1、 第 1 页（共 16 页） 2021 年天津市红桥区高考数学质量调查试卷（一） （一模）年天津市红桥区高考数学质量调查试卷（一） （一模） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）集合 |0Ax x， 2B ，1，0，2，则()( RA B ) A0，2 B 2，1 C 2，1，0 D2 2 （5 分） “|1| 2x成立”是“(3)0 x x成立”的( ) A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）函数sin 3 x yx的图象大致是( )
2、 A B C D 4 （5 分）某校对高三年级 800 名学生的数学成绩进行统计分析全年级同学的成绩全部介 于 80 分与 150 分之间， 将他们的成绩按照80，90)，90，100)，100，110)，110，120)， 120，130)，130，140)，140，150分组， 整理得到如图频率分布直方图， 则成绩在120， 130)内的学生人数为( ) A200 B240 C360 D280 5 （5 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有委米 依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆放米（如 图，米堆为一个圆锥的四分之
3、一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体 第 2 页（共 16 页） 积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放 的米约有( ) A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 6 （5 分）已知函数( )yf x在区间(,0)内单调递增，且()( )fxf x，若 1 2 (log 3)af， 1.2 (2)bf ， 1 ( ) 2 cf，则a，b，c的大小关系为( ) Aacb Bbca Cbac Dabc 7 （5 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p上一点(1M，)(0)m m到其焦点的距离为 5，双曲线 2
4、 2 1 x y a 的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是( ) A 1 9 B 1 25 C 1 5 D 1 3 8 （5 分）已知函数( )cos(2)2sin()cos() 344 f xxxx ，xR，给出下列四个命题： 函数( )f x的最大值为 1； 函数( )f x的最小正周期为； 函数( )f x在 4 ， 4 上单调递增； 将函数( )f x的图象向左平移 12 个单位长度，得到的函数解析式为( )sin2g xx 其中正确命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 9 （5 分）已知函数( ) |f xlnx， 2 0,01 ( ) |4|,1
5、x g x xx ，若关于x的方程( )( )f xmg x恰 有三个不相等的实数解，则m的取值范围是( ) A(2ln，0 B0，2ln C( 22ln ，0 D0，22)ln 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 第 3 页（共 16 页） 10 （5 分）i是虚数单位，则复数 3 12 i i 11 （5 分）在 8 1 ()x x 的二项展开式中 2 x项的系数为 12 （5 分）已知直线20axy与圆心为C的圆 22 (1)()4xya相交于A，B两点， 且ABC为等边三角形，则实数a 13 （5 分）2021 年是中国
6、共产党成立 100 周年，现有A，B两队参加建党 100 周年知识竞 赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢 1 分，答错得 0 分；A队中每人答对 的概率均为 1 3 ，B队中 3 人答对的概率分别为 2 3 ， 2 3 ， 1 3 ，且各答题人答题正确与否互不 影响，若事件M表示“A队得 2 分” ，事件N表示“B队得 1 分” ，则()P MN 14 （5 分）已知0 x ，1y ，且1xy，则 22 3 1 xy xy 的最小值为 15 （5 分）在等腰梯形ABCD中，已知/ /ABDC，2AB ，1BC ，60ABC动点E 和F分别在线段BC和DC上， 且BEBC， 1
7、9 DFDC ， 则A EA F的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （14 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 满足3 cossinaBbA （）求B的大小； （）若 2 cos 3 A，求sin(2)AB的值； （）若2b ，2ca，求边a的值 17 （15 分）如图所示，直角梯形ABCD中，/ /ADBC，ADAB，22ABBCAD， 四边形EDCF为矩形，3CF ，平面EDCF 平面ABCD （）求证：/ /DF平面ABE； （）求平
