1、5.1 5.1 矩形矩形(2)(2) 回顾：矩形有哪些性质？回顾：矩形有哪些性质？ O O A A B B C C D D (1)AB CD(1)AB CD，AD BCAD BC / = = / = = (2)(2)ABC=ABC=BCD=BCD=ADC=ADC=BAD=90BAD=90O O (3) OA=OB=OC=OD(3) OA=OB=OC=OD （矩形的对角线相等且互相平分矩形的对角线相等且互相平分） 木工师傅木工师傅 (1)测量两组对边测量两组对边,发现两组对边分别相等发现两组对边分别相等; (2)将直角尺靠紧窗框的一个角将直角尺靠紧窗框的一个角,测得这是直角测得这是直角. 由此说
2、明这个窗框是矩形由此说明这个窗框是矩形 你知道这是为什么吗你知道这是为什么吗? 有一个角是直角的有一个角是直角的平行四边形平行四边形叫做叫做矩形矩形 矩形定义判定：矩形定义判定： 2 2、要判定一个四边形是矩形只要说明几个角是直角？、要判定一个四边形是矩形只要说明几个角是直角？ 为什么？为什么？ A A B B C C D D 矩形的判定定理矩形的判定定理1 1：有三个角是直角的有三个角是直角的四边形四边形是矩形是矩形. . 几何语言：几何语言： A=B=C=90A=B=C=90， 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形 1 1、命题“矩形的四个角都是直角”的逆命题是什么？、命题“矩形的四个
3、角都是直角”的逆命题是什么？ 合作学习合作学习 请大家自己进行证明请大家自己进行证明 逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形。逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形。 真命题真命题 (1)(1)测量两组对边测量两组对边, ,发现两组对边分别相等发现两组对边分别相等; ; (2)(2)测量对角线，发现两条对角线相等测量对角线，发现两条对角线相等. . 由此说明这个窗框是矩形由此说明这个窗框是矩形 你知道这是为什么吗你知道这是为什么吗? ?（用所学的知识去证明）（用所学的知识去证明） A B C D 已知：已知： 如图，在如图，在ABCDABCD中，中，AC=BDAC=BD 求证：求证： ABCDAB
4、CD是矩形是矩形 想一想想一想 你觉得矩形还有其它判定方法吗？你觉得矩形还有其它判定方法吗？ 证法一证法一 A B C D 证明：证明： 在在ABCDABCD中，中，AB=CD AB=CD 又又AC=BDAC=BD，BC=CB BC=CB ABCDCB ABCDCB ABC=DCB ABC=DCB 又又ABC+DCB=180ABC+DCB=180 ABC=DCB=90ABC=DCB=90 ABCDABCD是矩形是矩形 已知：已知： 如图，在如图，在ABCDABCD中，中，AC=BDAC=BD 求证：求证： ABCDABCD是矩形是矩形 A B C D O 在在ABCDABCD中，中，AO=OC
5、AO=OC，BO=DOBO=DO， 证明：证明： 又又AC=BDAC=BD AO=BO=CO AO=BO=CO OAB=OBAOAB=OBA，OBC=OCB OBC=OCB OAB+OBA+OBC+OCB=180OAB+OBA+OBC+OCB=180 OBA+OBC=90OBA+OBC=90即即ABC=90ABC=90 ABCDABCD是矩形是矩形 证法二证法二 已知：已知： 如图，在如图，在ABCDABCD中，中，AC=BDAC=BD 求证：求证： ABCDABCD是矩形是矩形 A B C D 矩形的判定定理矩形的判定定理2 2：对角线相等的：对角线相等的平行四边形平行四边形是是矩形矩形；
6、几何语言：几何语言： AC=BD AC=BD ABCDABCD是矩形是矩形 矩形有几种判定方法？矩形有几种判定方法？ 有一个角是直角的有一个角是直角的平行四边形平行四边形叫做矩形（定义）叫做矩形（定义） 有三个角是直角的有三个角是直角的四边形四边形是矩形（矩形的判定定理是矩形（矩形的判定定理1 1） 对角线相等的对角线相等的平行四边形平行四边形是矩形（矩形的判定定理是矩形（矩形的判定定理2 2） 四边形四边形 平行四边形平行四边形 矩形矩形 有一个角是直角有一个角是直角 有三个角是直角有三个角是直角 方法总结：方法总结： 1 1、判断下命题是否正确，并说明理由。、判断下命题是否正确，并说明理由
7、。 （1）对角互补的平行四边形是矩形。）对角互补的平行四边形是矩形。 （2）一组邻角相等的平行四边形是矩形。）一组邻角相等的平行四边形是矩形。 （3）对角线相等的四边形是矩形。）对角线相等的四边形是矩形。 （4）内角都相等的四边形是矩形。）内角都相等的四边形是矩形。 练一练练一练 2 2、如图，、如图，ACAC，BDBD是矩形是矩形ABCDABCD的两条对角线，的两条对角线，AE=CG=BF=DH.AE=CG=BF=DH. 求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是矩形是矩形 A B C D E F G H O 证明：证明： 在矩形在矩形ABCDABCD中，中， AC=BD AC=BD ， A
