1、2020 年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1如图，数轴上 A，B 两点分别对应实数 a，b，则下列结论正确的是（ ） Aab Bab Cab Dab0 2如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ） A平移变换 B相似变换 C旋转变换 D对称变换 3某公司全体职工的月工资如表： 月工资 （元） 18000 12000 8000 6000 4000 2500 2000 1500 1200 人数 1（总经 理） 2 （副总经 理） 3 4 10 20 22 12
2、 6 该公司月工资数据的众数为 2000，中位数为 2250，平均数为 3115若要应聘该公司普通员工，最应关 注的数据是（ ） A平均数 B平均数和众数 C平均数和中位数 D中位数和众数 4下列计算正确的是（ ） Aa2+2a23a4 B （2a2）36a6 C （ a+b ）2a2+b2 D （a+2） （a2）a24 5如图，ABCD，点 E 在 AD 上，ABAE，若B70，D 的度数为（ ） A60 B50 C40 D30 6不等式组的解集是（ ） Ax1 Bx4 C1x4 Dx1 7如图，AB 是圆 O 的直径，C、D、E 都是圆上的点，则C+D 等于（ ） A60 B75 C80
3、 D90 8若二次函数 yx22xm 与 x 轴无交点，则一次函数 y（m+1）x+m1 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 9如图，在正方形 ABCD 中，连接 BD，DE 平分BDC，交 BC 于 E，DE 的垂直平分线分别交 AB，BD， DE，DC 于点 F，G，H，L，交 BC 的延长线于点 K，连接 GE，下列结论错误的是（ ） ALKB22.5 BGEAB CSBGE：SBDC1：4 DtanBGF 10在同一直角坐标系中，二次函数 yax2（a0）与反比例函数 y（k0，x0）的图象上有三个不 同的点 A（x1，m） ，B（x2，m） ，C（x3
4、，m） ，其中 m 为常数，令 x1+x2+x3，则 的值为（ ） A Bm Cam2 D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11方程0 的解为 12如图，ABCD，ABD 的平分线与BDC 的平分线交于点 E，则1+2 13如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 DC 的中点，若 OE3，则菱形的周长为 14关于 x 的一元二次方程 x22xm0 有两个不相等的实数根，则 m 的最小整数值是 15若函数 yx2+bx5 的对称轴为直线 x2，则关于 x 的方程 x2+bx52x13 的解为 16如图，AB
5、 是O 的弦，过点 O 作 OCOA，OC 交于 AB 于 P，且 CPCB，已知BAO25，OA 2下列结论：BC 是O 的切线；AQB65；CBP 与ABQ 相似；的长为， 正确的是 （写出正确结论的序号） 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，满分小题，满分 102 分）分） 17 （9 分）解方程：6x+13（x+1）+4 18 （9 分）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E、F， 求证：AOECOF 19 （10 分）已知 T （1）化简 T； （2）若点 M（a，b）在一次函数 yx+的图象上，求 T 的值 20
6、（10 分）为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“中华植物园”参观后，开展“我 最喜欢的主题展区”投票调查要求学生从“和文化” 、 “孝文化” 、 “德文化” 、 “理学文化” 、 “瑶文化” 五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图结合图中信息， 回答下列问题 （1）参观的学生总人数为 人； （2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 ； （3）补全条形统计图； （4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概 率是多少？ 21 （12 分）安顺市某商贸公司以每千克 40 元
7、的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价格销售，为了 让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千克）与每千克降价 x（元） （0 x 20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元？ 22 （12 分）如图，在直角坐标系中，已知点 B（4，0） ，等边三角形 OAB 的顶点 A 在反比例函数 y的 图象上 （1）求反比例函数的表达式 （2）把OAB 向右平移 a 个单位长度，对应得到OAB当这个函数图象经过OAB一边的中点时， 求 a 的值 23 （12 分）
