1、2020 年山西省吕梁市交城县中考数学二模试卷年山西省吕梁市交城县中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列各数中，比 小的数是（ ） A4 B3 C0 D1 2对“大衍求一术” （一次同余组解法）和“正负开方术” （高次方程的数值解法）等有深入研究，并利用 三角形三边推出三角形的面积公式的是我国南宋的数学家（ ） A刘徽 B赵爽 C祖冲之 D秦九韶 3下列运算中，计算正确的是（ ） A2a3a6a B （3a2）327a6 Ca4a22a D （a+b）2a2+ab+b2 4不等式组的解集为（ ）
2、Ax2 B3x2 Cx3 D3x2 5 在 2018 年太原国际马拉松赛中， 小张参加了迷你马拉松 （全程约 4.2km） 项目， 已知小张全程匀速前进， 若将速度每小时加快 2km，则正好比实际提前 10min 到达终点设小张的速度为 xkm/h，那么可列方程为 （ ） A B C D 6某中学举办了“校园文化节”活动，小颖同学在这次活动中参加了歌唱比赛，比赛由九位评委打分小 颖同学分析九位评委打的分数后，制成如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 7
3、煤层气是优质清洁能源，据报道，截至 2018 年 12 月 31 日，山西省全年煤层气地面抽采量达到 56.57 亿 m3，创历史新高，其中利用量为 53.94 亿 m3，约占全国的 90%全国煤层气利用量用科学记数法可表示 为（ ） A59.93108m3 B5.993109m3 C0.5993109m3 D4.854108m3 8如图是一个儿童奇妙屋的主视图，奇妙屋的一个入口是圆的一部分，点 O 为圆心，该入口的最高点 E 与 圆心的连线的延长线恰好过弦 CD 的中点 M， 连接 OD 若 CD0.6m， MOD30， 嘉嘉身高 1.05m， 琪琪身高 1.2m， 若两者都想直着身从这个入
4、口进入奇妙屋， 则下列说法正确的是 （参考数据：1.732） （ ） A嘉嘉、琪琪都能进入 B嘉嘉能进入，琪琪不能进入 C嘉嘉不能进入，琪琪能进入 D嘉嘉、琪琪都不能进入 9一个几何体由 6 个相同的小正方体搭成，若它的俯视图如图所示，则它的主视图不可能（ ） A B C D 10如图，将抛物线进行平移，使其经过点 A（4，0）和点 O（0，0） ，设平移后的顶点为 B，连 接 OB，以 O 为圆心、OB 的长为半径作圆，交抛物线于点 C，连接 BC，则图中阴影部分的面积 为（ ） A B C136 D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，
5、共 15 分）分） 11计算： 12 图 （1） 是一盏台灯， 图 （2） 是其侧面示意图， 已知ABFE， D140， DCB77， 则E 13一个不透明的口袋中装有 4 个除颜色外，其他都一样的小球，其中有 2 个黄球，2 个蓝球，现从中随机 摸出 2 个球，则这 2 个球为同色的概率是 14如图，在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4，以点 A 为圆心、AC 长为半径画弧，交 AB 于 点 D，再分别以 B，D 为圆心、大于BD 的长为半径画弧，两弧交于 M，N，作直线 MN，分别交 AB， BC 于点 E，F，则线段 EF 的长为 15如图，在 RtABC 中，ABC90，AB
6、BC2，点 D 是 AB 的中点，连接 CD，点 E 是 AC 上一点， 且 AEAC，点 F 是 CD 的中点，连接 EF，则 EF 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分）分） 16 （10 分） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中 17 （8 分）如图，一次函数 y2xb 的图象与反比例函数（x0）的图象交于点 A（m，2） ，与 x 轴 交于点 B，与 y 轴交于点 C（0，2） （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当 x0 时，求关于 x 的不等式2x 的解集 18 （8 分）2018 年中国国际进口博览会的成功举办成
