 | ,2 28 ( ) 1 ( ),2 2 x a x x x f x x ， 若对任意的 1 2x ，)， 都存在唯一的 2 (,2)x ， 满足 12 ()()f xf x，则实数a的取值范围是 12 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，起点为坐标原点的向量a，b满足| | 1ab，且 1 2 a b ，( ,1)cmm，(dn，1)(n m，)n
4、R 若存在向量a、b， 对于任意实数m， n，不等式|acbdT成立，则实数T的最大值为 二、选择题二、选择题(本大题共有本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应分）每题有且只有一个正确选项，考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13 （5 分） “函数( )sin()(f xx x、R，且0)的最小正周期为”是“2”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 14 （5 分）已知一组数据 3、4、a、6、8 的平均数是 5，则这组数据
5、的方差是( ) A3.2 B3.5 C4 D5 15 （5 分）设直线yx与椭圆 2cos sin x y 交于A、B两点，点P在直线3ykx上若 | 2PAPB，则实数k的取值范围是( ) A( 2,2) B 2 2,2 2 C(，2)(2，) D(，2 22 2，) 16 （5 分） 已知函数 131 ( )2021(1)20212 xx f xxx ， 则不等式 2 (4)(23 ) 4f xfx 的解集为( ) A 1，4 B 4，1 C(，14，) D(， 41，) 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必
6、分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤要的步骤 17 （14 分）在矩形ABCD中，2AB ，1BC ，矩形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱如 第 3 页（共 18 页） 图，矩形ABCD绕AB顺时针旋转 2 至 11 ABC D，线段 1 DD的中点为M （1）求证： 1 AMCD； （2）求异面直线CM与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） 18 （14 分）设常数aR，函数 1 ( )3 3 x x f xa （1）若函数( )f x是奇函数，求实数a的值； （2）若函数( )2yf xa在0 x，1时有零点，求实数a的取值范围 19 （14 分）某居民小区为缓解业
7、主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改 造 如图所示， 平行四边形OMPN区域为停车场， 其余部分建成绿地， 点P在围墙AB弧上， 点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且90OA 米， 3 AOB ，设POB （1）当 6 时，求停车场的面积（精确到 0.1 平方米） ； （2）写出停车场面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积S取得最大 值 20 （16 分）已知抛物线 2 :2ypx的焦点为(2,0)F，点P在抛物线上 （1）求抛物线的方程； （2）若| 5PF ，求点P的坐标； （3）过点(T t，0)(0)t 作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A、B、C、D四点
8、， 且点M、N分别为线段AB、CD的中点，求TMN的面积的最小值 第 4 页（共 18 页） 21 （18 分）已知数列 n a满足： 1 1a ， 1 | n nn aap ，*nN， n S为数列 n a的前n项 和 （1）若 n a是递增数列，且 1 3a， 2 4a， 3 5a成等差数列，求p的值； （2）已知 1 3 p ，且 21 n a 是递增数列， 2 n a是递减数列，求数列 n a的通项公式； （3）已知1p ，对于给定的正整数n，试探究是否存在一个满足条件的数列 n a，使得 n Sn若存在，写出一个满足条件的数列 n a；若不存在，请说明理由 第 5 页（共 18 页）
9、 2021 年上海市嘉定区高考数学二模试卷年上海市嘉定区高考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1 （4 分）已知集合 | 12Axx ，0B ，1，2，3，则AB 0，1 【解答】解： | 12Axx ，0B ，1，2，3， 0AB，1 故答案为：0，1 2 （4 分）已知复数z满足 1 ( 1 i i z 为虚数单位） ，则|z 2 【解答