8、O=CO=BO=DOAO=CO=BO=DO AE=CG=BF=DH AE=CG=BF=DH OE=OG=OF=OH, OE=OG=OF=OH, 四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形（是平行四边形（ ） 平行四边形平行四边形EFGHEFGH是矩形（是矩形（ ） 练一练练一练 又又 EG=FH 例例 已知已知:如图如图,在在 ABCD中中, 对角线对角线AC,BD 相交于点相交于点O, 12. 求证：求证： ABCD是矩形是矩形. 证明证明: ABCD中中,OAOC,OBOD (平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分). 又又12, OAOB. OAOBOCOC,即即ACBD.
9、ABCD是矩形是矩形(对角线相等的对角线相等的 平行四边形是矩形平行四边形是矩形). 变、已知：如图，变、已知：如图，ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，AB CD AB CD 且且1=1=2 2 。 求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形是矩形 问题一张四边形纸板形状如图，问题一张四边形纸板形状如图， （）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使（）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使 它的四个顶点分别落在四边形的四条边上，可它的四个顶点分别落在四边形的四条边上，可 怎样剪？怎样剪？ 四边形满足什么情四边形满足什么情 况下中点四边形为矩况下中点四边形为矩 形？并说明理
10、由形？并说明理由 解：分别取，解：分别取， 的中点，的中点， 可剪得中点四边形为可剪得中点四边形为 平行四边形平行四边形 两条对角线互相垂直，两条对角线互相垂直， D A C B 例例2 2、一张四边形的纸板、一张四边形的纸板ABCDABCD的形状如图（的形状如图（1 1），它的），它的 两条对角线互相垂直。如果要从这张纸板中剪出一个两条对角线互相垂直。如果要从这张纸板中剪出一个 矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCDABCD的四的四 条边上，可以怎么剪？条边上，可以怎么剪？ ( ( 2 2 ) ) ( ( 1 1 ) ) O O O O D D
11、B B C C A A A A C C B B D D G G F F H H E E 解：解： B O A CD 理由如下：理由如下： 是是的中位线的中位线 （三角形的中位线平行于第三边（三角形的中位线平行于第三边 且等于第三边的一半）且等于第三边的一半） 是是的中位线的中位线 ， （三角形的中位线平行于第三边）（三角形的中位线平行于第三边） 同理可得：同理可得：， 四边形是矩形四边形是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）（有三个角是直角的四边形是矩形） 做一做做一做 1 1、已知：如图，、已知：如图，RtRtABCRtABCRtCDACDA，且，且ADAD的的 对应边是对应边是CBCB，
12、B=D=RtB=D=Rt； 求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。 A A D D C C B B 2.2.已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，AB=ADAB=AD，CB=CDCB=CD， 点点M M，N N，P P，Q Q分别是分别是ABAB，BCBC，CDCD，DADA的中点；的中点； 求证：四边形求证：四边形MNPQMNPQ是矩形。是矩形。 A A Q Q P P N N M M D D C C B B 做一做做一做 3 3、在直角坐标系中有点、在直角坐标系中有点A A（a a，b b），），B B（a a，c c），），C C （- -a a，- -b b），），D D（- -a a，- -c c）（）（a0a0，bcbc）。若要使）。若要使 四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，b b，c c应满足什么条件？说明你的应满足什么条件？说明你的 理由。理由。 做一做做一做 谈谈你的收获、感受？！谈谈你的收获、感受？！ 判定定理判定定理1：有三个角是直角的：有三个角是直角的四边形四边形是矩形是矩形 判定定理判定定理2：对角线相等的：对角线相等的平行四边形平行四边形是矩形是矩形 矩形的判定方法：矩形的判定方法： 矩形的定义：有一个角是直角的矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形平行四边形是是 矩形矩形 下课了!