8、如图，AB 是O 的直径，CB 与O 相切于点 B，AB2，BC2 （1）尺规作图，在O 上找一点 D，使 CDCB （2）在（1）所作的图形中，求证：CD 与O 相切 （3）在（1）所作的图形中，点 E 是线段 OB 上一点（与端点 O，B 不重合） ，连接 ED，EC，当 CE+DE 的值最小时，求的值 24 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边 AB4，BC6若不改变矩形 ABCD 的形 状和大小，当矩形顶点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D 始终在 y 轴的正半轴上随 之上下移动 （1）当OAD30时，求点 C 的坐标； （2）设
9、 AD 的中点为 M，连接 OM、MC，当四边形 OMCD 的面积为时，求 OA 的长； （3）当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 cosOAD 的值 25 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的对称中心为坐标原点 O，ADy 轴于点 E（点 A 在 点 D 的左侧） ，经过 E、D 两点的函数 yx2+mx+1（x0）的图象记为 G1，函数 yx2mx1 （x0）的图象记为 G2，其中 m 是常数，图象 G1、G2合起来得到的图象记为 G设矩形 ABCD 的周长 为 L （1）当点 A 的横坐标为1 时，求 m 的值；
10、（2）求 L 与 m 之间的函数关系式； （3）当 G2与矩形 ABCD 恰好有两个公共点时，求 L 的值； （4）设 G 在4x2 上最高点的纵坐标为 y0，当y09 时，直接写出 L 的取值范围 2020 年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1如图，数轴上 A，B 两点分别对应实数 a，b，则下列结论正确的是（ ） Aab Bab Cab Dab0 【分析】先根据数轴得到 a，b，0 之间的大小关系，再依次判断下列选
11、项是否正确 【解答】解：由图可得，a0b， 所以 ab，ab，ab0 是错误；ab 是正确 故选：C 【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系解题的关键明确实数与数轴的对应关系，数轴上的数右边 的数总是大于左边的数 2如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ） A平移变换 B相似变换 C旋转变换 D对称变换 【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案 【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以 属于相似变换 故选：B 【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出 3某公司全体职工的月工资如表： 月工资 （元
12、） 18000 12000 8000 6000 4000 2500 2000 1500 1200 人数 1（总经 理） 2 （副总经 理） 3 4 10 20 22 12 6 该公司月工资数据的众数为 2000，中位数为 2250，平均数为 3115若要应聘该公司普通员工，最应关 注的数据是（ ） A平均数 B平均数和众数 C平均数和中位数 D中位数和众数 【分析】根据中位数、众数、平均数的意义分别判断后即可得到正确的选项 【解答】解：数据的极差为 16800，较大， 平均数不能反映数据的集中趋势， 普通员工最关注的数据是中位数及众数， 故选：D 【点评】本题考查了统计量的选择的知识，解题的关
13、键是了解有关统计量的意义，难度不大 4下列计算正确的是（ ） Aa2+2a23a4 B （2a2）36a6 C （ a+b ）2a2+b2 D （a+2） （a2）a24 【分析】直接利用合并同类项、积的乘方运算法则、乘法公式分别化简得出答案 【解答】解：A、a2+2a23a2，故此选项错误； B、 （2a2）38a6，故此选项错误； C、 （ a+b ）2a2+2ab+b2，故此选项错误； D、 （a+2） （a2）a24，正确 故选：D 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 5如图，ABCD，点 E 在 AD 上，ABAE，若B70，D 的度数为（ ） A6
14、0 B50 C40 D30 【分析】根据等边对等角求出AEBB，然后根据三角形内角和定理列式计算求出A，再根据两直 线平行，内错角相等求出D，即可得解 【解答】解：ABAE， AEBB， B70， A40， ABCD， D40 故选：C 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，是基础题 6不等式组的解集是（ ） Ax1 Bx4 C1x4 Dx1 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可 【解答】解：， 解不等式，得 x4， 解不等式，得 x1， 原不等式组的解集为 x4， 故选：B 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不