10、】解：由 1 1 i z ，得1zii ， 即 2 1(1)() 1 iii zi ii ， 1zi ， 22 |112z， 故答案为：2 3 （4 分）已知等差数列 n a满足 24 38aa，则 5 a 4 【解答】解：因为 24 38aa， 所 11 398adad， 即 1 44ad， 所以 51 44aad， 故答案为：4 4 （4 分）若实数x、y满足 2 0 23 0 0 xy xy y ，则2zxy的最大值为 6 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 6 页（共 18 页） 由图可知，(3,0)A， 由2zxy，得2yxz，由图可知，当直线2yxz过A时， 直线在y轴上的
11、截距最小，z有最大值为 6 故答案为：6 5 （4 分）已知函数( )2log (1)(0 a f xxa，且1)a 若( )yf x的反函数的图象经过 点(1,2)，则a 1 3 【解答】解：因为( )yf x的反函数的图象经过点(1,2)， 由函数与反函数图象关于yx对称，则函数( )f x的图象经过点(2,1)， 则有2log (21)1 a ，解得 1 3 a 故答案为： 1 3 6 （4 分） 九章算术中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑” 已知某“鳖臑” 的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为 8 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 第 7 页（共 18 页） 其中底面三
12、角形BCD为直角三角形，BCCD，4BC ，3CD ， AB 底面BCD，4AB ， 则该“鳖臑”的体积为 11 4348 32 V 故答案为：8 7 （5 分）已知正数x、y满足 4 1x y ，则 1 y x 的最小值为 9 【解答】解：因为正数x、y满足 4 1x y ， 则 11444 ()()5529yy xxyxy xxyxyxy ， 当且仅当 4 xy xy 且 4 1x y ，即 1 3 x ，6y 时取等号，此时 1 y x 的最小值 9 故答案为：9 8 （5 分）设数列 n a的前n项和为 n S，且满足4 1 1 nn Sa ，则lim n n S 4 【解答】解：4
13、1 1 nn Sa ，可得4 nn Sa 可得 1 24 nn SS 所以 1 2(4)4 nn SS 所以4 n S 是等比数列，公比为 1 2 ， 所以 1 1 4(24) ( ) 2 n n S ， 1 1 42 ( ) 2 n n S ， 则lim4/ n n S 故答案为：4 第 8 页（共 18 页） 9 （5 分）将 7 1 ()x x 的二项展开式的各项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为 1 14 【解答】解：展开式的通项公式为 3 7 7 2 177 1 () r rrrr r TC xC x x ，0r ，1，2，3，4，5，6， 7， 若 3 7 2 rZ，则r是偶数
14、，所以0r ，2，4，6， 即展开式的第 1，3，5，7 项为有理项，共 4 项有理项， 又因为展开式中共有 8 项， 所以展开式中的各项重新随机排列有 8 8 A种情况， 其中有理项互不相邻的情况有 44 45 A A种， 所以所求的概率为 44 45 8 8 1 14 A A A ， 故答案为： 1 14 10 （5 分）已知点A、B是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右顶点，点P是该双曲线 上异于A、B的另外一点，若ABP是顶角为120的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方 程是 0 xy 【解答】解：设P在双曲线线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的
15、左支上， 且2ABPBa，120PBA， 则P的坐标为(2 , 3 )aa， 代入双曲线方程可得， 22 22 43 1 aa ab ， 可得ab， 该双曲线的渐近线方程为0 xy 故答案为：0 xy 11（5 分） 已知函数 2 | ,2 28 ( ) 1 ( ),2 2 x a x x x f x x ， 若对任意的 1 2x ，)， 都存在唯一的 2 (,2)x ， 第 9 页（共 18 页） 满足 12 ()()f xf x，则实数a的取值范围是 1，5) 【解答】解：当2x，)时， 2 ( ) 28 x f x x ，即 1 ( ) 4 2() f x x x ， 44 24xx x