7、为共建“一带一路”的又一个重要支撑某兴趣小组 对某天申请参展的企业中信用等级在 B 等级及以上的进行了调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的 统计图表 调查结果统计表 组别 信用等级 频数 第一组 AAA 32 第二组 AA 144 第三组 BBB c 第四组 BB 88 第五组 B e 请结合图表提供的信息回答下列问题： （1）填空：这天进行申请的企业共有 家，c ， ； （2）在扇形统计图中，第 3 组所在扇形的圆心角的度数是 ； （3）若这天参与申请的企业信用等级在 BBB 级及以上的数量约占整个申请阶段的 6%，请你估计整个申 请阶段参与申请的企业数量 19 （8 分）春节期间，某旅游
8、景区的两家酒店推出了优惠入住方案 甲酒店：一次性付 3000 元可以住 5 天，五天后续住，每天房费为 1200 元； 乙酒店：前三天每天房费 1000 元，三天后续住，每天的房费打八折 设住酒店的天数为 x 天，总房费为 y 元 （1）分别求出住两家酒店的房费 y（元）与住酒店天数 x（天）之间的函数关系式； （2）在同一坐标系中，若在两家酒店入住所需的房费 y 关于天数 x 的函数图象如图所示，请求出点 C 的 坐标； （3）根据函数图象，请直接写出选择哪家酒店消费更合算 20 （7 分）图 1 是挂墙式淋浴花洒的实物图，图 2 是抽象出来的几何图形为使身高 175cm 的人能方便地 淋浴
9、，应当使旋转头固定在墙上的某个位置 O，花洒的最高点 B 与人的头顶的铅垂距离为 15cm，已知龙 头手柄 OA 长为 10cm， 花洒直径 AB 是 8cm， 龙头手柄与墙面的较小夹角COA26， OAB146， 则安装时， 旋转头的固定点 O 与地面的距离应为多少？ （计算结果精确到 1cm， 参考数据： sin260.44， cos260.90，tan260.49） 21 （9 分）请阅读下面内容，并完成相应的任务 学习新知 定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做等面积 四边形，这条对角线叫做等面积对角线 等面积四边形的性质：在等面积四边形中
10、，等面积对角线平分另一条对角线 已知四边形 ABCD 是等面积四边形，等面积对角线 AC 与对角线 BD 交于点 O，ABC 与ADC 的面积 相等 求证：BODO 证明：如图（1） ，分别过点 B，D 作 AC 的垂线，垂足分别为点 E，F ，且 SABCSADC ， 即 BEDF （请将未完成的证明过程补全） 思考与探究 （1）下列图形中，属于等面积四边形的是 A平行四边形 B对角线互相垂直的四边形 C对角线相等的四边形 （2）写出等面积四边形性质的逆命题，并判定它是真命题还是假命题（不需证明） 应用与拓展 如图（2） ，已知四边形 ABCD 是等面积四边形，AC 是等面积对角线，若 BD
11、 平分ABC 交 AC 于点 E， AB2BC求证：ADAE 22 （12 分）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师给出如下问题： 如图（1） ，在 RtABC 中，ACAB2，BAC90，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 DE将 DAE 绕点 A 旋转，作直线 CE，BD，两直线交于点 P，试探究直线 CE，BD 的位置关系 探究证明： （1）勤奋小组将DAE 旋转 180，发现 CEBD，又将DAE 旋转到如图（2）所示的位置，前面发 现的结论还存在吗？请说明理由 引申发现： （2）创新小组找到线段 BC 的中点 M，连接 PM，发现在ADE 旋转过程中，PM 的长度是定
12、值，请你 求出这个固定值 拓展延伸： （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，对CBP 的最小值进行了探究，当CBP 最小时，请你 帮忙计算 sinCBP 的值 23 （13 分）综合与探究 如图，已知抛物线 yax2+bx+3 过点 A（1，0） ，B（3，0） ，交 y 轴于点 C，点 M 是抛物线上的动点 （1）求抛物线的表达式； （2）过点 M 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 N，分别过点 M，N 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 E，F， 若点 M 在对称轴的右侧，且四边形 MNFE 为正方形，求此正方形的边长； （3）若点 P 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 M，使以点 P，B