15、等式组的解集是解此题的关键 7如图，AB 是圆 O 的直径，C、D、E 都是圆上的点，则C+D 等于（ ） A60 B75 C80 D90 【分析】连接 OE，根据圆周角定理即可求出答案 【解答】解：连接 OE， 根据圆周角定理可知： CAOE，DBOE， 则C+D（AOE+BOE）90， 故选：D 【点评】本题主要考查了圆周角定理，解题要掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半 8若二次函数 yx22xm 与 x 轴无交点，则一次函数 y（m+1）x+m1 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】先根据判别式的意义得
16、到（2）24（m）0，解得 m1，然后根据一次函数的性 质进行判断 【解答】解：二次函数 yx22xm 与 x 轴无交点， （2）24（m）0，解得 m1， m+10，m10， 一次函数 y（m+1）x+m1 的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限 故选：A 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴 的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了一次函数的性质 9如图，在正方形 ABCD 中，连接 BD，DE 平分BDC，交 BC 于 E，DE 的垂直平分线分别交 AB，BD， DE，DC 于点 F，G，H，L
17、，交 BC 的延长线于点 K，连接 GE，下列结论错误的是（ ） ALKB22.5 BGEAB CSBGE：SBDC1：4 DtanBGF 【分析】 利用相似三角形的判定和性质， 正方形的性质， 线段垂直平分线的性质等知识依次判断可求解 【解答】解：如图，连接 EL， 四边形 ABCD 是正方形， BDCADC45， DE 平分BDC， BDECDE22.5， FK 是 DE 的中垂线， DEFK， DHL90， DHLLCK90，DLHKLC， LKBCDE22.5，故选项 A 不合题意； FK 是 DE 的中垂线， GEDG， GDEGED22.5EDC， EGCDAB，故选项 B 不符合
18、题意； BDECDE，DHLDHG90， DGHDLH， BGFDGH，CLKDLG， BGFCLK， 在 RtCKL 中，tanBGFtanCLK，故选项 D 不符合题意； DLDGEG，EGDL， 四边形 DLEG 是菱形， DLELEGCL， ， EGCD， BEGBCD， SBGE：SBDC（）21：4， 故选项 C 符合题意； 故选：C 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线和线段的垂直平分线，菱形的性质和判定，三 角函数，正方形的性质，要熟记各个性质并能运用；是中考常考的选择题的压轴题 10在同一直角坐标系中，二次函数 yax2（a0）与反比例函数 y（k0，x0）的图
19、象上有三个不 同的点 A（x1，m） ，B（x2，m） ，C（x3，m） ，其中 m 为常数，令 x1+x2+x3，则 的值为（ ） A Bm Cam2 D 【分析】三个点的纵坐标相同，由图象可知 yax2图象上点横坐标互为相反数，则 x1+x2+x3x3，再由 反比例函数性质可求 x3 【解答】解：设点 A、B 在二次函数 yax2（a0）图象上，点 C 在反比例函数 y（k0，x0）的 图象上， 因为 AB 两点纵坐标相同，所以 A、B 关于 y 轴对称，则 x1+x20， 因为点 C（x3，m）在反比例函数图象上，则 x3， x1+x2+x3x3， 故选：D 【点评】本题考查二次函数图象
20、的轴对称性，二次函数图象上点纵坐标相同时，对应点关于抛物线对称 轴对称 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11方程0 的解为 x1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解 【解答】解：方程0， 去分母得：x10， 解得：x1， 经检验 x1 是分式方程的解 故答案为：x1 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 12如图，ABCD，ABD 的平分线与BDC 的平分线交于点 E，则1+2 90 【分析】根据平行线的性质可得ABD+CDB180，
21、再根据角平分线的定义可得1ABD， 2CDB，进而可得结论 【解答】解：ABCD， ABD+CDB180， BE 是ABD 的平分线， 1ABD， DE 是BDC 的平分线， 2CDB， 1+290， 故答案为：90 【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补 13如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 DC 的中点，若 OE3，则菱形的周长为 24 【分析】根据菱形的对角线互相平分可得 BODO，然后求出 OE 是BCD 的中位线，再根据三角形的 中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 BC，然后根据菱形的周长公式计算即可得解 【解答】