16、x ，当且仅当 4 x x ，即2x 时，等号成立， 函数( )f x在2x，)时，值域为(0， 1 8 ， 当(,2)x 时， 若2a时，则 | 11 ( )( )( ) 22 x aa x f x ，(,2)x ，它是增函数， 此时( )yf x的取值范围是(0， 2 1 ( ) 2 a ， 由题意可知 2 11 ( ) 28 a ， 解得5a ， 又2a， 25a， 若2a ，则 1 ( ), 2 ( ) 1 ( ),2 2 a x x a xa f x a x ，函数( )yf x在(，a上是增函数，此时( )yf x 的取值范围是(0，1， 而函数( )yf x在a，2)上是减函数，
17、此时( )yf x的取值范围是 2 1 ( ) 2 a ，1， 由题意可得 2 11 ( ) 28 a ， 解得1a，又2a ， 12a， 综上所述，所求实数a的取值范围是 1，5) 故答案为： 1，5) 12 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，起点为坐标原点的向量a，b满足| | 1ab，且 1 2 a b ，( ,1)cmm，(dn，1)(n m，)nR 若存在向量a、b， 对于任意实数m， n，不等式|acbdT成立，则实数T的最大值为 12 【解答】解：因为| | 1ab，且 1 2 a b ，所以, a b的夹角为120， 第 10 页（共 18 页） 设,aOA bOB cOC
18、dOD， 则点A，B在单位圆上，点C，D在直线10 xy 上，如图所示， 根据m，n的任意性，即求点A，B到直线10 xy 距离之和的最小值，即AEBF（点 E，F分别是点A，B在直线10 xy 上的射影点） ， 同时根据, a b的存在性，问题转化为求解AEBF的最大值， 设AB的中点为M，设点M，O在直线10 xy 上射影点分别为N， O ， 则 12 22()2()12 22 AEBFMNMO OO ， 当且仅当点M，O， O 依次在一条直线上时取等号， 所以12T，故所求实数T的最大值为12 故答案为：12 二、选择题二、选择题(本大题共有本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每
19、题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应分）每题有且只有一个正确选项，考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13 （5 分） “函数( )sin()(f xx x、R，且0)的最小正周期为”是“2”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 【解答】解：根据题意，若函数( )sin()(f xx x、R，且0)的最小正周期为，则 2 | ，解可得2 ， 则“函数( )sin()(f xx x、R，且0)的最小正周期为”不是“2”的充分条 件， 第 11 页（共 18 页） 反之，若
20、2，则函数( )sin()f xx的最小正周期为 2 | ， 则“函数( )sin()(f xx x、R，且0)的最小正周期为”是“2”的必要条件， 综合可得： “函数( )sin()(f xx x、R，且0)的最小正周期为”是“2”的必 要非充分条件， 故选：B 14 （5 分）已知一组数据 3、4、a、6、8 的平均数是 5，则这组数据的方差是( ) A3.2 B3.5 C4 D5 【解答】解：因为 3、4、a、6、8 的平均数是 5， 所以346825a，解得4a ， 故这组数据为 3，4，4，6，8， 所以这组数据的方差为 222222 1 (35)(45)(45)(65)(85) 3
21、.2 5 s 故选：A 15 （5 分）设直线yx与椭圆 2cos sin x y 交于A、B两点，点P在直线3ykx上若 | 2PAPB，则实数k的取值范围是( ) A( 2,2) B 2 2,2 2 C(，2)(2，) D(，2 22 2，) 【解答】解：根据题意，点P在直线3ykx上，则设( ,3)P x kx， 直线yx经过原点，即关于原点对称， 直线yx与椭圆 2cos sin x y 交于A、B两点， 则AB关于原点对称， 即AB的中点为(0,0)O， 则2PAPBPO， 则有| 2PAPB，即| 1PO ， 则有 22 (3)1xkx，变形可得 22 (1)680kxkx ， 必