8、面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值 18 （15 分）如图，椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 经过点(0, 1)A，且离心率为 2 2 第 4 页（共 16 页） （）求椭圆E的方程； （）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点)A，问直 线AP与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 19 （15 分）已知数列 n a的前n项和 n S满足：2( 1)n nn Sa ，1n （）求数列 n a的前 3 项 1 a， 2 a， 3 a； （）求证：数列 2 ( 1) 3 n n a 是等比数列； （）求数列(63)
9、 n na的前n项和 n T 20 （16 分）已知函数( )(1)f xx lnxm，mR （）若2m ，求曲线( )yf x在点(e，f（e）)处的切线方程； （）当1x 时，求函数( )f x的单调区间和极值； （）若对于任意xe， 2) e，都有( )4f xlnx成立，求实数m的取值范围 第 5 页（共 16 页） 2021 年天津市红桥区高考数学质量调查试卷（一） （一模）年天津市红桥区高考数学质量调查试卷（一） （一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
10、的 1 （5 分）集合 |0Ax x， 2B ，1，0，2，则()( RA B ) A0，2 B 2，1 C 2，1，0 D2 【解答】解：集合 |0Ax x， 2B ，1，0，2， 所以 |0 RA x x， 所以() 2 RA B ，1，0 故选：C 2 （5 分） “|1| 2x成立”是“(3)0 x x成立”的( ) A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由|1| 2x，解得：13x 由(3)0 x x，解得：03x “|1| 2x成立”是“(3)0 x x成立”的必要不充分条件 故选：C 3 （5 分）函数sin 3 x yx的图
11、象大致是( ) A B C D 【解答】解：设( )sin 3 x f xx，则函数的定义域为R ()sin()(sin )( ) 33 xx fxxxf x 函数为奇函数 第 6 页（共 16 页） 1 ( )cos 3 fxx，( )sinfxx ， 函数在原点右侧，靠近原点处单调增，且0 x 时， ( )0f x ，0 x 时，( )0f x 故选：C 4 （5 分）某校对高三年级 800 名学生的数学成绩进行统计分析全年级同学的成绩全部介 于 80 分与 150 分之间， 将他们的成绩按照80，90)，90，100)，100，110)，110，120)， 120，130)，130，14
12、0)，140，150分组， 整理得到如图频率分布直方图， 则成绩在120， 130)内的学生人数为( ) A200 B240 C360 D280 【 解 答 】 解 ： 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 ， 成 绩 在120，130)内 的 频 率 为 1(0.0050.01 20.0150.0250.005) 100.3， 所以成绩在120，130)内的频数为8000.3240 故选：B 5 （5 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有委米 依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆放米（如 图，米堆为一个圆锥的四分之一
13、） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体 积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放 的米约有( ) A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 第 7 页（共 16 页） 【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则8 2 r ， 解得 16 r ， 故米堆的体积为 2 1116320 ()5 439 ， 1斛米的体积约为 1.62 立方尺， 320 1.6222 9 ， 故选：B 6 （5 分）已知函数( )yf x在区间(,0)内单调递增，且()( )fxf x，若 1 2 (log 3)af， 1.2 (2)bf ，
