1、3.6 3.6 圆内接四边形圆内接四边形 复习回顾：复习回顾： 什么是三角形的外接圆？什么是什么是三角形的外接圆？什么是 圆的内接三角形？圆的内接三角形？ 什么是圆的内接四角形什么是圆的内接四角形？什么是四边形的外接圆？什么是四边形的外接圆？ 定义：定义：如果一个四边形的所有顶点都在一如果一个四边形的所有顶点都在一 个圆上个圆上,那么这个四边形叫做那么这个四边形叫做圆的内接四圆的内接四 边形边形,这个圆叫做这个圆叫做四边形的外接圆四边形的外接圆. 思考思考: （1）任意三角形都有外接圆吗？）任意三角形都有外接圆吗？ （2）任意四边形都有外接圆吗）任意四边形都有外接圆吗? O C C A A B
2、 B D D O C C A A B B D D O C C A A B B D D 注：一个三角形一定有一个外接圆，注：一个三角形一定有一个外接圆， 但一个四边形不一定有外接圆但一个四边形不一定有外接圆 O A BC D 1 O A B D C 4 O A B D C 3 O A B D C 2 25, ,? 观察图这组图中的四边形都内接于 圆 你能从中发现这些四边形的共同 探 特征吗 究 任意画一个圆，在圆上依次取四个点任意画一个圆，在圆上依次取四个点A、B、C、D， 连接连接AB、BC、CD、DA，用量角器量出一组对角的，用量角器量出一组对角的 度数之和，你发现了什么？度数之和，你发现了
3、什么？ O A B C D . 2 1 , 2 1 ,DBOCOA则、连接如图 1 360 ,360180 . 2 BD 因为所以 证法一证法一 已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O O，求证：，求证： DAB+DCB=180DAB+DCB=180，B+D=180B+D=180 同理可得：DAB+DCB=180 已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O O，求证：，求证： A+C=180A+C=180，B+D=180B+D=180 证法二证法二 几何语言几何语言 四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O O A+C=180A+C
4、=180 B+D=180B+D=180 圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理: 圆的内接四边形对角互补圆的内接四边形对角互补 1 1、已知圆内接四边形有一个内角、已知圆内接四边形有一个内角 是是50500 0，求它的对角的度数，求它的对角的度数 2 2、 若若O O内接四边形内接四边形ABCDABCD中满足中满足A=CA=C， B=DB=D，则四边形，则四边形ABCDABCD是怎样的特殊的四是怎样的特殊的四 边形？边形？ 做一做做一做 若若ABCDABCD为圆内接四边形，则下列哪为圆内接四边形，则下列哪 个选项可能成立个选项可能成立（ ） （A）ABCD 1234 （B）ABCD 21
5、34 （C）ABCD 3214 （D）ABCD 4321 B 补充练习：补充练习： 例题讲解例题讲解 例例1 如图如图,ABC的外角平分线的外角平分线AD交外交外 接圆于接圆于D,求证求证:DB=DC. 解：解： ADAD是是EACEAC的平分线的平分线 DAC=DAEDAC=DAE 四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O O B BAD+AD+BCD=180BCD=180 （圆内接四边形的对角互补）（圆内接四边形的对角互补） 又又 B BAD+AD+DAE=180DAE=180 BCD=DAE( ? ) BCD=DAE( ? ) 而而DBC=DAC ( ? ) DBC=DAC ( ? )
6、 DAC=DAE DAC=DAE DBC=DCB DBC=DCB DB=DC DB=DC A B C D O E 1 1、如图，、如图，ABAB为为O O的直径，已知的直径，已知 BAC=40BAC=40, ,求求D D的大小的大小 2 2、圆内接四边形、圆内接四边形ABCDABCD中中,A:B:C,A:B:C =2:3:7,=2:3:7,则则A=A= B=B= C=C= D=D= 。 4040 6060 140140 120120 3 3、任意画一个矩形，再、任意画一个矩形，再 画出它的外接圆画出它的外接圆 设 A=2x, ,则C=7x.A+C=180.A+C=180 ,x=20,x=20