13、，C，M 为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 2020 年山西省吕梁市交城县中考数学二模试卷年山西省吕梁市交城县中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列各数中，比 小的数是（ ） A4 B3 C0 D1 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据 此判断即可 【解答】解：4301， 故选：A 2对“大衍求一术” （一次同余组解法）和“正负开方术” （高次方程的
14、数值解法）等有深入研究，并利用 三角形三边推出三角形的面积公式的是我国南宋的数学家（ ） A刘徽 B赵爽 C祖冲之 D秦九韶 【分析】我国南宁著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式” ，可解答 【解答】解：利用三角形三边推出三角形的面积公式的是我国南宋的数学家秦九韶， 故选：D 3下列运算中，计算正确的是（ ） A2a3a6a B （3a2）327a6 Ca4a22a D （a+b）2a2+ab+b2 【分析】分别利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、完全平方公式、单项式乘以单项式 运算法则化简求出答案 【解答】解：A、2a3a6a2，故此选项错误； B、 （3a
15、2）327a6，正确； C、a4a2a2，故此选项错误； D、 （a+b）2a2+2ab+b2，故此选项错误； 故选：B 4不等式组的解集为（ ） Ax2 B3x2 Cx3 D3x2 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 找不到确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式x+10，得：x3， 解不等式 2x0，得：x2， 则不等式组的解集为3x2， 故选：D 5 在 2018 年太原国际马拉松赛中， 小张参加了迷你马拉松 （全程约 4.2km） 项目， 已知小张全程匀速前进， 若将速度每小时加快 2km，则正好比实际提前 10min 到达终点设
16、小张的速度为 xkm/h，那么可列方程为 （ ） A B C D 【分析】直接利用行驶所用的时间的关系进而分析得出答案 【解答】解：设小张的速度为 xkm/h，则加快后的速度是（x+2）km/h， 根据题意，得 故选：C 6某中学举办了“校园文化节”活动，小颖同学在这次活动中参加了歌唱比赛，比赛由九位评委打分小 颖同学分析九位评委打的分数后，制成如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一
17、个最高分和一个最低分 不影响中位数 【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：B 7煤层气是优质清洁能源，据报道，截至 2018 年 12 月 31 日，山西省全年煤层气地面抽采量达到 56.57 亿 m3，创历史新高，其中利用量为 53.94 亿 m3，约占全国的 90%全国煤层气利用量用科学记数法可表示 为（ ） A59.93108m3 B5.993109m3 C0.5993109m3 D4.854108m3 【分析】用山西省的全年煤层气利用量除以它占全国的百分率，求出全国煤层气利用量是多少即可 【解答】解：53.94 亿5394000000， 53940000009
18、0%5993000000（m3） ， 5993000000m35.993109m3 故选：B 8如图是一个儿童奇妙屋的主视图，奇妙屋的一个入口是圆的一部分，点 O 为圆心，该入口的最高点 E 与 圆心的连线的延长线恰好过弦 CD 的中点 M， 连接 OD 若 CD0.6m， MOD30， 嘉嘉身高 1.05m， 琪琪身高 1.2m， 若两者都想直着身从这个入口进入奇妙屋， 则下列说法正确的是 （参考数据：1.732） （ ） A嘉嘉、琪琪都能进入 B嘉嘉能进入，琪琪不能进入 C嘉嘉不能进入，琪琪能进入 D嘉嘉、琪琪都不能进入 【分析】由点 M 为弦 CD 的中点可得出 EMCD，在 RtOMD
19、 中，通过解直角三角形可求出 OD，OM 的长，结合 OEOD 及 EMOE+OM 可求出 EM 的长，再结合嘉嘉和琪琪的身高，即可得出结论 【解答】解：该入口的最高点 E 与圆心的连线的延长线恰好过弦 CD 的中点 M， DMCD0.60.3m，EMCD 在 RtOMD 中，OMD90，MOD30， OD0.6m，OM0.5196m， OEOD0.6m， EMOE+OM0.6+0.51961.12m 1.051.121.2， 嘉嘉能进入，琪琪不能进入 故选：B 9一个几何体由 6 个相同的小正方体搭成，若它的俯视图如图所示，则它的主视图不可能（ ） A B C D 【分析】根据俯视图是从上面