22、解：四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD，BODO， 点 E 是 CD 的中点， OE 是BCD 的中位线， BC2OE236， 菱形 ABCD 的周长4624； 故答案为：24 【点评】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关 键 14关于 x 的一元二次方程 x22xm0 有两个不相等的实数根，则 m 的最小整数值是 0 【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式0 求解即可； 【解答】解：一元二次方程 x22xm0 有两个不相等的实数根， 4+4m0， m1； 故答案为 0； 【点评】本题考查一元二次方程的根的存在性；熟练掌握利用判别
23、式确定一元二次方程的根的存在性 是解题的关键 15 若函数 yx2+bx5 的对称轴为直线 x2， 则关于 x 的方程 x2+bx52x13 的解为 x12， x24 【分析】由函数的对称轴为直线 x2 求出函数的表达式即可求解 【解答】解：x2， 解得：b4， 故 x2bx52x13，即为：x26x+80，解得：x2 或 4， 故答案为：x12，x24 【点评】本题考查的是抛物线与 x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟 悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征 16如图，AB 是O 的弦，过点 O 作 OCOA，OC 交于 AB 于 P，且
24、 CPCB，已知BAO25，OA 2下列结论：BC 是O 的切线；AQB65；CBP 与ABQ 相似；的长为， 正确的是 （写出正确结论的序号） 【分析】 连接 OB， 根据等腰三角形的性质得到OABOBA， CPBPBC， 等量代换得到APO CBP，根据三角形的内角和得到CBO90，于是得到结论；根据等腰三角形的性质得到 AOB130；根据相似三角形的判定可得结论；根据弧长公式即可得到结论 【解答】解：连接 OB， OAOB， OABOBA， PCCB， CPBPBC， APOCPB， APOCBP， OCOA， AOP90， OAP+APO90， CBP+ABO90， CBO90， BC
25、 是O 的切线，故正确； BAO25，OAOB， BAOOBA25， AOB130， AQB65，故正确； 当 BABQ 时，CBP 与ABQ 才相似，故不正确； AOB130，OA2， 的长为，故正确 故答案为： 【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，弧长的计算，圆周角 定理，熟练正确切线的判定和性质定理是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，满分小题，满分 102 分）分） 17 （9 分）解方程：6x+13（x+1）+4 【分析】方程去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解 【解答】解：去括号得：6x+13x+3+4， 移项合并得
26、：3x6， 解得：x2 【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去括号时要正确使用去括号法则 18 （9 分）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E、F， 求证：AOECOF 【分析】根据平行四边形的性质得出 OAOC，ABCD，推出EAOFCO，证出AOECOF 即可 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，ABCD， EAOFCO， 在AOE 和COF 中， ， AOECOF（ASA） 【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定的应用，关键是根据平行四 边形的性质得出 AOCO 19
27、（10 分）已知 T （1）化简 T； （2）若点 M（a，b）在一次函数 yx+的图象上，求 T 的值 【分析】 （1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果； （2）把 M 坐标代入一次函数解析式求出 ab 的值，代入原式计算即可求出值 【解答】解： （1）Tab； （2）M（a，b）在一次函数 yx+的图象上， ba+，即 ab， 则 T 【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握运算法则是解本题 的关键 20 （10 分）为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“中华植物园”参观后，开展“我 最喜欢的主题展区”投票调查要求
28、学生从“和文化” 、 “孝文化” 、 “德文化” 、 “理学文化” 、 “瑶文化” 五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图结合图中信息， 回答下列问题 （1）参观的学生总人数为 40 人； （2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 15% ； （3）补全条形统计图； （4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概 率是多少？ 【分析】 （1）依据最喜欢“和文化”的学生数以及百分比，即可得到参观的学生总人数； （2）依据最喜欢“瑶文化”的学生数，即可得到其占参观总学生数的百分比； （3）依
