1、1.4 二次函数的应用二次函数的应用 （第（第1 1课时）课时） 某商场销售一种名牌衬衫，平均每天售出某商场销售一种名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利件，每件盈利 40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决 定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降 价价1元，商场平均每天可多售出元，商场平均每天可多售出2件，件， (1)若商场平均每天要盈利若商场平均每天要盈利1200元元,每件衬衫应降价每件衬衫应降价 多少元多少元? 提出问题提出问题 1200(40)(202 )xx (2
2、)问每件衬衫降价多少元时问每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多商场平均每天盈利最多 ?最多为多少元最多为多少元? 提出问题提出问题 想一想：如果我们把平均每天盈利与降价的函数关系找出来想一想：如果我们把平均每天盈利与降价的函数关系找出来, 那么所求问题就转化为什么问题那么所求问题就转化为什么问题? .发现可以设降价为发现可以设降价为x元元,每天盈利为每天盈利为y元元,则则y关于关于x 的函数关系式为的函数关系式为y (40 x)(20 2x),化为化为 这是一个二次函数这是一个二次函数. 2 260800yxx .写出自变量写出自变量x的取值范围的取值范围,再求出它的最大值再求出它的最大
3、值. 2、图中所示的二次函数图像的解析式为：、图中所示的二次函数图像的解析式为： y 2x2 8x 13 -2 0 2 4 6 2 -4 x y (2)若若3x3，该函数的最大值、最小值分别为，该函数的最大值、最小值分别为 （ ）、（）、（ ）. (3)又若又若0 x3，该函数的最大值、最小值分别为，该函数的最大值、最小值分别为 （ ）、（）、（ ）. 求函数的最值问题，求函数的最值问题， 应注意应注意对称轴对称轴是否在是否在自变量自变量的取值范围内的取值范围内. . 55 5 55 13 (1)该函数有最该函数有最 值值, 小小 最小值为最小值为 5 63 2 x m 2 63 2 x xm
4、 63 2 x yx 探究实践探究实践 用长用长6米铝合金条制成如图形状的矩形窗框，米铝合金条制成如图形状的矩形窗框， 问长和高各是多少米时，窗户的透光面积问长和高各是多少米时，窗户的透光面积 最大？最大面积是多少？最大？最大面积是多少？ (1)设什么为自变量设什么为自变量x? (窗框的长或高窗框的长或高) (2)如果学生设窗框长为如果学生设窗框长为x,则高为多少则高为多少? 面积为多少面积为多少? (3)若设透光面积为若设透光面积为y,试写出试写出y关于关于x的函数解析式的函数解析式 (4)这里自变量这里自变量x的取值范围是什么的取值范围是什么?根据什么来确定根据什么来确定? 根据窗框的长、
5、宽都必须大于零，即根据窗框的长、宽都必须大于零，即 得 630, 0 x x 02x 63 2 x 63 2 x yx 用长用长6米铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问长和高各是多少米铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问长和高各是多少 米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ x 解：设窗框长为解：设窗框长为x, , 则它的高为则它的高为 , , 再设透光面积为再设透光面积为y, , 由题意得：由题意得： 2 3 3 2 xx 3 2 3 2 答：当长为米，宽为答：当长为米，宽为 米时，窗户的透光面积最大，最大面积是米时，窗户的透光面积最大，最大面积是
6、平方米平方米. 根据窗框的长、宽都必须大于零，即根据窗框的长、宽都必须大于零，即 得 ,x x 630 0 x02 ,abc 3 030 2 b x a 102 2 又又在在的的范范围围内内 acb xy a 2 43 1 42 最最大大值值 当当时时， 最值问题的一般步骤最值问题的一般步骤 (1)列出二次函数的解析式列出二次函数的解析式.列解析式时列解析式时,要根据自变量要根据自变量 的实际意义的实际意义,确定自变量的取值范围确定自变量的取值范围. (2)在自变量的取值范围内在自变量的取值范围内,运用公式或配方法求出运用公式或配方法求出 二次函数的最大值或最小值二次函数的最大值或最小值. 探
7、究与建模探究与建模 图中窗户边框的上部分是由图中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆个全等扇形组成的半圆,下部分是矩形下部分是矩形.如如 果制作一个窗户边框的材料的总长度为果制作一个窗户边框的材料的总长度为8米米,那么如何设计这个窗户边框那么如何设计这个窗户边框 的尺寸的尺寸,使透光面积最大使透光面积最大?(结果精确到结果精确到0.01米米) 解解:设半圆的半径为设半圆的半径为r米，如图，矩形的一边长为米，如图，矩形的一边长为l米，米， 根据题意，有：根据题意，有：5r+r+2r+2l=8, 即：即：l=4 0.5( 7)r 又因为：又因为：l 0且且r 0 所以：所以： 4 0.5(
8、7)r 0 则：则：0 r +7 故透光面积故透光面积:S 2 r2 2rl 2 r2 2r4 0.5( 7)r = ( 2 7)r 2 8r (0r ) 8 +7 变式与拓展变式与拓展 如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为 16米米. . 求截面积求截面积S（米（米2）关于底部宽）关于底部宽x（米）的函数解析式，（米）的函数解析式， 及自变量及自变量x的取值范围？的取值范围？ 试问：当底部宽试问：当底部宽x为几为几米米时，隧道的截面积时，隧道的截面积S最大（结最大（结 果精确到果精确到0.01米）？米）？ 解：解：隧道的底部宽为隧道
9、的底部宽为x，周长为，周长为16， 答：当隧道的底部宽度为答：当隧道的底部宽度为4.48米时，隧道的截面积最大米时，隧道的截面积最大. . x ？ x +2 则：隧道下部矩形的高为8-， 4 2 2 24 (8)8 . 848 x Sxxxx 故 32 0. 2 x 其中 4 0,8,0. 8 abc 3232 0 242 b x a 又在范围内， 32 4.48 4 x 当（米）时，S有最大值. 2 22 2244yxxxx 2 2 22114212xxx 练习题练习题 已知直角三角形的两直角边的和为2. 求斜边长可 能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两 条直角边的长分别为多少？ 解:
10、 设其中一条直角边长为x, 则另一条为(2-x), 设斜边长为y, 由勾股定理得, 12xy 最小值 当时， 1 答：斜边长可能达到的最小值为 2， 当斜边达到最小值时两直角边长均为 x 2x 0 20 x x 02x 20,.ay故 有最小值102.xx且在的范围内 课堂小结 本节课主要讲了将实际问题转化为数学模型本节课主要讲了将实际问题转化为数学模型. 运运 用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，用二次函数求实际问题中的最大值或最小值， 首先应求出函数解析式和自变量的取值范围，首先应求出函数解析式和自变量的取值范围， 然后通过配方变形，或利用公式求她的最大值然后通过配方变形，或利用公式求她的最大值 或最小值值得注意的是，由此求得的最大值或最小值值得注意的是，由此求得的最大值 或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取 值范围内值范围内