22、有 22 3632(1) 0kk，解可得2 2k或2 2k， 即k的取值范围为(，2 22 2，)， 第 12 页（共 18 页） 故选：D 16 （5 分） 已知函数 131 ( )2021(1)20212 xx f xxx ， 则不等式 2 (4)(23 ) 4f xfx 的解集为( ) A 1，4 B 4，1 C(，14，) D(， 41，) 【解答】解：因为 131 ( )2021(1)20212 xx f xxx ， 所以 3 (1)202120212(1) xx f xxx ， 令 3 ( )(1)2202120212 xx g xf xxx ， 则易得()( )gxg x ，即(
23、 )g x为奇函数且单调递增， 由题意得( )(1)2f xg x， 由 2 (4)(23 ) 4f xfx可转化为 2 (5)(1 3 )4 4g xgx ， 即 2 (5)( 1 3 )g xgx ， 因为( )g x单调递增， 所以 2 513xx ， 解得14x 剟， 故选：A 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤要的步骤 17 （14 分）在矩形ABCD中，2AB ，1BC ，矩形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱如 图，矩形ABCD绕AB顺时针旋转 2
24、 至 11 ABC D，线段 1 DD的中点为M （1）求证： 1 AMCD； （2）求异面直线CM与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） 第 13 页（共 18 页） 【解答】解： （1）证明：由题意知， 1 AMDD， CD是圆柱的一条母线，CD垂直于圆柱的底面， 则CDAM，即AMCD， 又 1 DDCDD，且 1 DD，CD平面 1 CDD， AM平面 1 CDD， 1 CD 平面 1 CDD， 1 AMCD； （2）连结BM，如图示： 由题意知，/ /BCAD， 异面直线CM与AD所成的角等于直线CM与直线BC所成的角， 在BCM中，1BC ， 2222221 23 2 ()
25、2() 222 DD CMCDDMCD， 2222221 23 2 ()2() 222 DD BMBAAMBA， 第 14 页（共 18 页） 由余弦定理，得 222 222 3 23 2 1()() 2 22 cos 263 2 2 1 2 BCCMBM BCM BC CM ， 2 arccos 6 BCM， 故异面直线CM与AD所成的角的大小是 2 arccos 6 18 （14 分）设常数aR，函数 1 ( )3 3 x x f xa （1）若函数( )f x是奇函数，求实数a的值； （2）若函数( )2yf xa在0 x，1时有零点，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）函数定义域R
26、， 由( )f x为奇函数得(0)10fa ， 所以1a ， 1 ( )3 3 x x f x ， 1 ()3( ) 3 x x fxf x ， 所以( )f x为奇函数， （2）由 1 ( )2320 3 x x yf xaaa在0 x，1时有零点， 设3xt ， 由0 x，1得1t，3， 当0a 时显然不成立， 故0a ，方程等价于 2 1 2tt a 在1t，3时有解， 结合二次函数的性质可知 2 2ytt的值域3，15， 所以 1 315 a 剟， 解得 11 315 a剟 故a的范围 11 , 315 19 （14 分）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进
27、行改 造 如图所示， 平行四边形OMPN区域为停车场， 其余部分建成绿地， 点P在围墙AB弧上， 点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且90OA 米， 3 AOB ，设POB （1）当 6 时，求停车场的面积（精确到 0.1 平方米） ； （2）写出停车场面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积S取得最大 第 15 页（共 18 页） 值 【解答】解： （1）在OPN中， 2 3 ONP ， 6 PONOPN ， 由正弦定理得 sinsin ONOP OPNONP ， 30 3ON， 则停车场面积 1 2sin9030 32338.3 2 OPN SSOP ON （平方米） ， （
28、2）在OPN中， 2 3 ONP ， 3 OPN ， 由正弦定理得 sinsin ONOP OPNONP ， 60 3sin() 3 ON ， 则停车场的面积为2sin5400 3sinsin()(0) 33 OPN SSOP ON ， 1 2700 3sin(2)2700 3sin(2)1350 3 626 S ， 因为0 3 ，所以 5 2 666 ， 当2 62 ，即 6 时，停车场的面积最大 20 （16 分）已知抛物线 2 :2ypx的焦点为(2,0)F，点P在抛物线上 （1）求抛物线的方程； （2）若| 5PF ，求点P的坐标； （3）过点(T t，0)(0)t 作两条互相垂直的直