29、据“德文化”的学生数为 401281064，即可补全条形统计图； （4）设最喜欢“德文化”的 4 个学生分别为甲乙丙丁，画树状图可得最喜欢“德文化”的学生甲被选中 的概率 【解答】解： （1）参观的学生总人数为 1230%40（人） ； 故答案为：40； （2）喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为100%15%； 故答案为：15%； （3） “德文化”的学生数为 401281064，条形统计图如下： （4）设最喜欢“德文化”的 4 个学生分别为甲、乙、丙、丁，画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，甲同学被选中的有 6 种情况， 甲同学被选中的概率为 【点评】此题考查了条形统计图和扇
30、形统计图，树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率所 求情况数与总情况数之比 21 （12 分）安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价格销售，为了 让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千克）与每千克降价 x（元） （0 x 20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【分析】 （1）设一次函数解析式为：ykx+b 由题意得出：当 x2，y120；当 x4，y140；得出方 程组，解方程组解可； （2）由题意得出方
31、程（6040 x） （10 x+100）2090，解方程即可 【解答】解： （1）设一次函数解析式为：ykx+b 当 x2，y120；当 x4，y140； ， 解得：， y 与 x 之间的函数关系式为 y10 x+100； （2）由题意得： （6040 x） （10 x+100）2090， 整理得：x210 x+90， 解得：x11x29， 让顾客得到更大的实惠， x9， 答：商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价 9 元 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键 22 （12 分）如图，在直角坐标系中，已知点 B（4，0） ，等
32、边三角形 OAB 的顶点 A 在反比例函数 y的 图象上 （1）求反比例函数的表达式 （2）把OAB 向右平移 a 个单位长度，对应得到OAB当这个函数图象经过OAB一边的中点时， 求 a 的值 【分析】 （1）过点 A 作 ACOB 于点 C，根据等边三角形的性质得出点 A 坐标，用待定系数法求得反比 例函数的解析式即可； （2）分两种情况讨论：反比例函数图象过 AB 的中点；反比例函数图象过 AO 的中点分别过中点 作 x 轴的垂线，再根据 30角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式 得出中点坐标，再根据平移的法则得出 a 的值即可 【解答】解： （1）过点 A
33、 作 ACOB 于点 C， OAB 是等边三角形， AOB60，OCOB， B（4，0） ， OBOA4， OC2，AC2 把点 A（2，2）代入 y，得 k4 反比例函数的解析式为 y； （2）分两种情况讨论： 点 D 是 AB的中点，过点 D 作 DEx 轴于点 E 由题意得 AB4，ABE60， 在 RtDEB中，BD2，DE，BE1 OE3， 把 y代入 y，得 x4， OE4， aOO1； 如图 3，点 F 是 AO的中点，过点 F 作 FHx 轴于点 H 由题意得 AO4，AOB60， 在 RtFOH 中，FH，OH1 把 y代入 y，得 x4， OH4， aOO3， 综上所述，a
34、 的值为 1 或 3 【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握直角三角形、等边三角形的性质以及分 类讨论思想是解题的关键 23 （12 分）如图，AB 是O 的直径，CB 与O 相切于点 B，AB2，BC2 （1）尺规作图，在O 上找一点 D，使 CDCB （2）在（1）所作的图形中，求证：CD 与O 相切 （3）在（1）所作的图形中，点 E 是线段 OB 上一点（与端点 O，B 不重合） ，连接 ED，EC，当 CE+DE 的值最小时，求的值 【分析】 （1）以点 C 为圆心 BC 长为半径交圆于点 D，则点 D 为所求点； （2）证明COBCOD（SSS） ，即可求解； （
35、3） 连接DF交OB于点E， 则此时CE+DE的值最小； 由SOBCOBBCCOBG， 求得BG； 在BOD 中，DH2OD2OH2BD2BH2，求出 DH，由DHEFBE，即可求解 【解答】解： （1）以点 C 为圆心 BC 长为半径交圆于点 D，则点 D 为所求点； （2）连接 OC， OCCO，BCCD，OBOD， COBCOD（SSS） ， ODCOBC90， CD 与O 相切； （3）如图 3，延长 CB 到 F 使，BFBC，则点 C、F 关于 OB 对称，连接 OC、EC， 连接 DF 交 OB 于点 E，则此时 CE+DE 的值最小， 理由：点 C、F 关于 OB 对称，故 C