20、看到的图形判定则可 【解答】解：由俯视图可知，几何体的主视图有三列，D 中有四列，所以 D 不可能； 故选：D 10如图，将抛物线进行平移，使其经过点 A（4，0）和点 O（0，0） ，设平移后的顶点为 B，连 接 OB，以 O 为圆心、OB 的长为半径作圆，交抛物线于点 C，连接 BC，则图中阴影部分的面积 为（ ） A B C136 D 【分析】 先求出平移后的抛物线的解析式， 得到顶点 B 的坐标， 求出 OB 的长度， 根据抛物线的对称性， 可知阴影部分的面积半圆的面积BOC 的面积 【解答】解：将抛物线进行平移，使其经过点 A（4，0）和点 0（0，0） ， 平移后的抛物线的对称轴为
21、直线 x2， 设平移后的抛物线的解析式为 y（x+2）2+k， 将 O（0，0）代入，得（0+2）2+k0， 解得 k3， 平移后的抛物线的解析式为 y（x+2）23，顶点 A 的坐标为（2，3） ， 由勾股定理，得 OB 连接 OA、OC，由圆的对称性或垂径定理，可知 C 的坐标为（2，3） ， 阴影部分的面积半圆的面积BOC 的面积 （）2626 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11计算： 【分析】先把化简，然后合并即可 【解答】解：原式332 2 故答案为 12图（1）是一盏台灯，图（2）是其侧面示意
22、图，已知 ABFE，D140，DCB77，则E 117 【分析】根据题意，作辅助线 DHEF，然后根据平行线的性质和题目中的数据，即可得到E 的度数 【解答】解：过点 D 作 DHEF，如右图所示， ABFE，DHEF， ABDHEF， FED+1180，2DCB， DCB77， 277， EDC140， 114021407763， FED18063117， 故答案为：117 13一个不透明的口袋中装有 4 个除颜色外，其他都一样的小球，其中有 2 个黄球，2 个蓝球，现从中随机 摸出 2 个球，则这 2 个球为同色的概率是 【分析】画出树状图，得出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解
23、 【解答】解：画树状图如图： 从中随机摸出 2 个球，共有 12 个等可能的结果，这 2 个球为同色的结果有 4 个， 从中随机摸出 2 个球，则这 2 个球为同色的概率是； 故答案为： 14如图，在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4，以点 A 为圆心、AC 长为半径画弧，交 AB 于 点 D，再分别以 B，D 为圆心、大于BD 的长为半径画弧，两弧交于 M，N，作直线 MN，分别交 AB， BC 于点 E，F，则线段 EF 的长为 【分析】依据勾股定理以及线段垂直平分线的的性质，即可得到 BE 的长，再根据ABCFBE，即可 得到 EF 的长 【解答】解：RtABC 中，ACB90
24、，AC3，BC4， 由勾股定理得，AB5， 由题可得，ADAC3， BD532， 由题可得，MN 垂直平分 BD， BE1，BEFACB90， 又BB， ABCFBE， ，即， 解得 EF， 故答案为： 15如图，在 RtABC 中，ABC90，ABBC2，点 D 是 AB 的中点，连接 CD，点 E 是 AC 上一点， 且 AEAC，点 F 是 CD 的中点，连接 EF，则 EF 的长为 【分析】如图，连接 ED，证明AEDABC，可得AEDB90CED，根据直角三角形中 斜边中线的性质可得 EF 的长 【解答】解：如图，连接 ED， ABBC2，B90， AC2， AEAC， D 是 AB
25、 的中点， ADBD1， 由勾股定理得：CD， ， ， AA， AEDABC， AEDB90CED， F 是 CD 的中点， EFCD 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分）分） 16 （10 分） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中 【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值可以解答本题； （2）根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后将 a、b 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： （1） 4+1+12 4； （2） ， 当时，原式 17 （8 分）如图，一次函数 y2xb 的图象与反比例函数（x0）的图象交于点
