1、题组层级快练题组层级快练(六十五六十五) 1直线 l 过点( 2，0)且与双曲线 x2y22 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 答案 C 解析 该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共 3 条 2若直线 ykx2 与双曲线 x2y26 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是( ) A( 15 3 ， 15 3 ) B(0， 15 3 ) C( 15 3 ，0) D( 15 3 ，1) 答案 D 3已知 F1，F2是双曲线x 2 2y 21 的左、右焦点，P，Q 为右支上的两点，直线 PQ 过 F 2且倾斜角为 ，则
2、|PF1|QF1|PQ|的值为( ) A8 B2 2 C4 2 D随 的大小而变化 答案 C 解析 由双曲线定义知： |PF1|QF1|PQ| |PF1|QF1|(|PF2|QF2|) (|PF1|PF2|)(|QF1|QF2|) 4a4 2. 4已知 A，B，P 是双曲线x 2 a2 y2 b21 上不同的三点，且 A，B 连线经过坐标原点，若直线 PA，PB 的 斜率乘积 kPA kPB2 3，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 2 B. 6 2 C. 2 D. 15 3 答案 D 解析 设 A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，B(x1，y1)， 因为 A，P 在双曲线上，
3、所以 x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21. 两式相减，得 kPA kPBb 2 a2 2 3. 所以 e2a 2b2 a2 5 3. 故 e 15 3 . 5(2015 四川绵阳第二次诊断考试)圆 C 的圆心在 y 轴正半轴上，且与 x 轴相切，被双曲线 x2y 2 31 的渐近线截得的弦长为 3，则圆 C 的方程为( ) Ax2(y1)21 Bx2(y 3)23 Cx2(y 3 2 )23 4 Dx2(y2)24 答案 A 解析 设圆心(0，b)，(b0)，半径为 b，双曲线渐近线方程为 y 3x，圆心到渐近线的距离为 db 2. 由勾股定理，得(b 2) 2( 3
4、 2 )2b2，b1.所以圆 C 的方程为 x2(y1)21. 6.(2015 天津河西质量调研)如图所示，F1，F2是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，过 F1的直 线 l 与双曲线的左、右两个分支分别交于 B，A，若ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为( ) A.2 3 3 B. 3 C4 D. 7 答案 D 解析 设等边三角形的边长为 x，则根据双曲线定义得|AF1|AF2|2a，|BF2|BF1|2a， x|BF1|x2a， x|BF1|2a， |BF1|2a， x4a. 在AF1F2中，|AF1|6a，|AF2|4a，|F1F2|2c，F1AF260
5、，由余弦定理，得 4c236a216a2 26a4acos60 .c27a2，即 e 7. 7已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线平行于直线 l：y2x10，双曲线的一个焦点在直 线 l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 2 5 y2 201 B.x 2 20 y2 51 C.3x 2 25 3y2 1001 D.3x 2 100 3y2 251 答案 A 解析 由题意可知， 双曲线的其中一条渐近线 yb ax 与直线 y2x10 平行， 所以 b a2 且左焦点为( 5,0)，所以 a2b2c225，解得 a25，b220，故双曲线方程为x 2 5 y2 201.
6、选 A. 8已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7，0)，直线 yx1 与其相交于 M，N 两点，MN 中点的 横坐标为2 3，则此双曲线的方程是( ) A.x 2 3 y2 41 B.x 2 4 y2 31 C.x 2 5 y2 21 D.x 2 2 y2 51 答案 D 解析 设双曲线方程x 2 a2 y2 b21，M(x1，y1)，N(x2，y2)， x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21. ，得y1y2 x1x2 b2 a2 x1x2 y1y2. 1b 2 a2 2 3 5 3 ，5a22b2. 又 a2b27，a22，b25，故选 D. 9(2015 东北三
7、校一模)已知双曲线x 2 9 y2 161，过其右焦点 F 的直线交双曲线于 P，Q 两点，PQ 的垂 直平分线交 x 轴于点 M，则|MF| |PQ|的值为( ) A.5 3 B.5 6 C.5 4 D.5 8 答案 B 解析 依题意，将直线 PQ 特殊化为 x 轴，于是有点 P(3,0)，Q(3,0)，M(0,0)，F(5,0)，|MP| |PQ| 5 6. 10过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左焦点 F(c,0)(c0)，作圆 x 2y2a 2 4 的切线，切点为 E，延长 FE 交曲线右支于点 P，若OE 1 2(OF OP )，则双曲线的离心率为_ 答案 10 2