14、 1 ( ) 2 cf，则a，b，c的大小关系为( ) Aacb Bbca Cbac Dabc 【解答】解：根据题意，函数( )yf x满足()( )fxf x，则函数( )f x为偶函数， 又由函数( )yf x在区间(,0)内单调递增，则( )f x在(0,)上递减， 12 2 (log 3)(log 3)aff， 1.2 (2)bf ， 1 1 ( )(2 ) 2 cff ， 又由 1.21 2 221log 3 ， 则bca， 故选：B 7 （5 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p上一点(1M，)(0)m m到其焦点的距离为 5，双曲线 2 2 1 x y a 的左顶点为A，若双曲
15、线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是( ) A 1 9 B 1 25 C 1 5 D 1 3 【解答】解：抛物线 2 2(0)ypx p的准线方程为 2 p x ， 由抛物线的定义可得51 2 p ，可得8p ， 即有 2 16yx，(1,4)M， 双曲线 2 2 1 x y a 的左顶点为(Aa，0)， 渐近线方程为 1 yx a ， 第 8 页（共 16 页） 直线AM的斜率为 4 1a ， 由双曲线的一条渐近线与直线AM平行， 可得 14 1aa ，解得 1 9 a ， 故选：A 8 （5 分）已知函数( )cos(2)2sin()cos() 344 f xxxx ，xR，给出下
16、列四个命题： 函数( )f x的最大值为 1； 函数( )f x的最小正周期为； 函数( )f x在 4 ， 4 上单调递增； 将函数( )f x的图象向左平移 12 个单位长度，得到的函数解析式为( )sin2g xx 其中正确命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解： ()cos(2)2sin()cos()cos(2)sin(2)cos(2)cos(2)2sin(2)sin()sin(2) 344323666 fxxxxxxxxxx ， 对于，( )f x的最大值为 1，所以对； 对于，( )f x的最小正周期为 2 2 ，所以对； 对于， 4 x ， 2 2 463 tx
17、， 3 ，sint在 2 3 ， 3 上不是单调函数， 所以( )f x在 4 ， 4 上不是单调函数，所以错； 对 于 ， 将 函 数( )f x的 图 象 向 左 平 移 12 个 单 位 长 度 ， 得 到 ()s i n ( 2 ()s i n 2 1 21 26 yfxxx ，所以对 故选：C 9 （5 分）已知函数( ) |f xlnx， 2 0,01 ( ) |4|,1 x g x xx ，若关于x的方程( )( )f xmg x恰 有三个不相等的实数解，则m的取值范围是( ) A(2ln，0 B0，2ln C( 22ln ，0 D0，22)ln 【解答】解：设( )( )h x
18、f xm， 第 9 页（共 16 页） 作出函数( )f x和( )g x的图象如图， 则( )h x是( )f x的图象沿着1x 上下平移得到， 由图象知要使方程( )( )f xmg x恰有三个不相等的实数解， 则等价为( )h x与( )g x的图象有三个不同的交点， 则满足 (1)(1) (2)(2) hg hg ， 即 0 20 m lnm ， 即20lnm ， 即实数m的取值范围是(2ln，0， 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 10 （5 分）i是虚数单位，则复数 3 12 i i 17 55 i 【解
19、答】解：复数 3(3)(12 )32617 12(12 )(12 )555 iiiii i iii ， 故答案为： 17 55 i 11 （5 分）在 8 1 ()x x 的二项展开式中 2 x项的系数为 56 【解答】解：展开式的通项公式为 88 2 188 1 ()( 1) rrrrrr r TC xCx x ， 令822r，解得3r ， 所以展开式的含 2 x项的系数为 33 8( 1) 56C ， 第 10 页（共 16 页） 故答案为：56 12 （5 分）已知直线20axy与圆心为C的圆 22 (1)()4xya相交于A，B两点， 且ABC为等边三角形，则实数a 415 【解答】解
20、：圆心(1, )Ca，半径2r ， ABC为等边三角形， 圆心C到直线AB的距离 2 213d ， 即 22 |2|22| 3 11 aaa d aa ， 平方得 2 810aa ， 解得415a ， 故答案为：415 13 （5 分）2021 年是中国共产党成立 100 周年，现有A，B两队参加建党 100 周年知识竞 赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢 1 分，答错得 0 分；A队中每人答对 的概率均为 1 3 ，B队中 3 人答对的概率分别为 2 3 ， 2 3 ， 1 3 ，且各答题人答题正确与否互不 影响，若事件M表示“A队得 2 分” ，事件N表示“B队得 1 分”