26、 A（m，2） ，与 x 轴 交于点 B，与 y 轴交于点 C（0，2） （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当 x0 时，求关于 x 的不等式2x 的解集 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解 【解答】解： （1）把 C（0，2）代入 y2xb 中得：2b，解得 b2， 一次函数的表达式为 y2x2， 把 A（m，2）代入 y2x2 中，得 m2， A（2，2） ， 把 A（2，2）代入中，得 k4， 反比例函数的表达式是； （2）+b2x， 2xb， 根据图象可知，当 x0 时，不等式2xb 的解集为 0 x2 18 （8 分）2018 年中国国际进
27、口博览会的成功举办成为共建“一带一路”的又一个重要支撑某兴趣小组 对某天申请参展的企业中信用等级在 B 等级及以上的进行了调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的 统计图表 调查结果统计表 组别 信用等级 频数 第一组 AAA 32 第二组 AA 144 第三组 BBB c 第四组 BB 88 第五组 B e 请结合图表提供的信息回答下列问题： （1）填空：这天进行申请的企业共有 320 家，c 40 ， ； （2）在扇形统计图中，第 3 组所在扇形的圆心角的度数是 45 ； （3）若这天参与申请的企业信用等级在 BBB 级及以上的数量约占整个申请阶段的 6%，请你估计整个申 请阶段参与申请的企
28、业数量 【分析】 （1）根据频数分布表中的数据可以计算出这天进行申请的企业共有多少家以及 c 和 m、n 的值； （2）根据（1）中 n%的值，即可计算出在扇形统计图中，第 3 组所在扇形的圆心角的度数； （3）根据题目中的数据，可以计算出整个申请阶段参与申请的企业数量 【解答】解： （1）这天进行申请的企业共有：14445%320（家） ， m%32320100%10%，e3205%16， c32032144881640， n%40320100%12.5%， m10，n12.5， ， 故答案为：320，40，； （2）在扇形统计图中，第 3 组所在扇形的圆心角的度数是 36012.5%45，
29、 故答案为：45； （3）3201688216（家） ， 2166%3600（家） ， 答：整个申请阶段参与申请的企业数量为 3600 家 19 （8 分）春节期间，某旅游景区的两家酒店推出了优惠入住方案 甲酒店：一次性付 3000 元可以住 5 天，五天后续住，每天房费为 1200 元； 乙酒店：前三天每天房费 1000 元，三天后续住，每天的房费打八折 设住酒店的天数为 x 天，总房费为 y 元 （1）分别求出住两家酒店的房费 y（元）与住酒店天数 x（天）之间的函数关系式； （2）在同一坐标系中，若在两家酒店入住所需的房费 y 关于天数 x 的函数图象如图所示，请求出点 C 的 坐标；
30、（3）根据函数图象，请直接写出选择哪家酒店消费更合算 【分析】 （1）根据题意可得出 y甲与 y乙与 x 之间的函数关系； （2）由题意列出方程可求解； （3）根据函数图象以及 x 的取值范围解答 【解答】解： （1）由题意可得：当 0 x5 时，y甲3000， 当 x5 时，y甲3000+1200（x5）1200 x3000， ， 由题意得：当 0 x3 时，y乙1000 x， 当 x3 时，y乙3000+100080%（x3）800 x+600， ； （2）令 1200 x3000800 x+600， 解得：x9， 把 x9 代入 y乙800 x+600 中，得 y7800， C（9，78
31、00） ； （3）当 0 x3 或 x9 时，选择乙酒店更合算； 当 3x9 时，选择甲酒店更合算； 当 x3 或 x9 时，甲、乙两酒店的总费用相同 20 （7 分）图 1 是挂墙式淋浴花洒的实物图，图 2 是抽象出来的几何图形为使身高 175cm 的人能方便地 淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置 O，花洒的最高点 B 与人的头顶的铅垂距离为 15cm，已知龙 头手柄 OA 长为 10cm， 花洒直径 AB 是 8cm， 龙头手柄与墙面的较小夹角COA26， OAB146， 则安装时， 旋转头的固定点 O 与地面的距离应为多少？ （计算结果精确到 1cm， 参考数据： sin260.44