8、解析 圆 x2y2a 2 4 的半径为a 2，由OE 1 2(OF OP )知，E 是 FP 的中点，设 F(c,0)，由于 O 是 FF 的中点，所以 OEPF，|OE|1 2|PF|PF|2|OE|a. 由双曲线定义，|FP|3a，因为 FP 是圆的切线，切点为 E，所以 FPOE，从而FPF90 .由勾 股定理，得|FP|2|FP|2|FF|29a2a24c2e 10 2 . 11双曲线 C：x2y21 的渐近线方程为_；若双曲线 C 的右顶点为 A，过 A 的直线 l 与双曲 线 C 的两条渐近线交于 P，Q 两点，且PA 2AQ ，则直线 l 的斜率为_ 答案 x y0， 3 解析
9、双曲线 C：x2y21 的渐近线方程为 x2y20，即 y x；双曲线 C 的右顶点 A(1,0)，设 l：x my1，联立方程，得 xmy1， x2y20， 消去 x，得(m21)y22my10(*)，方程(*)的根为 P，Q 两点的 纵坐标，设 P(xP，yP)，PA 2AQ ，yP2yQ. 又 yPyQ 2m 1m2， yPyQ 1 m21， 解得 m 1 3，直线 l 的斜率为 1 m，即为 3 或3. 12已知曲线x 2 a y2 b1(ab0，且 ab)与直线 xy10 相交于 P，Q 两点，且OP OQ 0(O 为原 点)，则1 a 1 b的值为_ 答案 2 解析 将 y1x 代
10、入x 2 a y2 b1，得 (ba)x22ax(aab)0. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1x2 2a ab，x1x2 aab ab . OP OQ x1x2y1y2x1x2(1x1)(1x2)2x1x2(x1x2)1.所以2a2ab ab 2a ab10. 即 2a2ab2aab0. 即 ba2ab，所以1 a 1 b2. 13求两条渐近线为 x2y0 和 x2y0 且截直线 xy30 所得的弦长为8 3 3 的双曲线的方程 答案 x2 4y 21 解析 渐近线方程为 y 1 2x， 可设双曲线方程为 x2 4m y2 m1，则 x2 4m y2 m1， xy30. 可
11、得 3x224x364m0， x1x28，x1x2364m 3 . 由弦长公式|AB| 1k2 x1x224x1x2，得 |AB| 2 4816m 3 . 又|AB|8 3 3 ，m1. 双曲线方程为x 2 4y 21. 14设双曲线 C：x 2 a2y 21(a0)与直线 l：xy1 相交于两个不同点 A，B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围； (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且PA 5 12PB ，求实数 a 的值 答案 (1)( 6 2 ， 2)( 2，) (2)17 13 解析 (1)由 C 与 l 相交于两个不同的点，故知方程组 x2 a2y 21， xy1，
12、 有两个不同的实数解 消去 y 并整理，得(1a2)x22a2x2a20. 所以 1a20， 4a48a21a20， 解得 0a 2且 a1. 双曲线的离心率 e 1a2 a 1 a21. 0a 6 2 且 e 2. 即离心率 e 的取值范围为( 6 2 ， 2)( 2，) (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)， PA 5 12PB ， (x1， y11) 5 12(x2， y21)， 由此得 x1 5 12x2.由于 x1， x2都是方程的根， 且 1a 20， 所以 x1x217 12x2 2a2 1a2，x1x2 5 12x 2 2 2a2 1a2. 消去 x2，得
13、 2a2 1a2 289 60 .注意 a0，得 a17 13. 15(2015 河南安阳调研)已知圆 C1：(x 6 2 )2y225 8 ，圆 C2：(x 6 2 )2y21 8，动圆 P 与已知两圆 都外切 (1)求动圆的圆心 P 的轨迹 E 的方程； (2)直线 l：ykx1 与点 P 的轨迹 E 交于不同的两点 A，B，AB 的中垂线与 y 轴交于点 N，求点 N 的 纵坐标的取值范围 答案 (1)2x2y21(x0) (2)(，3 2) 解析 (1)已知两圆的圆心、半径分别为 C1( 6 2 ，0)，r15 2 4 ；C2( 6 2 ，0)，r2 2 4 . 设动圆 P 的半径为
14、r，由题意知|PC1|r5 2 4 ，|PC2|r 2 4 ， 则|PC1|PC2| 20) (2)将直线 ykx1 代入双曲线方程，并整理，得(k22)x22kx20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 M(x0，y0)， 依题意，直线 l 与双曲线的右支交于不同两点，故 k220， 2k28k220， x1x2 2k k220， x1x2 2 k220. 所以2k 2. 且 x0 k k22，y0kx01 2 k22，则 AB 的中垂线方程为 y 2 k22 1 k(x k k22) 令 x0，得 yN 3 2k2. 2k 2，yN0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 两式相减并结合 x1x224，y1y230，得y1y2 x1x2 4b2 5a2，从而 4b2 5a21，即 4b 2 5a2.又 a2b29，解得 a24，b25，故选 B.