29、线分别交抛物线于A、B、C、D四点， 且点M、N分别为线段AB、CD的中点，求TMN的面积的最小值 第 16 页（共 18 页） 【解答】解： （1）抛物线 2 :2ypx的焦点为(2,0)F， 可得2 2 p ，即4p ， 所以抛物线的方程为 2 8yx； （2）由抛物线 2 8yx的焦点(2,0)F，准线方程为2x ， 可得|25 P PFx，所以3 P x ，2 6 P y ， 即有(3P，2 6)，或(3, 2 6)； （3）由题意可得直线AB，CD的斜率存在，且不为 0，可设AB的斜率为k， 则直线CD的斜率为 1 k ，直线AB的方程为()yk xt，直线CD的方程为 1 ()yx
30、t k ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 由 2 () 8 yk xt yx 可得 2222 2 2(4)0k xk txk t， 可得 12 2 8 2xxt k ，所以 1212 88 ()222yyk xxktktkt kk ， 则 2 4 (M t k ， 4) k ， 将M中的k换为 1 k ，可得 2 (4N tk，4 )k， 所以 222 22 444 |()( )1TMttk kkk ， 2222 |(4)( 4 )4| 1TNkttkkk ， 于是 111 | | 8(|) 82 |16 2| TMN STMTNkk kk ， 当且仅当1k 时，
31、上式取得等号 所以TMN的面积的最小值为 16 第 17 页（共 18 页） 21 （18 分）已知数列 n a满足： 1 1a ， 1 | n nn aap ，*nN， n S为数列 n a的前n项 和 （1）若 n a是递增数列，且 1 3a， 2 4a， 3 5a成等差数列，求p的值； （2）已知 1 3 p ，且 21 n a 是递增数列， 2 n a是递减数列，求数列 n a的通项公式； （3）已知1p ，对于给定的正整数n，试探究是否存在一个满足条件的数列 n a，使得 n Sn若存在，写出一个满足条件的数列 n a；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）由于数列 n a是递增
32、数列， 所以 11 | n nnnn aaaap ， 由于 1 1a ，所以 2 1ap ， 2 3 1app ， 由于 1 3a， 2 4a， 3 5a成等差数列， 所以 213 835aaa， 整理得 2 530pp， 故0p 或 5 3 当0p 时， 1nn aa ，与数列 n a是递增数列是单调增数列矛盾， 所以 5 3 p （2）由于数列 21 n a 是递增数列， 所以 2121 0 nn aa ， 于是 212221 ()()0 nnnn aaaa ， 由于 221 11 33 nn ， 所以 212221 | | nnnn aaaa ， 由得： 221 0 nn aa ， 因此
33、 21 221 1 ( ) 3 n nn aa ， 即 2 221 21 ( 1) 3 n nn n aa ， 由于数列 2 n a是递减数列， 故 222 0 nn aa ， 则 2221212 ()()0 nnnn aaaa ， 第 18 页（共 18 页） 由于 212 11 33 nn ，所以 2221212 | | nnnn aaaa ， 由得： 212 0 nn aa ， 因此 2 212 1 ( ) 3 n nn aa ，即 21 212 2 ( 1) 3 n nn n aa ， 由得： 1 1 ( 1) 3 n nn n aa ， 故2n时， 1 121321 11 1 1()
34、 1( 1)151( 1) 3 ()()()11 1 333443 1 3 n nn nnn nn aaaaaaaa ， 即 1 51( 1) 443 n n n a ， 当1n 时，代入上式得到 1 1a ，与已知条件吻合， 所以 1 51( 1) () 443 n n n anN （3）当4nk或43nk时，存在数列 n a，使得 n Sn， 此时数列 n a，满足 4341 1 kk aa ， 42 0 k a ， 4 2 k a， 则有 4 4 (1012)4 4 k k Sk ， 431 44 (1012)43 4 k k Sak ， 即 n Sn， 当42nk或41nk时，不存在数列 n a，使得 n Sn， 理由如下：由于 1 | 1 nn aa ， 所以 1 1 nn aa ， 又因为 1 1a 为奇数，则当nN 时， 21n a 为奇数， 2n a为偶数， 所以当kN 时， 42k S 为奇数， 41k S 为偶数， 因此 42 42 k Sk ， 41 41 k Sk 均不可能成立， 于是当42nk或41nk时，()nN时，不存在数列 n a，使得 n Sn