7、. . 作业题作业题 例例2 如果要把直径为如果要把直径为30cm30cm的圆柱形原木锯成的圆柱形原木锯成 一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能 地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？如如 果这根原木长果这根原木长15m15m，问锯出的木材的体积为多少，问锯出的木材的体积为多少 立方米（树皮等损耗略去不计）？立方米（树皮等损耗略去不计）？ 直径直径AC=BD=30cmAC=BD=30cm AO=BO=15cmAO=BO=15cm SS正方形 正方形ABCDABCD=15 =1515151/21/24=4504=4
8、50（cmcm2 2）=4.5=4.51010- -2 2（m m2 2） V=4.5V=4.51010- -2 215=0.67515=0.675（m m3 3） 答答:沿正方形ABCD的四条边，就可以锯出符合要求的截面 为正方形的木材，若原木长为15m,其体积为0.675m3. 解：如图，设圆木的截面为圆O，要使锯 出的木材的横截面正方形ABCD尽可能大， 正方形ABCD应内接于圆O. 正方形ABCD的各个内角都是直角，得 它的两条对角线是圆O的直径，且这两条 对角线互相垂直。 所以只要在圆O内作互相垂直的直径 AC和BD,就可以作出面积最大的正方形 ABCD. 2 2、已知、已知: :如
9、图以等腰三角形如图以等腰三角形 ABCABC的底边的底边BCBC为直径的为直径的O O分分 别交两腰别交两腰ABAB、ACAC于点于点D D、E E， 连结连结DEDE，求证：，求证：DEBCDEBC。 1 1、已知、已知: :四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O O，AA5050， D D- -B B 4040求求B B、C C、D D的度数的度数 作业题作业题 A A B B C C O O D D E E 5 5、圆内接四边形、圆内接四边形ABCDABCD中中, , ABAB、BCBC、CDCD、DADA 的度数之比为的度数之比为1:2:3:41:2:3:4 ，求四边形，求四边形A
10、BCDABCD各各 内角的度数内角的度数 3 3、圆内接四边形圆内接四边形ABCDABCD中中,ADC,ADC与与ABCABC 的比为的比为 3:23:2，求，求B B、D D的度数。的度数。 4 4、已知四边形、已知四边形ABCD, ABCD, A A、B B、C C、D D 的度数之比为的度数之比为3:1:2:53:1:2:5 ，判断这个四边形，判断这个四边形 是不是圆内接四边形？并说明理由。是不是圆内接四边形？并说明理由。 6 6、求证：圆内接平行四边形是矩形。、求证：圆内接平行四边形是矩形。 O O C C D D B B A A 已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD是
11、圆的内接是圆的内接 四边形并且四边形并且ABCDABCD是平行四边形。是平行四边形。 求证：四边形求证：四边形ABCDABCD 是矩形。是矩形。 补充补充 已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD的四个顶点在的四个顶点在O O上，上， A A100100，点，点E E在在BCBC的延长线上，求的延长线上，求DCEDCE 的度数。的度数。 E E 圆内接四边圆内接四边 形的形的性质性质： 圆内接四边圆内接四边 形的每一个形的每一个 外角都等于外角都等于 它的内角的它的内角的 对角对角 1.如图如图, O1 ,O2 交于点交于点M,N ,直线直线AB过过M,与与O1 , O2 分别
12、交于点分别交于点A,B,直线直线CD过点过点N,与与O1 , O2 分别分别 交于点交于点C,D,求证求证:AC/BD. 1 O 2 O A M B CN D 分析分析:两圆相交的问题两圆相交的问题,公公 共弦是沟通两圆的桥梁共弦是沟通两圆的桥梁. 1 .180,1801, 1 BABA 拓展拓展 小结小结 1、定义：定义：如果一个四边形的所有顶点都在一如果一个四边形的所有顶点都在一 个圆上个圆上,那么这个四边形叫做那么这个四边形叫做圆的内接四边形圆的内接四边形, 这个圆叫做这个圆叫做四边形的外接圆四边形的外接圆. 2、圆内接四边形的性质定理、圆内接四边形的性质定理: 圆的内接四边形对角互补圆的内接四边形对角互补