21、 ，则()P MN 2 27 【解答】解：事件M表示“A队得 2 分” ，事件N表示“B队得 1 分” ， 则 22 3 122 ()( )( ) 339 P MC， 2212212211 ()(1)(1)(1)(1)(1)(1) 3333333333 P N ， 212 ()() () 9327 P MNP M P N 故答案为： 2 27 14 （5 分）已知0 x ，1y ，且1xy，则 22 3 1 xy xy 的最小值为 23 【解答】解： 222 33(1)2(1)1313113113(1)1 (1)2()(1)(31)(423)23 111121212 xyyyyx xxyxy
22、xyxyxyxyxyxy ， 当且仅当 3(1) 1 yx xy 时，即33x ，32y 时取等号， 第 11 页（共 16 页） 故 22 3 1 xy xy 最小值为23， 故答案为：23 15 （5 分）在等腰梯形ABCD中，已知/ /ABDC，2AB ，1BC ，60ABC动点E 和F分别在线段BC和DC上，且BEBC， 1 9 DFDC ，则AE AF的最小值为 29 18 【解答】解：由题意，得到1ADBCCD，所以 1 () ()() () 9 AE AFABBEADDFABBCADDC 1111 2 1 cos601 1 cos602 11 1 cos120 9999 AB A
23、DBC ADAB DCBC DC 2117229 1 291818318 （当且仅当 2 29 时等号成立） ； 故答案为： 29 18 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （14 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 满足3 cossinaBbA （）求B的大小； （）若 2 cos 3 A，求sin(2)AB的值； （）若2b ，2ca，求边a的值 【解答】解： （）因为3 cossinaBbA， 所以3sincossinsinABBA， 因为sin
24、0A， 所以tan3B ， 因为(0, )B， 所以 3 B （ ）因为 2 cos 3 A， 2 7 sin1 3 Acos A， 可得 2 14 sin22sincos 9 AAA， 2 5 cos22cos1 9 AA 第 12 页（共 16 页） 所以 2 141532 145 3 sin(2)sin2 coscos2 sin() 929218 ABABAB （）因为 3 B ，2b ，2ca， 由余弦定理 222 2cosbacacB， 可得 222222 4423acacaaaa， 解得 2 3 3 a 17 （15 分）如图所示，直角梯形ABCD中，/ /ADBC，ADAB，22
25、ABBCAD， 四边形EDCF为矩形，3CF ，平面EDCF 平面ABCD （）求证：/ /DF平面ABE； （）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值 【解答】 （）证明：取BC中点G，连接DG， 因为 1 1 2 BGBCAD ，又因为/ /ADBC， 所以四边形ABGD为平行四边形， 所以/ /DGAB，又因为ABAD，所以DADG， 因为四边形EDCF为矩形，所以EDCD， 又因为平面EDCF 平面ABCD，平面EDCF平面ABCDCD， 所以ED 平面ABCD，所以EDDA，EDDG， 于是DA、DQ、DE两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， (0AB ，2，0)，( 1
26、AE ，0，3)，( 1DF ，2，3)， 设平面ABE的法向量为(mx，y，) z， 20 30 AB my AE mxz ，令1z ，( 3m ，0，1)， 因为330DF m ，又因为DF 平面ABE， 所以/ /DF平面ABE 第 13 页（共 16 页） （）解：( 1BE ，2，3)，( 2BF ，0，3)， 设平面BEF的法向量为(nu，v，)w， 230 230 BE nuvw BF nuw ，令3v ，(2 3n ，3，4)， 所以平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值为 |105 31 | |31231 m n mn 18 （15 分）如图，椭圆 22 22 :1(0)
27、 xy Eab ab 经过点(0, 1)A，且离心率为 2 2 （）求椭圆E的方程； （）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点)A，问直 线AP与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 【解答】解： （）由题意知 2 2 c a ，1b ，结合 222 abc，解得2a ， 椭圆的方程为 2 2 1 2 x y； （）由题设知，直线PQ的方程为(1)1yk x(2)k ，代入 2 2 1 2 x y，得 22 (12)4 (1)2 (2)0kxk kxk k， 由已知0，设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 12