36、EEF， CE+DEEF+DEDF 为最小， 连接 BD 交 OC 于点 G，过点 D 作 DHOB 于点 H， BC、CD 均为圆的切线，故 BGOC， 在 RtOBC 中，CO3， SOBCOBBCCOBG，即23BG，解得 BG， 则 BD2BG， 在BOD 中，DH2OD2OH2BD2BH2， 即 DH2（）2（BH）2（）2BH2， 解得 DH， DHOB，BFOB， DHBF， DHEFBE， 【点评】此题属于圆的综合题，涉及了全等三角形和相似三角形的判定与性质、点的对称性、三角函数 值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注 意将所
37、学知识贯穿起来 24 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边 AB4，BC6若不改变矩形 ABCD 的形 状和大小，当矩形顶点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D 始终在 y 轴的正半轴上随 之上下移动 （1）当OAD30时，求点 C 的坐标； （2）设 AD 的中点为 M，连接 OM、MC，当四边形 OMCD 的面积为时，求 OA 的长； （3）当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 cosOAD 的值 【分析】 （1）作 CEy 轴，先证CDEOAD30得 CECD2，DE2，再 由OAD
38、30知 ODAD3，从而得出点 C 坐标； （2）先求出 SDCM6，结合 S四边形OMCD知 SODM，SOAD9，设 OAx、ODy，据此知 x2+y236，xy9，得出 x2+y22xy，即 xy，代入 x2+y236 求得 x 的值，从而得出答案； （3）由 M 为 AD 的中点，知 OM3，CM5，由 OCOM+CM8 知当 O、M、C 三点在同一直线时， OC 有最大值 8，连接 OC，则此时 OC 与 AD 的交点为 M，ONAD，证CMDOMN 得 ，据此求得 MN，ON，ANAMMN，再由 OA及 cosOAD可得 答案 【解答】解： （1）如图 1，过点 C 作 CEy 轴
39、于点 E， 矩形 ABCD 中，CDAD， CDE+ADO90， 又OAD+ADO90， CDEOAD30， 在 RtCED 中，CECD2，DE2， 在 RtOAD 中，OAD30， ODAD3， 点 C 的坐标为（2，3+2） ； （2）M 为 AD 的中点， DM3，SDCM6， 又 S四边形OMCD， SODM， SOAD9， 设 OAx、ODy，则 x2+y236，xy9， x2+y22xy，即 xy， 将 xy 代入 x2+y236 得 x218， 解得 x3（负值舍去） ， OA3； （3）OC 的最大值为 8， 如图 2，M 为 AD 的中点， OM3，CM5， OCOM+CM
40、8， 当 O、M、C 三点在同一直线时，OC 有最大值 8， 连接 OC，则此时 OC 与 AD 的交点为 M，过点 O 作 ONAD，垂足为 N， CDMONM90，CMDOMN， CMDOMN， ，即， 解得 MN，ON， ANAMMN， 在 RtOAN 中，OA， cosOAD 【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性 质等知识点 25 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的对称中心为坐标原点 O，ADy 轴于点 E（点 A 在 点 D 的左侧） ，经过 E、D 两点的函数 yx2+mx+1（x0）的图象记为 G1，函数
41、 yx2mx1 （x0）的图象记为 G2，其中 m 是常数，图象 G1、G2合起来得到的图象记为 G设矩形 ABCD 的周长 为 L （1）当点 A 的横坐标为1 时，求 m 的值； （2）求 L 与 m 之间的函数关系式； （3）当 G2与矩形 ABCD 恰好有两个公共点时，求 L 的值； （4）设 G 在4x2 上最高点的纵坐标为 y0，当y09 时，直接写出 L 的取值范围 【分析】 （1）求出点 B 坐标利用待定系数法即可解决问题； （2）利用对称轴公式，求出 BE 的长即可解决问题； （3）由 G2与矩形 ABCD 恰好有两个公共点，推出抛物线 G2的顶点 M（m， m21）在线段
42、AE 上， 利用待定系数法即可解决问题； （4）分三种情形讨论求解即可； 【解答】解： （1）由题意 E（0，1） ，A（1，1） ，D（1，1） 把 D（1，1）代入 yx2+mx+1 中，得到 1+m+1， m （2）抛物线 G1的对称轴 xm， AEED2m， 矩形 ABCD 的对称中心为坐标原点 O， ADBC4m，ABCD2， L8m+4 （3）当 G2与矩形 ABCD 恰好有两个公共点， 抛物线 G2的顶点 M（m，m21）在线段 AE 上， m211， m2 或2（舍弃） ， L82+420 （4）G1的顶点（m，m2+1） ，G1中（2，2m1） ，G2顶点（m，m21） ，G2中（4，4m9） 当 m2，最高点是抛物线 G1的顶点 N（m，m2+1）时， 若m2+1，解得 m1 或1（舍弃） ， 若m2+19 时，m4 或4（舍弃） ， 又m2， 观察图象可知满足条件的 m 的值为 1m2， 2m4 时，当（2，2m1）是最高点时， 解得 2m4， 当 m4 时， 解得 4m， 综上所述，1m， 12L40 【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题 意， 灵活运用所学知识解决问题， 学会用分类讨论的思想思考问题， 学会利用数形结合的思想解决问题， 属于中考压轴题