32、， cos260.90，tan260.49） 【分析】 通过作辅助线构造直角三角形， 分别在 RtABF 和在 RtAOE 中， 根据锐角三角函数求出 OE、 BF，而点 B 到地面的高度为 175+15190cm，进而求出 OG 即可 【解答】解：如图，过点 B 作地面的垂线，垂足为 D，过点 A 作地面 GD 的平行线，交 OC 于点 E，交 BD 于点 F， 在 RtAOE 中，AOE26，OA10cm， 则 OEOAcosAOE100.909cm， 在 RtABF 中，BAF146902630，AB8cm， 则 BFABsinBAF84cm， OGBDBFOE（175+15）49177
33、cm， 答：旋转头的固定点 O 与地面的距离约为 177cm 21 （9 分）请阅读下面内容，并完成相应的任务 学习新知 定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做等面积 四边形，这条对角线叫做等面积对角线 等面积四边形的性质：在等面积四边形中，等面积对角线平分另一条对角线 已知四边形 ABCD 是等面积四边形，等面积对角线 AC 与对角线 BD 交于点 O，ABC 与ADC 的面积 相等 求证：BODO 证明：如图（1） ，分别过点 B，D 作 AC 的垂线，垂足分别为点 E，F ，且 SABCSADC ， 即 BEDF （请将未完成的证明过程补全）
34、 思考与探究 （1）下列图形中，属于等面积四边形的是 A A平行四边形 B对角线互相垂直的四边形 C对角线相等的四边形 （2）写出等面积四边形性质的逆命题，并判定它是真命题还是假命题（不需证明） 应用与拓展 如图（2） ，已知四边形 ABCD 是等面积四边形，AC 是等面积对角线，若 BD 平分ABC 交 AC 于点 E， AB2BC求证：ADAE 【分析】学习新知：利用面积法或全等三角形的性质证明即可 思考与探究： （1）根据等面积四边形的定义判断即可 （2）根据命题与逆命题的关系解决问题即可 应用与拓展：如图，过点 E 作 EFAD，交 AB 于点 F，则 AFBF，ADEBEF证明BEF
35、 BEC（SAS） ，推出BEFBEC，可得结论 【解答】解：学习新知：补全证明过程如下 方法一：在ABO 与ADO 中 SABOAOBE，SADOAODF， SABOSADO， DOBO 方法二：在BOE 与DOF 中， ， BOEDOF（AAS） ， BODO 思考与探究： （1）平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等三角形的三角形，这两个三角形面 积相等， 平行四边形是等面积四边形 故选 A （2） 如果四边形的一条对角线平分另一条对角线， 那么这个四边形是等面积四边形 这个命题是真命题 应用与拓展 证明：如图，过点 E 作 EFAD，交 AB 于点 F，则 AFBF，ADEBEF
36、四边形 ABCD 是等面积四边形，AC 是等面积对角线， BEDE， AB2BC， BFBC， 在BEF 与BEC 中， ， BEFBEC（SAS） ， BEFBEC， BECADE， 又AEDBEC， AEDADE， AEAD 22 （12 分）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师给出如下问题： 如图（1） ，在 RtABC 中，ACAB2，BAC90，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 DE将 DAE 绕点 A 旋转，作直线 CE，BD，两直线交于点 P，试探究直线 CE，BD 的位置关系 探究证明： （1）勤奋小组将DAE 旋转 180，发现 CEBD，又将DAE 旋转到
37、如图（2）所示的位置，前面发 现的结论还存在吗？请说明理由 引申发现： （2）创新小组找到线段 BC 的中点 M，连接 PM，发现在ADE 旋转过程中，PM 的长度是定值，请你 求出这个固定值 拓展延伸： （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，对CBP 的最小值进行了探究，当CBP 最小时，请你 帮忙计算 sinCBP 的值 【分析】 （1）CEBD，这个结论成立证明EACDAB（SAS） ，推出ACEABD，可得CPO OAB90 （2）利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可 （3）如图 3 中，因为 AD1，AB2 是定值，所以当 ADBD 时，ABD 最大，CBP 的值最小，此 时