28、 0 x x ， 则 12 2 4 (1) 12 k k xx k ， 12 2 2 (2) 12 k k x x k ， 第 14 页（共 16 页） 从而直线AP与AQ的斜率之和： 1212 1212 1122 APAQ yykxkkxk kk xxxx 12 1212 11 2(2)()2(2) xx kkkk xxx x 4 (1) 2(2)22(1)2 2 (2) k k kkkk k k 19 （15 分）已知数列 n a的前n项和 n S满足：2( 1)n nn Sa ，1n （）求数列 n a的前 3 项 1 a， 2 a， 3 a； （）求证：数列 2 ( 1) 3 n n
29、a 是等比数列； （）求数列(63) n na的前n项和 n T 【解答】 （）解：当1n 时，有： 1111 2( 1)1Saaa ， 当2n 时，有： 2 21222 2( 1)0Saaaa ， 当3n 时，有： 3 312333 2( 1)2Saaaaa ， 综上可知 1 1a ， 2 0a ， 3 2a ； （）证明：由已知得：2n时， 1 11 2( 1)2( 1) nn nnnnn aSSaa ， 化简得： 1 1 22 ( 1)n nn aa ， 上式可化为： 1 1 22 ( 1)2( 1) 33 nn nn aa ， 又 1 1 21 ( 1) 33 a ， 数列 2 ( 1
30、) 3 n n a 是以 1 3 为首项，公比为 2 的等比数列； （）解：由（）知 1 21 ( 1)2 33 nn n a ， 1 12 2( 1) 33 nn n a ， 11 (63)(21)22 ( 1) (21) 22 ( 1)(21) nnnn n nannn 当n为偶数时， 011 1 23 2(21) 22 1 3 5(23)(21) n n Tnnn ， 令 011 1 23 2(21) 2n n An ，2 135(23)(21) n Bnn 01221 1 23 25 2(23) 2(21) 2 nn n Ann 第 15 页（共 16 页） 121 21 23 2(2
31、3) 2(21) 2 nn n Ann 则得： 0121121 2222222(21)212(222)(21)2 nnnn n Ann 1 2(12) 12(21) 23(32 ) 2 12 n nn nn ， 3(23) 2n n An ， 2 135(23)(21)2 22 2 n n Bnnn ， 所以3(23) 22 n nnn TABnn ； 当n为奇数时，3(23) 2n n An ， 1 2 135(25)(23)(21)22212 2 n n Bnnnnn ， 所以3(23) 22 n nnn TABnn ， 综上， 1 3(23) 2( 1)2 nn n Tnn 20 （16
32、 分）已知函数( )(1)f xx lnxm，mR （）若2m ，求曲线( )yf x在点(e，f（e）)处的切线方程； （）当1x 时，求函数( )f x的单调区间和极值； （）若对于任意xe， 2) e，都有( )4f xlnx成立，求实数m的取值范围 【解答】解： （）( )(3)f xlnxx，f（e）2e ， 1 ( )32fxxlnxlnx x ， 则kf（e）1 3 所 以( )yf x在 点(e，f（ e ）)处 的 切 线 方 程 为2()yexe 即 0 xye5 （）因为( )(1) ()f xlnxmx mR， 所以0 x ， 1 ?( )1fxxlnxmlnxm x
33、6 当0m时，因为1x ，所以?( )0fxlnxm， 函数( )f x的单调增区间是(1,)，无单调减区间，无极值7 当0m 时，令0lnxm，解得 m xe， 第 16 页（共 16 页） 当1 m xe时，?( )0fx ；当 m xe，?( )0fx ， 所以函数( )f x的单调减区间是(1,) m e，单调增区间是( m e，)，9 在区间(1,)上的极小值为()(1) mmm f emmee，无极大值10 （）因为对于任意xe， 2 e，都有( )4f xlnx成立，所以( )40f xlnx， 即问题转化为(4)(1)0 xlnxmx对于xe， 2 e恒成立， 即 (4) 1
34、xlnx m x 对于xe， 2 e恒成立，11 令 (4) ( ) xlnx g x x ，则 2 44 ?( ) lnxx gx x ， 令( )44t xlnxx，xe， 2 e，则 4 ?( )10tx x ， 所以( )t x在区间e， 2 e上单调递增， 故( )mint xt（e）440ee，进而?( )0gx ，13 所以( )g x在区间e， 2 e上单调递增， 函数 2 2 8 ( )()2 max g xg e e ，15 要使 (4) 1 xlnx m x 对于xe， 2 e恒成立，只要1( )maxmg x ， 所以 2 8 12m e ，即实数m的取值范围是 2 8 (1,) e 16