38、四边形 ADPE 是正方形，求出 PC，BC 即可解决问题 【解答】解： （1）存在，CEBD，这个结论成立 理由：如图 1 中，设 AC 交 BP 于 O EADCAB90， EACDAB， AEAD，ACAB， EACDAB（SAS） ， ACEABD， COPAOB， CPOOAB90， ECBD （2）如图 2 中， ECBD， CPB90， CMBM， PMBC， ACBC2，CAB90， BCAC2， PM （3）如图 3 中，AD1，AB2 是定值， ADE 在旋转过程中，点 D 在以点 A 为圆心、AD 长为半径的圆上运动，点 P 在以 BC 为直径的圆上 运动， 故当直线 B
39、P 与A 相切于右上侧时，CBP 最小， 当 ADBD 时，ABD 最大，CBP 的值最小，此时四边形 ADPE 是正方形， ADPD1，BD， BPDP+BD1+， BC2， PC1， sinCBP 23 （13 分）综合与探究 如图，已知抛物线 yax2+bx+3 过点 A（1，0） ，B（3，0） ，交 y 轴于点 C，点 M 是抛物线上的动点 （1）求抛物线的表达式； （2）过点 M 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 N，分别过点 M，N 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 E，F， 若点 M 在对称轴的右侧，且四边形 MNFE 为正方形，求此正方形的边长； （3）若点 P 是抛物线对称轴
40、上一点，是否存在点 M，使以点 P，B，C，M 为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点 M 的横坐标为 m，先用含 m 的代数式分别表示出 MN，ME 的长，再利用 MNME 列式进行 求解，注意分点 M 在 x 轴上方和在 x 轴下方两种情况； （3）分 PB 为对角线、PC 为对角线、PM 为对角线三种情况，利用线段中点公式和平行四边形的性质求 解即可 【解答】 （1）抛物线 yax2+bx+3 过点 A（1，0） ，B（3，0） ， ， 解得：， 故抛物线的表达式为 yx2+2x+3； （
41、2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线， 设点 M 的坐标为（m，m2+2m+3） ， 则 ME， 点 M，N 关于直线 x1 对称，且点 M 在对称轴右侧， MN2（m1）2m2， 四边形 MNFE 为正方形， MEMN，即2m2， 分两种情况讨论： 当点 M 在 x 轴上方时，m2+2m+32m2， 解得 m1，m2（不符合题意舍去） ， MN2m222， 即正方形的边长为 22； 当点 M 在 x 轴下方时，m2+2m+322m， 解得 m32+，m42（不符合题意，舍去） ， MN2m22+2， 即正方形的边长为 2+2， 综上所述，正方形的边长为 22 或 2+2； （3）存在，点 M
42、 的坐标为（4，5） ， （2，5）或（2，3） 解法提示：设 P（1，p） ，M（q，q2+2q+3） ， 易知 C（0，3） ， 分三种情况讨论： 当 PB 为平行四边形的对角线时， 根据 PB 的中点与 CM 的中点重合， 可得 1+3q， 故 q4， M（4，5） ； 当 PC 为平行四边形的对角线时， 根据 PC 的中点与 BM 的中点重合， 可得 1q+3， 故 q2， M（2，5） ； 当 PM 为平行四边形的对角线时， 根据 PM 的中点与 BC 的中点重合， 可得 1+q3， 故 q2， M（2，3） ， 综上可知，点 M 的坐标为（4，5） ， （2，5）或（2，3） 一题多解：第（3）问还有另一种解法，如下， 设 P（1，p） ，M（q，q2+2q+3） ， 易知 C（0，3） ， 分两种情况讨论： 当 BC 为平行四边形的边时， a若该平行四边形是平行四边形 BCMP， 则 BC 可经过平移得到 PM， 31q， 解得 q2， M（2，5） ； b若该平行四边形是平行四边形 BCPM， 则 BC 可经过平移得到 MP， 3q1， 解得 q4， M（4，5） ， 当 BC 为平行四边形的对角线时， 根据 PM 的中点与 BC 的中点重合， 可得 1+q3， 故 q2， M（2，3） ， 综上可知，点 M 的坐标为（4，5） ， （2，5）或（2，3）